Начертательная геометрия

Пример четырех разных 2D-представлений одного и того же 3D-объекта

Пример объекта и его шесть основных видов

Различные орфографические проекции дома. В файле ниже показаны три основных вида и один, показывающий истинную длину в плоскости крыши. ( Коническое слуховое окно показывает части эллипса и гиперболы . )

Начертательная геометрия — это раздел геометрии , который позволяет представлять трехмерные объекты в двух измерениях с помощью определенного набора процедур. Полученные методы важны для инженерии , архитектуры , дизайна и искусства . ^[1] Теоретической основой начертательной геометрии являются плоские геометрические проекции . Самой ранней известной публикацией по этой технике была «Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt» (« Наблюдение за измерением с помощью компаса и уровня »), опубликованная в Линиене, Нюрнберг: 1525 год, Альбрехтом Дюрером . Итальянский архитектор Гуарино Гуарини также был пионером проективной и начертательной геометрии, о чем свидетельствуют его работы Placita Philosophica (1665 г.), Euclides Adauctus (1671 г.) и Architettura Civile (1686 г. - не публиковались до 1737 г.), предвосхищающие работы Гаспара Монжа (1746 г. ). –1818), которому обычно приписывают изобретение начертательной геометрии. ^[2]^[3] Гаспара Монжа обычно считают «отцом начертательной геометрии» из-за его достижений в решении геометрических задач. Его первые открытия были сделаны в 1765 году, когда он работал чертежником военных укреплений, хотя его открытия были опубликованы позже. ^[4]

Протоколы Монжа позволяют рисовать воображаемый объект таким образом, чтобы его можно было смоделировать в трех измерениях. Все геометрические аспекты воображаемого объекта учитываются в истинном размере/масштабе и форме и могут быть отображены так, как видно из любой точки пространства. Все изображения представлены на двухмерной поверхности.

Начертательная геометрия использует технику создания изображений воображаемых параллельных проекторов, исходящих из воображаемого объекта и пересекающих воображаемую плоскость проекции под прямым углом. Совокупность точек пересечений создает желаемое изображение.

Протоколы

Спроецируйте два изображения объекта во взаимно перпендикулярных произвольных направлениях. Каждый вид изображения включает в себя три измерения пространства: два измерения отображаются в виде полномасштабных взаимно перпендикулярных осей, а одно - в виде невидимой (точечной) оси, уходящей в пространство изображения (глубину). Каждое из двух соседних изображений отображает полномасштабное изображение одного из трех измерений пространства.
Любое из этих изображений может служить отправной точкой для третьего проекционного изображения. Третий вид может начать четвертую проекцию, и так до бесконечности. Каждая из этих последовательных проекций представляет собой окольный поворот пространства на 90°, позволяющий рассмотреть объект с разных сторон.
В каждой новой проекции используется размер в полном масштабе, который на предыдущем виде отображается как размер точки обзора. Чтобы получить полномасштабное представление этого размера и разместить его в новом виде, необходимо игнорировать предыдущий вид и перейти ко второму предыдущему виду, где это измерение отображается в полном масштабе.
Каждый новый вид может быть создан путем проецирования в любом из бесконечного числа направлений, перпендикулярных предыдущему направлению проекции. (Представьте себе множество направлений спиц колеса телеги, каждое из которых перпендикулярно направлению оси.) Результатом является обход объекта с поворотом на 90 ° и просмотр объекта с каждого шага. Каждый новый вид добавляется как дополнительный вид к отображению компоновки ортогональной проекции и отображается в «развернутой модели стеклянного ящика».

Помимо орфографических шести стандартных основных видов (спереди; справа; слева; сверху; снизу; сзади), начертательная геометрия стремится дать четыре основных вида решения: истинную длину линии (т. е. в полный размер, без ракурса). , вид с точки (вид с конца) линии, истинная форма плоскости (т. е. полный размер в масштабе или не в ракурсе) и вид с края плоскости (т. е. вид плоскости с линией взгляда перпендикулярно лучу зрения, связанному с лучом зрения для создания истинной формы самолета). Они часто служат для определения направления проекции для последующего просмотра. Благодаря обходному шагу на 90 ° проецирование линии в любом направлении с точки зрения дает ее истинную длину ; проецирование в направлении, параллельном виду линии истинной длины, дает вид с точки, проецирование вида с точки любой линии на плоскость дает вид с края плоскости; проецирование в направлении, перпендикулярном виду края плоскости, даст вид истинной формы (в масштабе). Эти различные взгляды могут быть использованы для решения инженерных проблем, связанных с принципами твердотельной геометрии.

Эвристика

Изучение начертательной геометрии имеет эвристическую ценность. Он способствует развитию визуализации и пространственных аналитических способностей, а также интуитивной способности распознавать направление взгляда, чтобы лучше всего представить геометрическую задачу для решения. Репрезентативные примеры:

Лучшее направление для просмотра

Две наклонные линии (возможно, трубы) в общих положениях с целью определения места их кратчайшего соединителя (общего перпендикуляра)
Две наклонные линии (трубы) в общем положении так, что их самый короткий соединитель виден в полном масштабе.
Две наклонные линии в общих положениях, например, самый короткий разъем, параллельный заданной плоскости, виден в натуральную величину (скажем, для определения положения и размера самого короткого разъема на постоянном расстоянии от излучающей поверхности)
Плоская поверхность, на которой отверстие, просверленное перпендикулярно, видно в полном масштабе, как если бы вы смотрели сквозь отверстие (скажем, для проверки зазоров с другими просверленными отверстиями).
Плоскость, равноудаленная от двух наклонных линий в общих положениях (скажем, для подтверждения безопасного радиационного расстояния?)
Кратчайшее расстояние от точки до плоскости (скажем, чтобы найти наиболее экономичное положение для крепления)
Линия пересечения двух поверхностей, в том числе криволинейных (скажем, для наиболее экономичного проклейки сечений?)
Истинный размер угла между двумя плоскостями

Стандарт для представления видов компьютерного моделирования, аналогичных ортогональным последовательным проекциям, еще не принят. Один из кандидатов на это представлен на иллюстрациях ниже. Изображения на иллюстрациях созданы с помощью трехмерной инженерной компьютерной графики.

Трехмерное компьютерное моделирование создает виртуальное пространство «за трубой» и может создавать любой вид модели с любого направления внутри этого виртуального пространства. Это делается без необходимости использования соседних орфографических представлений и поэтому может показаться, что обходной пошаговый протокол начертательной геометрии устарел. Однако, поскольку начертательная геометрия — это наука о законном или допустимом изображении трехмерного или более мерного пространства на плоской плоскости, она является незаменимым исследованием для расширения возможностей компьютерного моделирования.

Примеры

Нахождение кратчайшего соединителя между двумя заданными перекосами PR и SU

Учитывая координаты X, Y и Z точек P, R, S и U, проекции 1 и 2 рисуются в масштабе на плоскостях XY и XZ соответственно.

Для получения истинного вида (длина в проекции равна длине в 3D пространстве) одной из линий: SU в данном примере рисуется проекция 3 с шарнирной линией H _2,3 параллельной S ₂ U ₂ . Для получения вида СУ с торца проекцию 4 чертят с шарнирной линией Н _3,4 перпендикулярно S ₃ U ₃ . Перпендикулярное расстояние d дает кратчайшее расстояние между PR и SU.

Чтобы получить на этих линиях точки Q и T, дающие это кратчайшее расстояние, проекцию 5 рисуют с шарнирной линией H _4,5, параллельной P ₄ R ₄ , что делает как P ₅ R ₅ , так и S ₅ U ₅ истинные виды (любая проекция вид с конца – это истинный взгляд). Проецирование пересечения этих линий Q ₅ и T ₅ обратно в проекцию 1 (пурпурные линии и метки) позволяет считывать их координаты по осям X, Y и Z.

Общие решения

Общие решения — это класс решений в начертательной геометрии, который содержит все возможные решения проблемы. Общее решение представляется одним трехмерным объектом, обычно конусом, направления элементов которого являются искомым направлением взгляда (проекции) для любого из бесконечного числа видов решения.

Например: чтобы найти общее решение, при котором появляются две косые линии неравной длины в общих положениях (скажем, ракеты в полете?):

Одинаковая длина
Одинаковая длина и параллельность
Одинаковая длина и перпендикуляр (скажем, для идеального нацеливания хотя бы на одного)
Равен длинам указанного соотношения
другие.

В примерах общим решением для каждого искомого характеристического решения является конус, каждый элемент которого дает один из бесконечного числа видов решения. Когда желательны две или более характеристики, скажем, перечисленных выше (и для которых существует решение), проецирование в направлении любого из двух элементов пересечений (одного элемента, если конусы касаются) между двумя конусами дает желаемый результат. вид решения. Если конусы не пересекаются, решения не существует. Приведенные ниже примеры аннотированы, чтобы показать описательные геометрические принципы, используемые в решениях. TL = Истинная длина; EV = вид с края.

Рис. 1-3 ниже демонстрируют (1) Начертательную геометрию, общие решения и (2) одновременно потенциальный стандарт для представления таких решений в орфографическом, многоракурсном и макетном форматах.

Потенциальный стандарт использует два смежных стандартных ортогональных вида (здесь: спереди и сверху) со стандартной «линией сгиба» между ними. Поскольку нет необходимости «огибать» объект на 90° в стандартных двухшаговых последовательностях, чтобы получить вид решения (можно перейти непосредственно к виду решения), учитывается этот более короткий протокол. для макета. Там, где одноэтапный протокол заменяет двухэтапный протокол, используются линии «двойного сгиба». Другими словами, когда кто-то пересекает двойные линии, он делает не окольный поворот на 90°, а неортонаправленный поворот прямо к виду решения. Поскольку большинство пакетов инженерной компьютерной графики автоматически генерируют шесть основных видов модели стеклянного ящика, а также изометрический вид, эти виды иногда добавляются из эвристического любопытства.

Рисунок 1. Начертательная геометрия — наклонные линии перпендикулярны.

Рисунок 2. Начертательная геометрия: наклонные линии кажутся одинаковой длины.

Рисунок 3. Начертательная геометрия: перекосы появляются с заданным соотношением длин.

Рис. 3. Начертательная геометрия: перекосы отображаются с заданным соотношением длин.

См. также

Ссылки

^ Джозеф Малкевич (апрель 2003 г.), «Математика и искусство» , Архив тематических колонок , Американское математическое общество
^ Джеймс Стивенс Керл , изд. (2015). «Гуарини, Гуарино» . Словарь архитектуры . Издательство Оксфордского университета . п. 337. ИСБН 9780198606789 .
^ Бьянкини, Карло (2012). «Роль стереотомии в космических исследованиях Гуарино Гуарини». Гайки и болты истории строительства . 1 : 257–263. ISBN 978-2-7084-0929-3 .
^ Ингрид Карлбом, Джозеф Пасиорек (декабрь 1978 г.), «Плоские геометрические проекции и преобразования просмотра», ACM Computing Surveys , 10 (4): 465–502, CiteSeerX 10.1.1.532.4774 , doi : 10.1145/356744.356750 , S2CID 708008

[1] Джозеф Малкевич (апрель 2003 г.), «Математика и искусство» , Архив тематических колонок , Американское математическое общество

[2] Джеймс Стивенс Керл , изд. (2015). «Гуарини, Гуарино» . Словарь архитектуры . Издательство Оксфордского университета . п. 337. ИСБН 9780198606789 .

[3] Бьянкини, Карло (2012). «Роль стереотомии в космических исследованиях Гуарино Гуарини». Гайки и болты истории строительства . 1 : 257–263. ISBN 978-2-7084-0929-3 .

[4] Ингрид Карлбом, Джозеф Пасиорек (декабрь 1978 г.), «Плоские геометрические проекции и преобразования просмотра», ACM Computing Surveys , 10 (4): 465–502, CiteSeerX 10.1.1.532.4774 , doi : 10.1145/356744.356750 , S2CID 708008

[1]

[2]

[3]

[4]