Перекрестное соотношение

Не путать с коэффициентом шансов .

Точки A , B , C , D и A ′ , B ′ , C ′ , D ′ связаны проективным преобразованием, поэтому их перекрестные отношения ( A , B ; C , D ) и ( A ′ , B ′ ; C ′ , D ′ ) равны.

В геометрии перекрестное отношение , также называемое двойным отношением и ангармоническим отношением , представляет собой число, связанное со списком из четырёх коллинеарных точек, особенно точек на проективной прямой . Учитывая четыре точки A , B , C , D на прямой, их перекрестное отношение определяется как

$(A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}$

где ориентация линии определяет знак каждого расстояния, а расстояние измеряется в проекции в евклидово пространство . (Если одна из четырех точек является бесконечной точкой линии, то два расстояния, включающие эту точку, исключаются из формулы.)Точка D является гармонически сопряженной точкой C относительно A и B точно в том случае, если двойное отношение четверки равно −1 , называемое гармоническим отношением . Таким образом, перекрестное отношение можно рассматривать как измерение отклонения четверного числа от этого отношения; отсюда и название ангармонического отношения .

Перекрестное отношение сохраняется за счет дробно-линейных преобразований . По сути, это единственный проективный инвариант четверки коллинеарных точек; это лежит в основе его важности для проективной геометрии .

Перекрестное отношение было определено в глубокой древности, возможно, уже Евклидом , и рассматривалось Паппом , который отметил его ключевое свойство инвариантности. Его широко изучали в 19 веке.

Варианты этой концепции существуют для четверки совпадающих прямых на проективной плоскости и четверки точек на сфере Римана .В модели Кэли-Клейна гиперболической геометрии расстояние между точками выражается через определенное перекрестное отношение.

Терминология и история

D является гармоническим сопряжением C B относительно A и ( перекрестное отношение ; A , B −1 C , D ) равно , так что .

Папп Александрийский неявно использовал понятия, эквивалентные перекрестному отношению, в своем «Собрании: Книга VII» . Среди первых пользователей Паппуса были Исаак Ньютон , Мишель Шасль и Роберт Симсон . В 1986 году Александр Джонс сделал перевод оригинала Паппуса, а затем написал комментарий о том, как леммы Паппуса соотносятся с современной терминологией.

Современное использование перекрестного отношения в проективной геометрии началось с Лазара Карно в 1803 году с его книги «Геометрия положения» . В 1837 году Шаль ввёл французский термин «rapport anharmonique» («ангармоническое соотношение»). Немецкие геометры называют это двойным соотношением.

Карл фон Штаудт был недоволен прошлыми определениями перекрестного отношения, основанными на алгебраических манипуляциях с евклидовыми расстояниями, а не на чисто синтетических концепциях проективной геометрии. В 1847 году фон Штаудт продемонстрировал, что алгебраическая структура неявно присутствует в проективной геометрии, создав алгебру, основанную на построении проективного гармонического сопряжения , которое он назвал броском (нем. Wurf ): учитывая три точки на прямой, гармоническое сопряжение — четвертая точка, которая делает перекрестное отношение равным −1 . Его алгебра бросков обеспечивает подход к числовым утверждениям, обычно принимаемым как аксиомы, но доказанным в проективной геометрии.

Английский термин «перекрестное соотношение» был введен в 1878 году Уильямом Кингдоном Клиффордом .

Определение

Если A , B , C и D — четыре точки на ориентированной аффинной прямой , их перекрестное отношение равно:

$(A,B;C,D)={\frac {AC:BC}{AD:BD}},$

с обозначением $WX:YZ$ знак отношения смещения от W к X к смещению от Y к Z. определяется как Для коллинеарных смещений это безразмерная величина .

Если сами перемещения принять за знаковые действительные числа, то перекрестное отношение между точками можно записать

$(A,B;C,D)={\frac {AC}{BC}}{\bigg /}{\frac {AD}{BD}}={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}.$

Если ${\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ — это проективно расширенная действительная линия , перекрестное отношение четырех различных чисел $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ в ${\widehat {\mathbb {R} }}$ дается

$(x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\bigg /}{\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{1})}}.$

Когда один из $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ это точка на бесконечности ( $\infty$), это сводится, например, к

$(\infty ,x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {(x_{3}-\infty )(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-\infty )}}={\frac {(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})}}.$

Те же формулы могут быть применены к четырем различным комплексным числам или, в более общем смысле, к элементам любого поля , а также могут быть проективно распространены, как указано выше, на случай, когда одно из них равно $\infty ={\tfrac {1}{0}}.$

Характеристики

Перекрестное отношение четырех коллинеарных точек A , B , C и D можно записать как

$(A,B;C,D)={\frac {AC:CB}{AD:DB}}$

где ${\textstyle AC:CB}$ описывает отношение, с которым точка C делит отрезок AB , и ${\textstyle AD:DB}$ описывает соотношение, с которым точка D делит тот же отрезок. Тогда перекрестное отношение появляется как соотношение отношений, описывающее, как две точки C и D расположены относительно отрезка AB . Пока точки A , B , C и D различны, перекрестное отношение ( A , B ; C , D ) будет ненулевым действительным числом. Мы можем легко это сделать

• ( A , B ; C , D ) < 0 тогда и только тогда, когда одна из точек C или D лежит между точками A и B , а другая нет.
• ( А , B ; C , D ) знак равно 1 / ( А , B ; D , C )
• ( А , B ; C , D ) знак равно ( C , D ; А , B )
• ( А , B ; C , D ) ≠ ( А , B ; C , E ) ⇔ D ≠ E

Шесть перекрестных отношений

Четыре очка можно заказать в 4! = 4×3×2×1 = 24 способа, но способов разбить их на две неупорядоченные пары всего шесть. Таким образом, четыре точки могут иметь только шесть различных перекрестных отношений, которые связаны следующим образом:

${\begin{aligned}&(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A)=\lambda ,{\vphantom {\frac {1}{1}}}\\[4mu]&(A,B;D,C)=(B,A;C,D)=(C,D;B,A)=(D,C;A,B)={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu]&(A,C;B,D)=(B,D;A,C)=(C,A;D,B)=(D,B;C,A)=1-\lambda ,{\vphantom {\frac {1}{1}}}\\[4mu]&(A,C;D,B)=(B,D;C,A)=(C,A;B,D)=(D,B;A,C)={\frac {1}{1-\lambda }},\\[4mu]&(A,D;B,C)=(B,C;A,D)=(C,B;D,A)=(D,A;C,B)={\frac {\lambda -1}{\lambda }},\\[4mu]&(A,D;C,B)=(B,C;D,A)=(C,B;A,D)=(D,A;B,C)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}.\end{aligned}}$

См. Ангармоническую группу ниже.

Проективная геометрия

Дополнительная информация: Проективная геометрия.

Использование перекрестных отношений в проективной геометрии для измерения реальных размеров объектов, изображенных в перспективной проекции . A, B, C, D и V — точки на изображении, их расстояние указано в пикселях; A', B', C' и D' находятся в реальном мире, их расстояние в метрах.

• В (1) ширина переулка W вычисляется на основе известных ширин соседних магазинов.
• В (2) необходима ширина только одного магазина, поскольку точка схода V. видна

Перекрестное отношение является проективным инвариантом в том смысле, что оно сохраняется при проективных преобразованиях проективной прямой.

В частности, если четыре точки лежат на прямой ${\textstyle L}$ в ${\textstyle {\mathbf {R}}^{2}}$ тогда их перекрестное отношение является вполне определенной величиной, потому что любой выбор начала координат и даже масштаба на прямой даст одно и то же значение перекрестного отношения.

Кроме того, пусть ${\textstyle \{L_{i}\mid 1\leq i\leq 4\}}$ четыре различные прямые на плоскости, проходящие через одну и ту же точку ${\textstyle Q}$. Тогда любая строка ${\textstyle L}$ не проходя через ${\textstyle Q}$ пересекает эти прямые в четырех различных точках ${\textstyle P_{i}}$ (если ${\textstyle L}$ параллельно ​ ​ ${\textstyle L_{i}}$ тогда соответствующая точка пересечения находится «на бесконечности»). Оказывается, двойное отношение этих точек (взятых в фиксированном порядке) не зависит от выбора прямой ${\textstyle L}$, и, следовательно, это инвариант четверки строк ${\textstyle L_{i}.}$

Это можно понять так: если ${\textstyle L}$ и ${\textstyle L'}$ две линии не проходят через ${\textstyle Q}$ затем перспективное преобразование из ${\textstyle L}$ к ${\textstyle L'}$ с центром ${\textstyle Q}$ является проективным преобразованием, которое принимает четверное ${\textstyle \{P_{i}\}}$ очков на ${\textstyle L}$ в четверку ${\textstyle \{P_{i}'\}}$ очков на ${\textstyle L'}$.

Следовательно, инвариантность двойного отношения относительно проективных автоморфизмов прямой подразумевает (фактически эквивалентна) независимость двойного отношения четырех коллинеарных точек ${\textstyle \{P_{i}\}}$ на линиях ${\textstyle \{L_{i}\}}$ от выбора строки, которая их содержит.

Определение в однородных координатах

Если четыре коллинеарные точки представлены в однородных координатах векторами $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ такой, что $\gamma =a\alpha +b\beta$ и $\delta =c\alpha +d\beta$, то их перекрестное отношение равно $(b/a)/(d/c)$.

Роль в неевклидовой геометрии

Артур Кэли и Феликс Кляйн нашли применение перекрестного отношения к неевклидовой геометрии . Учитывая неособую конику $C$ в реальной проективной плоскости его стабилизатор $G_{C}$ в проективной группе $G=\operatorname {PGL} (3,\mathbb {R} )$ действует транзитивно на точках внутри $C$. Однако существует инвариант действия $G_{C}$ по парам точек. Фактически, каждый такой инвариант выражается как функция соответствующего перекрестного отношения.

Гиперболическая геометрия

Явно, пусть коника — это единичная окружность . Для любых двух точек P и Q внутри единичного круга. Если линия, соединяющая их, пересекает круг в двух точках, X и Y то точки по порядку: X , P , Q , Y. , Тогда гиперболическое расстояние между P и Q в модели Кэли – Клейна гиперболической плоскости можно выразить как

$d_{h}(P,Q)={\frac {1}{2}}\left|\log {\frac {|XQ||PY|}{|XP||QY|}}\right|$

необходим половинный коэффициент (чтобы получить кривизну −1, ). Поскольку двойное отношение инвариантно относительно проективных преобразований, отсюда следует, что гиперболическое расстояние инвариантно относительно проективных преобразований, сохраняющих конику C .

Обратно, группа G действует транзитивно на множестве пар точек ( p , q ) единичного круга на фиксированном гиперболическом расстоянии.

Позже, отчасти под влиянием Анри Пуанкаре , перекрестное отношение четырех комплексных чисел на окружности стало использоваться для гиперболических метрик. Нахождение на окружности означает, что четыре точки являются образом четырех действительных точек при преобразовании Мёбиуса , и, следовательно, двойное отношение является действительным числом. Модель полуплоскости Пуанкаре и модель диска Пуанкаре — это две модели гиперболической геометрии в комплексной проективной прямой .

Эти модели являются примерами метрик Кэли-Клейна .

Ангармоническая группа и четырехгруппа Клейна

Перекрестное отношение может быть определено любым из этих четырех выражений:

$(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).$

Они отличаются следующими перестановками переменных (в обозначениях цикла ):

$1,\ (\,A\,B\,)(\,C\,D\,),\ (\,A\,C\,)(\,B\,D\,),\ (\,A\,D\,)(\,B\,C\,).$

Мы можем рассматривать перестановки четырех переменных как действие симметрической группы S ₄ на функции четырех переменных. Поскольку вышеупомянутые четыре перестановки оставляют перекрестное отношение неизменным, они образуют K перекрестного отношения под этим действием, и это вызывает эффективное действие факторгруппы стабилизатор $\mathrm {S} _{4}/K$ на орбите перекрестного отношения. Четыре перестановки в K реализуют четырехгруппу Клейна в S ₄ , а фактор $\mathrm {S} _{4}/K$ изоморфна симметрической группе S ₃ .

Таким образом, другие перестановки четырех переменных изменяют перекрестное отношение, давая следующие шесть значений, которые являются орбитой группы из шести элементов. $\mathrm {S} _{4}/K\cong \mathrm {S} _{3}$:

${\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda ,\\[4mu](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}$

Стабилизатор {0, 1, ∞} изоморфен группе вращения тригонального диэдра , группе диэдра D ₃ . Это удобно визуализировать с помощью преобразования Мёбиуса M, отображающего действительную ось в комплексную единичную окружность (экватор сферы Римана ) с равноотстоящими друг от друга точками 0, 1, ∞ .

Рассматривая {0, 1, ∞} как вершины диэдра, другими неподвижными точками 2 -циклов являются точки {2, −1, 1/2}, которые под действием M противолежат каждой вершине на сфере Римана, в середине противоположного края. Каждые 2 -цикла представляют собой поворот сферы Римана на пол-оборота с местами полушарий (внутренняя и внешняя часть круга на схеме).

Неподвижными точками 3 -циклов являются exp(± iπ /3) , соответствующие под M полюсам сферы: exp( iπ /3) — начало координат, а exp(− iπ /3) — точка, удаленная на бесконечность . Каждый 3 -цикл представляет собой поворот на 1/3 оборота вокруг своей оси, и они меняются местами 2 -тактами.

Как функции $\lambda ,$ это примеры преобразований Мёбиуса , которые при композиции функций образуют группу Мёбиуса PGL(2, Z ) . Шесть преобразований образуют подгруппу, известную как ангармоническая группа , снова изоморфную S ₃ . Это элементы кручения ( эллиптические преобразования ) в PGL (2, Z ) . А именно, ${\textstyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$, $1-\lambda \,$, и ${\textstyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}}$ имеют порядок 2 с соответствующими неподвижными точками $-1,$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$ и $2,$ (а именно, орбита гармонического двойного отношения). При этом элементы ${\textstyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}$ и ${\textstyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}}$ имеют порядок 3 в PGL(2, Z ) и каждый фиксирует оба значения ${\textstyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$ «наиболее симметричного» двойного отношения (решения $x^{2}-x+1$, примитивные корни шестой степени из единицы ). Элементы порядка 2 обменивают эти два элемента (как и любую пару, кроме их неподвижных точек), и, таким образом, действие ангармонической группы на $e^{\pm i\pi /3}$ дает факторкарту симметрических групп $\mathrm {S} _{3}\to \mathrm {S} _{2}$.

Далее, неподвижными точками отдельных 2 -циклов являются соответственно $-1,$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$ и $2,$ и этот набор также сохраняется и переставляется 3 -циклами. Геометрически это можно представить как группу вращения , тригонального диэдра которая изоморфна группе диэдра треугольника D ₃ , как показано справа. соответствует действию S3 _{Алгебраически это} на 2 -циклы (его силовские 2-подгруппы ) путем сопряжения и реализует изоморфизм с группой внутренних автоморфизмов , ${\textstyle \mathrm {S} _{3}\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \operatorname {Inn} (\mathrm {S} _{3})\cong \mathrm {S} _{3}.}$

Ангармоническая группа порождается ${\textstyle \lambda \mapsto {\tfrac {1}{\lambda }}}$ и ${\textstyle \lambda \mapsto 1-\lambda .}$ Его действие на $\{0,1,\infty \}$ изоморфизм с S3 _. дает Это также может быть реализовано как шесть упомянутых преобразований Мёбиуса: которое дает проективное представление S ₃ над любым полем (поскольку оно определено целочисленными элементами) и всегда является точным/инъективным (поскольку никакие два термина не отличаются только на 1/−1 ). Над полем с двумя элементами проективная прямая имеет только три точки, поэтому это представление является изоморфизмом и исключительным изоморфизмом. $\mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{2})$. В характеристике 3 это стабилизирует точку $-1=[-1:1]$, что соответствует орбите гармонического двойного отношения, состоящей только из одной точки, поскольку ${\textstyle 2={\tfrac {1}{2}}=-1}$. Над полем с тремя элементами проективная линия имеет всего 4 точки и $\mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,\mathbb {Z} _{3})$, и, таким образом, представление является в точности стабилизатором гармонического двойного отношения, что дает вложение $\mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}$ равен стабилизатору точки $-1$.

Исключительные орбиты

Для определенных значений $\lambda$ будет большая симметрия и, следовательно, меньше шести возможных значений перекрестного отношения. Эти значения $\lambda$ соответствуют неподвижным точкам действия S ₃ на сфере Римана (задаваемым указанными выше шестью функциями); или, что то же самое, те точки с нетривиальным стабилизатором в этой группе подстановок.

Первый набор фиксированных точек: $\{0,1,\infty \}.$ Однако перекрестное отношение никогда не сможет принимать эти значения, если все точки A , B , C и D различны. Эти значения являются предельными значениями, поскольку одна пара координат приближается друг к другу:

${\begin{aligned}(Z,B;Z,D)&=(A,Z;C,Z)=0,\\[4mu](Z,Z;C,D)&=(A,B;Z,Z)=1,\\[4mu](Z,B;C,Z)&=(A,Z;Z,D)=\infty .\end{aligned}}$

Второй набор фиксированных точек: ${\textstyle {\big \{}{-1},{\tfrac {1}{2}},2{\big \}}.}$ Эту ситуацию классически называют гармоническое перекрестное отношение и возникает в проективных гармонических сопряжениях . В реальном случае других исключительных орбит нет.

В сложном случае наиболее симметричное двойное отношение имеет место, когда $\lambda =e^{\pm i\pi /3}$. Тогда это единственные два значения перекрестного отношения, и на них действуют в соответствии со знаком перестановки.

Трансформационный подход

Основная статья: Преобразование Мёбиуса

Перекрестное отношение инвариантно относительно проективных преобразований прямой. В случае комплексной проективной прямой или сферы Римана эти преобразования известны как преобразования Мёбиуса . Общее преобразование Мёбиуса имеет вид

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\mbox{where }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ and }}ad-bc\neq 0.$

Эти преобразования образуют группу , действующую на сфере Римана , — группу Мёбиуса .

Проективная инвариантность перекрестного отношения означает, что

$(f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\$

Взаимное отношение действительно тогда и только тогда, когда четыре точки либо лежат на одной прямой , либо лежат на одной окружности , что отражает тот факт, что каждое преобразование Мёбиуса отображает обобщенные окружности в обобщенные окружности.

Действие группы Мёбиуса просто транзитивно на множестве троек различных точек сферы Римана: для любой упорядоченной тройки различных точек $(z_{2},z_{3},z_{4})$, существует единственное преобразование Мёбиуса $f(z)$ это отображает его в тройку $(0,1,\infty )$. Это преобразование удобно описать с помощью перекрестного отношения: поскольку $(z,z_{2};z_{3},z_{4})$ должно быть равно $(f(z),1;0,\infty )$, что, в свою очередь, равно $f(z)$, мы получаем

$f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).$

Альтернативное объяснение инвариантности двойного отношения основано на том факте, что группа проективных преобразований прямой порождается сдвигами, гомотетиями и мультипликативной инверсией. Различия $z_{j}-z_{k}$ инвариантны относительно переводов

$z\mapsto z+a$

где $a$ является постоянной в поле земли $\mathbb {F}$. Более того, коэффициенты деления инвариантны относительно гомотетии

$z\mapsto bz$

для ненулевой константы $b$ в $\mathbb {F}$. Следовательно, двойное отношение инвариантно относительно аффинных преобразований .

Чтобы получить четко определенное отображение инверсии

$T:z\mapsto z^{-1},$

аффинную линию необходимо дополнить бесконечной точкой , обозначаемой $\infty$, образующая проективную линию $\mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )$. Каждое аффинное отображение $f:\mathbb {F} \to \mathbb {F}$ может быть однозначно расширено до отображения $\mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )$ в себя, что фиксирует точку на бесконечности. Карта $T$ свопы $0$ и $\infty$. Проективная группа порождается $T$ и аффинные отображения расширены до $\mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )$. В случае $\mathbb {F} =\mathbb {C}$, комплексная плоскость , это приводит к группе Мёбиуса . Поскольку двойное отношение также инвариантно относительно $T$, оно инвариантно относительно любого проективного отображения $\mathrm {P} ^{1}(\mathbb {F} )$ в себя.

Координатное описание

Если мы запишем комплексные точки как векторы ${\vec {x_{n}}}=[\Re (z_{n}),\Im (z_{n})]^{\mathrm {T} }$ и определить $x_{nm}=x_{n}-x_{m}$, и пусть $(a,b)$ быть произведением скалярным $a$ с $b$, то действительная часть перекрестного отношения определяется выражением:

$C_{1}={\frac {(x_{12},x_{14})(x_{23},x_{34})-(x_{12},x_{34})(x_{14},x_{23})+(x_{12},x_{23})(x_{14},x_{34})}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}$

Это инвариант двумерного специального конформного преобразования, такого как инверсия. $x^{\mu }\rightarrow {\frac {x^{\mu }}{|x|^{2}}}$.

Мнимая часть должна использовать двумерное векторное произведение. $a\times b=[a,b]=a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}$

$C_{2}={\frac {(x_{12},x_{14})[x_{34},x_{23}]-(x_{43},x_{23})[x_{12},x_{34}]}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}$

Кольцевая гомография

Понятие перекрестного отношения зависит только от кольцевых операций сложения, умножения и инверсии (хотя инверсия данного элемента в кольце не является обязательной). Один из подходов к перекрестному отношению интерпретирует его как гомографию , которая принимает три обозначенные точки как 0, 1 и ∞ . При ограничениях, связанных с обратными, такое отображение можно построить с помощью кольцевых операций в проективной прямой над кольцом . Перекрестное отношение четырех баллов является оценкой этой гомографии в четвертой точке.

Дифференциально-геометрическая точка зрения

Теория приобретает аспект дифференциального исчисления, поскольку четыре точки сближаются. Это приводит к теории производной Шварца и, в более общем плане, к теории проективных связей .

Многомерные обобщения

Дополнительная информация: Общее положение.

Взаимное отношение не обобщается простым способом на более высокие измерения из-за других геометрических свойств конфигураций точек, в частности, коллинеарности - конфигурационные пространства более сложны, а отдельные k -кортежи точек не находятся в общем положении .

В то время как проективная линейная группа проективной прямой 3-транзитивна (любые три различные точки могут быть отображены в любые другие три точки) и даже просто 3-транзитивна (существует единственное проективное отображение, переводящее любую тройку в другую тройку), с таким образом, перекрестное отношение является уникальным проективным инвариантом набора из четырех точек, в более высоком измерении существуют основные геометрические инварианты. Проективная линейная группа n -пространства $\mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})$ имеет ( n + 1) ² − 1 размерность (поскольку это $\mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K)),$ проективизация, удаляющая одно измерение), но в других измерениях проективная линейная группа является только 2-транзитивной – потому что три коллинеарные точки должны быть отображены в три коллинеарные точки (что не является ограничением в проективной прямой) – и, таким образом, не существует « обобщенное перекрестное отношение», обеспечивающее уникальный инвариант n ² точки.

Коллинеарность — не единственное геометрическое свойство конфигураций точек, которое необходимо поддерживать — например, пять точек определяют конику , но шесть общих точек не лежат на конике, поэтому вопрос о том, лежит ли какая-либо шестерка точек на конике, также является вопросом. проективный инвариант. Можно изучать орбиты точек в общем положении - в линии «общее положение» эквивалентно различению, тогда как в более высоких измерениях это требует геометрических соображений, как обсуждалось, - но, как указано выше, это более сложно и менее информативно.

обобщение на римановы поверхности положительного рода Однако существует с использованием отображения Абеля – Якоби и тэта-функций .

См. также

• Гильбертова метрика

Ссылки

• Ларс Альфорс (1953,1966,1979) Комплексный анализ , 1-е издание, стр. 25; 2-е и 3-е издания, стр. 78, McGraw-Hill. ISBN   0-07-000657-1 .
• Виктор Блошьо (2009) « Систематическое развитие Якоба Штайнера: кульминация классической геометрии », Mathematical Intelligencer 31 (1): 21–9.
• Джон Дж. Милн (1911) Элементарный трактат о взаимной геометрии с историческими примечаниями , Издательство Кембриджского университета .
• Дирк Струик (1953) Лекции по аналитической и проективной геометрии , стр. 7, Аддисон-Уэсли .
• И. Р. Шафаревич и А. О. Ремизов (2012) Линейная алгебра и геометрия , Springer ISBN   978-3-642-30993-9 .

Внешние ссылки

• MathPages - Кевин Браун объясняет перекрестное соотношение в своей статье о мистической гексаграмме Паскаля.
• Перекрестное соотношение при разрезании узла
• Вайсштейн, Эрик В. «Перекрестное соотношение» . Математический мир .
• Ардила, Федерико. «Перекрестное соотношение» (видео) . ютуб . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 12 декабря 2021 г. Проверено 6 июля 2018 г.