Банахова теорема о неподвижной точке

В математике теорема Банаха о неподвижной точке (также известная как теорема о сжимающем отображении или теорема о сжимающем отображении или теорема Банаха – Каччиопполи ) является важным инструментом в теории метрических пространств ; он гарантирует существование и уникальность неподвижных точек определенных автокарт метрических пространств и предоставляет конструктивный метод поиска этих неподвижных точек. Его можно понимать как абстрактную формулировку метода последовательных приближений Пикара . Теорема названа в честь Стефана Банаха (1892–1945), который впервые сформулировал ее в 1922 году.

Заявление

Определение. Позволять $(X,d)$ быть метрическим пространством . Затем карта $T:X\to X$ называется сжимающим отображением на X, если существует $q\in [0,1)$ такой, что

$d(T(x),T(y))\leq qd(x,y)$

для всех $x,y\in X.$

Банахова теорема о неподвижной точке. Позволять $(X,d)$ непустое — полное метрическое пространство со сжимающим отображением $T:X\to X.$ Тогда T допускает единственную неподвижную точку $x^{*}$ в X (т.е. $T(x^{*})=x^{*}$). Более того, $x^{*}$ можно найти следующим образом: начать с произвольного элемента $x_{0}\in X$ и определим последовательность $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ к $x_{n}=T(x_{n-1})$ для $n\geq 1.$ Затем $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}$.

Замечание 1. Следующие неравенства эквивалентны и описывают скорость сходимости :

${\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}$

Любое такое значение q называется константой Липшица для $T$, а наименьшую из них иногда называют «лучшей постоянной Липшица» $T$.

Замечание 2. $d(T(x),T(y))<d(x,y)$ для всех $x\neq y$ вообще недостаточно для обеспечения существования неподвижной точки, как показывает карта

$T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,$

у которого отсутствует неподвижная точка. Однако, если $X$ компактно , то это более слабое предположение действительно подразумевает существование и единственность фиксированной точки , которую можно легко найти как минимизатор $d(x,T(x))$действительно, минимизатор существует благодаря компактности и должен быть фиксированной точкой $T.$ Отсюда легко следует, что фиксированная точка является пределом любой последовательности итераций $T.$

Замечание 3. При практическом использовании теоремы обычно сложнее всего определить $X$ правильно, чтобы $T(X)\subseteq X.$

Доказательство

Позволять $x_{0}\in X$ быть произвольным и определить последовательность $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ установив $x_{n}=T(x_{n-1})$. Прежде всего отметим, что для всех $n\in \mathbb {N} ,$ у нас есть неравенство

$d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).$

Это следует индукцией по n с использованием того факта, что T является сжимающим отображением. Тогда мы сможем показать это $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ является последовательностью Коши . В частности, пусть $m,n\in \mathbb {N}$ такой, что $m>n$:

${\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\[5pt]&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\[5pt]&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}$

Пусть ε > 0 произвольно. С $q\in [0,1)$, мы можем найти большое $N\in \mathbb {N}$ так что

$q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.$

Поэтому, выбрав $m$ и $n$ больше, чем $N$ мы можем написать:

$d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .$

Это доказывает, что последовательность $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ является Коши. По полноте ( X , d ) последовательность имеет предел $x^{*}\in X.$ Более того, $x^{*}$ должна быть фиксированной T точкой :

$x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).$

Как сжимающее отображение T является непрерывным, поэтому введение предела внутри T было оправданным. Наконец, T иметь более одной неподвижной точки в ( X , d ), поскольку любая пара различных неподвижных точек и _p1 p2 противоречила _{не может} бы сжатию T :

$d(T(p_{1}),T(p_{2}))=d(p_{1},p_{2})>qd(p_{1},p_{2}).$

Приложения

• Стандартное приложение — доказательство теоремы Пикара–Линделёфа о существовании и единственности решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений . Искомое решение дифференциального уравнения выражается как неподвижная точка подходящего интегрального оператора в пространстве непрерывных функций относительно равномерной нормы . Затем теорема Банаха о неподвижной точке используется, чтобы показать, что этот интегральный оператор имеет единственную неподвижную точку.
• Одним из следствий банаховой теоремы о неподвижной точке является то, что малые липшицевы возмущения единицы являются билипшицевыми гомеоморфизмами. Пусть Ω — открытое множество банахова пространства E ; пусть I : Ω → E обозначает тождественное отображение (включение) и пусть g : Ω → E — липшицево отображение константы k < 1. Тогда

1. Ω′ := ( I + g )(Ω) является открытым подмножеством E : точно, для любого x в Ω такого, что B ( x , r ) ⊂ Ω, имеет место B (( I + g )( x ), r (1 − k )) ⊂ Ω′;
2. I + g : Ω → Ω′ — билипшицев гомеоморфизм;

именно, ( I + g ) ⁻¹ по-прежнему имеет вид I + h : Ω → Ω′ , где h — липшицево отображение постоянной k /(1 − k ). Прямым следствием этого результата является доказательство теоремы об обратной функции .

• Его можно использовать для определения достаточных условий, при которых гарантированно работает метод последовательных приближений Ньютона, а также для метода Чебышева третьего порядка.
• Его можно использовать для доказательства существования и единственности решений интегральных уравнений.
• Его можно использовать для доказательства теоремы вложения Нэша .
• Его можно использовать для доказательства существования и уникальности решений для оценки итерации, итерации политики и оценки политики обучения с подкреплением .
• Его можно использовать для доказательства существования и единственности равновесия в конкуренции Курно . и другие динамические экономические модели.

разговоры

Существует несколько вариантов банахового принципа сжатия. Следующее принадлежит Чеславу Бессаге , с 1959 года:

Пусть f : X → X — карта абстрактного множества такая, что каждая итерация f ^н имеет единственную неподвижную точку. Позволять $q\in (0,1),$ тогда существует полная метрика на X такая, что f сжимающая, а q — константа сжатия.

Действительно, чтобы получить такое обращение, достаточно очень слабых предположений. Например, если $f:X\to X$ — это отображение T1 _{, такое ,} топологического пространства с единственной неподвижной точкой a что для каждого $x\in X$ у нас есть ж ^н ( x ) → a , то уже существует метрика на X , относительно которой f удовлетворяет условиям банахова принципа сжатия с константой сжатия 1/2. В этом случае метрика фактически является ультраметрикой .

Обобщения

Существует ряд обобщений (некоторые из которых являются непосредственными следствиями ).

Пусть T : X → X — отображение полного непустого метрического пространства. Тогда, например, некоторые обобщения банаховой теоремы о неподвижной точке:

• Предположим, что некоторая итерация T ^н Т . является сокращением Тогда T имеет единственную неподвижную точку.
• Предположим, что для каждого n существуют c _n такие, что d ( T ^н ( х ), Т ^н ( y )) ≤ c _n d ( x , y ) для всех x и y , и что

$\sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .$

Тогда T имеет единственную неподвижную точку.

В приложениях существование и единственность неподвижной точки часто можно показать непосредственно с помощью стандартной теоремы Банаха о неподвижной точке путем подходящего выбора метрики, которая делает отображение T сжимающим. Действительно, приведенный выше результат Бессаги настоятельно предлагает искать такую ​​метрику. См. также статью о теоремах о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах для обобщений.

Другой класс обобщений возникает из подходящих обобщений понятия метрического пространства , например, путем ослабления определяющих аксиом понятия метрики. Некоторые из них имеют приложения, например, в теории семантики программирования в теоретической информатике.

Пример

Применение теоремы Банаха о неподвижной точке и итерации с неподвижной точкой можно использовать для быстрого получения аппроксимации π с высокой точностью. Рассмотрим функцию $f(x)=\sin(x)+x$. Можно проверить, что π является фиксированной точкой f и что f отображает интервал $\left[3\pi /4,5\pi /4\right]$ самому себе. Более того, $f'(x)=1+\cos(x)$, и можно убедиться, что

$0\leq 1+\cos(x)\leq 1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}<1$

на этом интервале. Поэтому, применяя теорему о среднем значении , f имеет константу Липшица меньше 1 (а именно $1-1/{\sqrt {2}}$). Применение теоремы Банаха о неподвижной точке показывает, что фиксированная точка π является единственной фиксированной точкой на интервале, что позволяет использовать итерацию с фиксированной точкой.

Например, значение 3 может быть выбрано для начала итерации с фиксированной точкой, как $3\pi /4\leq 3\leq 5\pi /4$. Теорему Банаха о неподвижной точке можно использовать для вывода о том, что

$\pi =f(f(f(\cdots f(3)\cdots )))).$

Применение f к 3 только три раза уже дает разложение π с точностью до 33 цифр:

$f(f(f(3)))=3.141592653589793238462643383279502\ldots \,.$

См. также

• Теорема Брауэра о неподвижной точке
• Вам понравилась теорема о неподвижной точке
• Картирование сокращений
• Принцип существования Фичеры
• Итерация с фиксированной точкой
• Теоремы о неподвижной точке
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Теорема Канторовича

Ссылки

• Агарвал, Правин; Джлели, Мохамед; Самет, Бессем (2018). «Принцип банахового сжатия и его приложения». Теория неподвижной точки в метрических пространствах . Сингапур: Спрингер. стр. 1–23. дои : 10.1007/978-981-13-2913-5_1 . ISBN  978-981-13-2912-8 .
• Чиконе, Кармен (2006). «Сокращение» . Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 121–135. ISBN  0-387-30769-9 .
• Гранас, Анджей; Дугунджи, Джеймс (2003). Теория фиксированной точки . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-00173-5 .
• Истрацеску, Василе И. (1981). Теория фиксированной точки: Введение . Нидерланды: Д. Рейдель. ISBN  90-277-1224-7 . См. главу 7.
• Кирк, Уильям А.; Хамси, Мохамед А. (2001). Введение в метрические пространства и теорию неподвижной точки . Нью-Йорк: Джон Уайли. ISBN  0-471-41825-0 .

Эта статья включает в себя материал из теоремы Банаха о фиксированной точке на платформе PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .