Тормозное излучение

Тормозное излучение, создаваемое электроном высокой энергии, отклоняемым в электрическом поле атомного ядра.

В физике элементарных частиц тормозное излучение / ˈ b r ɛ m ʃ t r ɑː l ə ŋ / ( Немецкое произношение: [ˈbʁɛms.ʃtʁaːlʊŋ] ; от немецкого bremsen «тормозить» и Strahlung «излучение») — это электромагнитное излучение , возникающее в результате замедления при заряженной частицы ее отклонении другой заряженной частицей, обычно электроном , атомным ядром . Движущаяся частица теряет кинетическую энергию , которая преобразуется в излучение (т. е. фотоны ), удовлетворяя тем самым закон сохранения энергии . Этот термин также используется для обозначения процесса производства излучения. Тормозное излучение имеет непрерывный спектр , который становится более интенсивным и пиковая интенсивность которого смещается в сторону более высоких частот по мере увеличения изменения энергии замедляющихся частиц.

В широком смысле тормозное или тормозное излучение — это любое излучение, возникающее в результате ускорения (положительного или отрицательного) заряженной частицы, которое включает в себя синхротронное излучение (т. е. испускание фотонов релятивистской частицей ), циклотронное излучение (т. е. испускание фотонов нерелятивистской частицей). релятивистская частица), а также испускание электронов и позитронов при бета-распаде . Однако этот термин часто используется в более узком смысле для излучения электронов (из любого источника), замедляющихся в веществе.

Тормозное излучение, испускаемое плазмой , иногда называют свободным-свободным излучением . Имеется в виду тот факт, что излучение в данном случае создается электронами, которые свободны (т. е. не находятся в атомном или молекулярно- связанном состоянии ) до и остаются свободными после испускания фотона. Говоря тем же языком, связанно-связанное излучение относится к дискретным спектральным линиям (электрон «перепрыгивает» между двумя связанными состояниями), тогда как свободно-связанное излучение относится к процессу радиационной комбинации , в котором свободный электрон рекомбинирует с ионом.

В этой статье используются единицы СИ, а также масштабированный одночастичный заряд. ${\bar {q}}\equiv q/(4\pi \epsilon _{0})^{1/2}$.

Классическое описание

Основная статья: формула Лармора

Линии поля и модуль электрического поля, создаваемого (отрицательным) зарядом, сначала движущимся с постоянной скоростью, а затем быстро останавливающимся, чтобы показать генерируемое тормозное излучение.

Если квантовые эффекты пренебрежимо малы, ускоряющаяся заряженная частица излучает мощность, описываемую формулой Лармора и ее релятивистским обобщением.

Общая излучаемая мощность

Полная излучаемая мощность равна $$P={\frac {2{\bar {q}}^{2}\gamma ^{4}}{3c}}\left({\dot {\beta }}^{2}+{\frac {\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right),$$где ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ (скорость частицы, деленная на скорость света), ${\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ – фактор Лоренца , $\varepsilon _{0}$ диэлектрическая проницаемость вакуума , ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ означает производную по времени от ${\boldsymbol {\beta }}$, – q заряд частицы.В случае, когда скорость параллельна ускорению (т. е. линейное движение), выражение сводится к $$P_{a\parallel v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}},$$где $a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c$ это ускорение. Для случая ускорения, перпендикулярного скорости ( ${\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}=0$), например в синхротронах , полная мощность равна $$P_{a\perp v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{4}}{3c^{3}}}.$$

Мощность, излучаемая в двух предельных случаях, пропорциональна $\gamma ^{4}$ $\left(a\perp v\right)$ или $\gamma ^{6}$ $\left(a\parallel v\right)$. С $E=\gamma mc^{2}$, мы видим, что для частиц с одинаковой энергией $E$ Полная излучаемая мощность равна $m^{-4}$ или $m^{-6}$, что объясняет, почему электроны теряют энергию из-за тормозного излучения гораздо быстрее, чем более тяжелые заряженные частицы (например, мюоны, протоны, альфа-частицы). По этой причине электрон-позитронный коллайдер с энергией ТэВ (такой как предлагаемый Международный линейный коллайдер ) не может использовать круговой туннель (требующий постоянного ускорения), в то время как протон-протонный коллайдер (такой как Большой адронный коллайдер ) может использовать круговой туннель. . Электроны теряют энергию из-за тормозного излучения со скоростью $(m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^{4}\approx 10^{13}$ раз выше, чем у протонов.

Угловое распределение

Наиболее общая формула зависимости излучаемой мощности от угла: $${\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|{\hat {\mathbf {n} }}\times \left(\left({\hat {\mathbf {n} }}-{\boldsymbol {\beta }}\right)\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)\right|^{2}}{\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}\right)^{5}}}$$где ${\hat {\mathbf {n} }}$ - единичный вектор, направленный от частицы к наблюдателю, и $d\Omega$ представляет собой бесконечно малый телесный угол.

В случае, когда скорость параллельна ускорению (например, линейное движение), это упрощается до $${\frac {dP_{a\parallel v}}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}}$$где $\theta$ это угол между ${\boldsymbol {\beta }}$ и направление наблюдения ${\hat {\mathbf {n} }}$.

Упрощенное квантовомеханическое описание

Полная квантовомеханическая трактовка тормозного излучения очень сложна. «Вакуумный случай» взаимодействия одного электрона, одного иона и одного фотона с использованием чистого кулоновского потенциала имеет точное решение, которое, вероятно, было впервые опубликовано А. Зоммерфельдом в 1931 году. Это аналитическое решение требует сложной математики, и было опубликовано несколько численных расчетов, например, Карзаса и Латтера. Были представлены и другие приближенные формулы, например, в недавней работе Вайнберга. и Прадлер и Семмелрок.

В этом разделе дан квантовомеханический аналог предыдущего раздела, но с некоторыми упрощениями, чтобы проиллюстрировать важные физические аспекты. Мы даем нерелятивистскую трактовку частного случая электрона с массой $m_{\text{e}}$, заряжать $-e$, и начальная скорость $v$ торможение в кулоновском поле газа тяжелых ионов заряда $Ze$ и плотность чисел $n_{i}$. Испускаемое излучение представляет собой фотон с частотой $\nu =c/\lambda$ и энергия $h\nu$. Мы хотим найти коэффициент излучения $j(v,\nu )$ это мощность, излучаемая на (телесный угол в пространстве скоростей фотонов * частота фотонов), суммированная по обеим поперечным поляризациям фотонов. Мы выражаем это как приближенный классический результат, умноженный на коэффициент Гаунта g _ff свободного-свободного излучения с учетом квантовых и других поправок: $$j(v,\nu )={8\pi \over 3{\sqrt {3}}}{Z^{2}{\bar {e}}^{6}n_{i} \over c^{3}m_{\text{e}}^{2}v}g_{\rm {ff}}(v,\nu )$$$j(\nu ,v)=0$ если $h\nu >mv^{2}/2$, то есть у электрона недостаточно кинетической энергии, чтобы испустить фотон. Общая квантовомеханическая формула для $g_{\rm {ff}}$ существует, но очень сложен и обычно находится путем численных расчетов. Приведем некоторые приближенные результаты со следующими дополнительными предположениями:

• Вакуумное взаимодействие: мы пренебрегаем никакими эффектами фоновой среды, такими как эффекты плазменного экранирования. Это разумно для частоты фотонов, намного большей плазменной частоты. $\nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}$с $n_{\text{e}}$ плотность электронов плазмы. Обратите внимание, что световые волны недолговечны для $\nu <\nu _{\rm {pe}}$ и потребуется существенно иной подход.
• Мягкие фотоны: $h\nu \ll m_{\text{e}}v^{2}/2$, то есть энергия фотона намного меньше начальной кинетической энергии электрона.

При этих предположениях процесс характеризуют два безразмерных параметра: $\eta _{Z}\equiv Z{\bar {e}}^{2}/\hbar v$, который измеряет силу кулоновского взаимодействия электрона и иона, и $\eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{\text{e}}v^{2}$, который измеряет «мягкость» фотона и мы предполагаем, что он всегда мал (выбор коэффициента 2 сделан для дальнейшего удобства). В пределе $\eta _{Z}\ll 1$квантово-механическое приближение Борна дает: $$g_{\text{ff,Born}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}$$

В противоположном пределе $\eta _{Z}\gg 1$, полный квантовомеханический результат сводится к чисто классическому результату $$g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]$$где $\gamma \approx 0.577$ – постоянная Эйлера–Машерони . Обратите внимание, что $1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{\text{e}}v^{3}/\pi Z{\bar {e}}^{2}\nu$ что является чисто классическим выражением без постоянной Планка $h$.

Полуклассический эвристический способ понять фактор Гонта — записать его как $g_{\text{ff}}\approx \ln(b_{\text{max}}/b_{\text{min}})$ где $b_{\max }$ и $b_{\min }$ — максимальные и минимальные «параметры удара» для столкновения электрона и иона в присутствии электрического поля фотонов. С нашими предположениями, $b_{\rm {max}}=v/\nu$: при больших прицельных параметрах синусоидальные колебания поля фотонов обеспечивают «перемешивание фаз», что сильно уменьшает взаимодействие. $b_{\rm {min}}$ является большей из квантовомеханических длин волн де Бройля $\approx h/m_{\text{e}}v$ и классическое расстояние наибольшего сближения $\approx {\bar {e}}^{2}/m_{\text{e}}v^{2}$ где кулоновская потенциальная энергия электрона-иона сравнима с начальной кинетической энергией электрона.

Вышеупомянутые приближения обычно применяются, пока аргумент логарифма велик, и не работают, когда он меньше единицы. А именно, эти формы для фактора Гонта становятся отрицательными, что нефизично. Грубое приближение к полным расчетам с соответствующими борновскими и классическими пределами: $$g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]$$

Тепловое тормозное излучение в среде: излучение и поглощение.

В этом разделе обсуждается тормозное излучение и обратный процесс поглощения (называемый обратным тормозным излучением) в макроскопической среде. Начнем с уравнения переноса излучения, которое применимо к общим процессам, а не только к тормозному излучению: $${\frac {1}{c}}\partial _{t}I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }$$

$I_{\nu }(t,\mathbf {x} )$ - это спектральная интенсивность излучения, или мощность на (площадь × телесный угол в пространстве скоростей фотонов × частота фотонов), суммированная по обеим поляризациям. $j_{\nu }$ - излучательная способность, аналогичная $j(v,\nu )$определено выше, и $k_{\nu }$ это поглощающая способность. $j_{\nu }$ и $k_{\nu }$ являются свойствами материи, а не излучения, и учитывают все частицы в среде, а не только пару из одного электрона и одного иона, как в предыдущем разделе. Если $I_{\nu }$ однороден в пространстве и времени, то левая часть уравнения переноса равна нулю, и мы находим $$I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }}$$

Если при некоторой температуре вещество и излучение также находятся в тепловом равновесии, то $I_{\nu }$ должен быть спектр абсолютно черного тела : $$B_{\nu }(\nu ,T_{\text{e}})={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}-1}}$$С $j_{\nu }$ и $k_{\nu }$ независимы от $I_{\nu }$, это означает, что $j_{\nu }/k_{\nu }$ должен быть спектром черного тела всякий раз, когда вещество находится в равновесии при некоторой температуре – независимо от состояния излучения. Это позволяет нам сразу узнать оба $j_{\nu }$ и $k_{\nu }$ как только один из них известен – для материи, находящейся в равновесии.

В плазме: приблизительные классические результаты

ПРИМЕЧАНИЕ . В настоящее время в этом разделе приведены формулы, применимые в пределе Рэлея – Джинса. $\hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{\text{e}}$и не использует квантовую (Планковскую) обработку излучения. Таким образом, обычный фактор типа $\exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{\text{e}})$ не появляется. Внешний вид $\hbar \omega /k_{\text{B}}T_{\text{e}}$ в $y$ ниже обусловлено квантовомеханической трактовкой столкновений.

Классический результат Бекефи для спектра мощности тормозного излучения из максвелловского распределения электронов. Он быстро уменьшается при больших $\omega$, а также подавляется вблизи $\omega =\omega _{\rm {p}}$. Этот график предназначен для квантового случая $T_{\text{e}}>Z^{2}E_{\text{h}}$, и $\hbar \omega _{\text{p}}/T_{\text{e}}=0.1$. Синяя кривая представляет собой полную формулу с $E_{1}(y)$, красная кривая представляет собой приближенную логарифмическую форму для $y\ll 1$.

В плазме свободные электроны постоянно сталкиваются с ионами, создавая тормозное излучение. Полный анализ требует учета как бинарных кулоновских столкновений, так и коллективного (диэлектрического) поведения. Подробное описание дает Бекефи. а упрощенный вариант дает Ичимару. В этом разделе мы следуем диэлектрической трактовке Бекефи, в которой столкновения учитываются приблизительно через волновое число отсечки: $k_{\text{max}}$.

Рассмотрим однородную плазму с тепловыми электронами, распределенными согласно распределению Максвелла–Больцмана с температурой $T_{\text{e}}$. По Бекефи, спектральная плотность мощности (мощность на интервал угловой частоты на объем, интегрированная по всему объему) $4\pi$ ср телесного угла и в обеих поляризациях) излучаемого тормозного излучения рассчитывается как $${dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over (k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{1/2}}E_{1}(y),$$где $\omega _{p}\equiv (n_{\text{e}}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{\text{e}})^{1/2}$ – электронная плазменная частота, $\omega$ частота фотонов, $n_{\text{e}},n_{i}$ — плотность электронов и ионов, а остальные символы — физические константы . Второй множитель в скобках представляет собой показатель преломления световой волны в плазме и показывает, что излучение сильно подавляется при $\omega <\omega _{\rm {p}}$ (это условие отсечки световой волны в плазме; в этом случае световая волна затухает ) . Таким образом, эта формула применима только для $\omega >\omega _{\rm {p}}$. Эту формулу следует суммировать по видам ионов в многовидовой плазме.

Специальная функция $E_{1}$ определяется в экспоненциальной интегральной статье, а безразмерная величина $y$ является $$y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{\text{e}} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$$

$k_{\text{max}}$ представляет собой максимальное или предельное волновое число, возникающее из-за бинарных столкновений и может варьироваться в зависимости от типа иона. Грубо, $k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}$ когда $k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}$ (типично для не слишком холодной плазмы), где $E_{\text{h}}\approx 27.2$ эВ – энергия Хартри , а $\lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}$ – электронная тепловая длина волны де Бройля . В противном случае, $k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}$ где $l_{\text{C}}$ — классическое кулоновское расстояние наибольшего сближения.

Для обычного случая $k_{m}=1/\lambda _{B}$, мы находим $$y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}\right]^{2}.$$

Формула для $dP_{\mathrm {Br} }/d\omega$ является приблизительным, поскольку не учитывает повышенное излучение, происходящее для $\omega$ немного выше $\omega _{\text{p}}$.

В пределе $y\ll 1$, мы можем приблизить $E_{1}$ как $E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)$ где $\gamma \approx 0.577$ – постоянная Эйлера–Машерони . Часто используется ведущий логарифмический член, который напоминает кулоновский логарифм, который встречается в других расчетах столкновительной плазмы. Для $y>e^{-\gamma }$ логарифмический член отрицателен, и приближение явно недостаточно. Бекефи дает исправленные выражения для логарифмического члена, которые соответствуют подробным расчетам бинарных столкновений.

Полная плотность мощности излучения, интегрированная по всем частотам, равна $${\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }d\omega {\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{\text{e}}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }dy\,y^{-{1}/{2}}\left[1-{y_{\text{p}} \over y}\right]^{1/2}E_{1}(y)\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}$$

$G(y_{\text{p}}=0)=1$ и уменьшается с $y_{\text{p}}$; это всегда позитивно. Для $k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}$, мы находим

$$P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}(k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})$$

Обратите внимание на внешний вид $\hbar$ из-за квантовой природы $\lambda _{\rm {B}}$. В практических единицах обычно используется версия этой формулы для $G=1$ является $$P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{\text{e}}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.$$

Эта формула в 1,59 раза больше приведенной выше, причем разница связана с деталями двойных столкновений. Подобная неоднозначность часто выражается введением коэффициента Гонта. $g_{\rm {B}}$, например, в можно найти $$\varepsilon _{\text{ff}}=1.4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{\text{e}}n_{i}Z^{2}g_{\text{B}},\,$$где все выражено в единицах СГС .

Релятивистские поправки

Релятивистские поправки к излучению фотона с энергией 30 кэВ электроном, ударившимся о протон.

Для очень высоких температур в эту формулу вносятся релятивистские поправки, т. е. дополнительные члены порядка $k_{\text{B}}T_{\text{e}}/m_{\text{e}}c^{2}$.

Тормозное радиационное охлаждение

Если плазма оптически тонкая , тормозное излучение покидает плазму, унося с собой часть внутренней энергии плазмы. Этот эффект известен как тормозное охлаждение . Это разновидность радиационного охлаждения . Энергия, уносимая тормозным излучением, называется тормозными потерями и представляет собой разновидность радиационных потерь . Обычно термин «потери тормозного излучения» используют в контексте, когда охлаждение плазмы нежелательно, например, в термоядерной плазме .

Поляризационное тормозное излучение

Поляризационное тормозное излучение (иногда называемое «атомным тормозным излучением») — это излучение, испускаемое электронами атома мишени, когда атом мишени поляризуется кулоновским полем падающей заряженной частицы. Вклад поляризационного тормозного излучения в общий спектр тормозного излучения наблюдался в экспериментах с участием относительно массивных падающих частиц. резонансные процессы, и свободные атомы. Однако до сих пор ведутся споры о том, имеет ли место значительный вклад поляризационного тормозного излучения в экспериментах с участием быстрых электронов, падающих на твердые мишени.

Стоит отметить, что термин «поляризационный» не означает, что излучаемое тормозное излучение поляризовано. Кроме того, угловое распределение поляризационного тормозного излучения теоретически сильно отличается от обычного тормозного излучения.

Источники

Рентгеновская трубка

Спектр рентгеновских лучей, излучаемых рентгеновской трубкой с родиевой мишенью, работающей при напряжении 60 кВ . Сплошная кривая обусловлена ​​тормозным излучением, а пики представляют собой характерные K-линии родия. Кривая стремится к нулю в 21 час дня в соответствии с законом Дуэйна-Ханта , как описано в тексте.

Основная статья: Рентгеновская трубка

В рентгеновской трубке электроны ускоряются в вакууме электрическим полем по направлению к куску металла, называемому «мишенью». Рентгеновские лучи испускаются, когда электроны замедляются (замедляются) в металле. Выходной спектр состоит из непрерывного спектра рентгеновских лучей с дополнительными острыми пиками при определенных энергиях. Непрерывный спектр обусловлен тормозным излучением, а острые пики — характерным рентгеновским излучением, связанным с атомами мишени. По этой причине тормозное излучение в этом контексте также называют непрерывным рентгеновским излучением .

Форма этого непрерывного спектра приближенно описывается законом Крамерса .

Формула закона Крамерса обычно представляет собой распределение интенсивности (количества фотонов). $I$ против длины волны $\lambda$ испускаемого излучения: $$I(\lambda )\,d\lambda =K\left({\frac {\lambda }{\lambda _{\min }}}-1\right){\frac {d\lambda }{\lambda ^{2}}}$$

Константа K пропорциональна атомному номеру целевого элемента, а $\lambda _{\min }$ — минимальная длина волны, определяемая законом Дуэйна-Ханта .

Спектр имеет резкий срез на $\lambda _{\min }$, что связано с ограниченностью энергии прилетающих электронов. Например, если электрон в трубке ускорить до 60 кВ , то он приобретет кинетическую энергию 60 кэВ и при попадании в мишень сможет создать рентгеновские лучи с энергией не более 60 кэВ, за счет сохранения энергии . (Этот верхний предел соответствует остановке электрона, испустив всего один рентгеновский фотон . Обычно электрон испускает множество фотонов, каждый из которых имеет энергию менее 60 кэВ.) Фотон с энергией не более 60 кэВ имеет длину волны не менее 21 часа дня , поэтому непрерывный рентгеновский спектр имеет именно такое обрезание, как видно на графике. В более общем смысле формула для обрезания низких длин волн, закон Дуэйна – Ханта, выглядит следующим образом: $$\lambda _{\min }={\frac {hc}{eV}}\approx {\frac {1239.8}{V}}\,\mathrm {pm/kV}$$где h — постоянная Планка , c — скорость света , V — напряжение , при котором ускоряются электроны, e — элементарный заряд , а pm — пикометры .

Бета-распад

Основная статья: Бета-распад

Вещества, испускающие бета-частицы, иногда демонстрируют слабое излучение с непрерывным спектром, обусловленное тормозным излучением (см. «Внешнее тормозное излучение» ниже). В этом контексте тормозное излучение представляет собой тип «вторичного излучения», поскольку оно возникает в результате остановки (или замедления) первичного излучения ( бета-частиц ). Оно очень похоже на рентгеновские лучи, получаемые при бомбардировке металлических мишеней электронами в генераторах рентгеновских лучей (как указано выше), за исключением того, что они производятся высокоскоростными электронами из бета-излучения.

Внутреннее и внешнее тормозное излучение

«Внутреннее» тормозное излучение (также известное как «внутреннее тормозное излучение») возникает в результате рождения электрона и потери им энергии (из-за сильного электрического поля в области распадающегося ядра) при выходе из ядра. Такое излучение является особенностью бета-распада ядер, но иногда (реже) наблюдается при бета-распаде свободных нейтронов на протоны, когда оно создается, когда бета-электрон покидает протон.

При эмиссии электронов и позитронов при бета-распаде энергия фотона исходит от пары электрон- нуклон , причем спектр тормозного излучения непрерывно уменьшается с увеличением энергии бета-частицы. При захвате электрона энергия поступает за счет нейтрино , а спектр достигает наибольшего значения примерно при одной трети нормальной энергии нейтрино, уменьшаясь до нуля электромагнитной энергии при нормальной энергии нейтрино. Обратите внимание, что в случае захвата электрона возникает тормозное излучение, хотя заряженные частицы не испускаются. Вместо этого тормозное излучение можно рассматривать как возникающее, когда захваченный электрон ускоряется в сторону поглощения. Такое излучение может иметь те же частоты, что и мягкое гамма-излучение , но оно не демонстрирует ни одной из резких спектральных линий гамма-распада и, следовательно, технически не является гамма-излучением.

Внутренний процесс следует противопоставить «внешнему» тормозному излучению, обусловленному столкновением с ядром электронов, приходящих извне (т. е. испускаемых другим ядром), как обсуждалось выше.

Радиационная безопасность

В некоторых случаях, например, при распаде ³²
P , тормозное излучение, возникающее при экранировании бета-излучения обычно используемыми плотными материалами (например, свинцом ), само по себе опасно; в таких случаях экранирование должно быть выполнено с использованием материалов низкой плотности, таких как оргстекло ( люцит ), пластик , дерево или вода ; поскольку у этих материалов атомный номер ниже, интенсивность тормозного излучения значительно снижается, но для остановки электронов (бета-излучение) требуется большая толщина защиты.

В астрофизике

Доминирующим светящимся компонентом в скоплении галактик является 10-я звезда. ⁷ до 10 ⁸ Кельвина внутрикластерная среда . Излучение внутрикластерной среды характеризуется тепловым тормозным излучением. Это излучение находится в энергетическом диапазоне рентгеновских лучей и его можно легко наблюдать с помощью космических телескопов, таких как рентгеновская обсерватория «Чандра» , XMM-Newton , ROSAT , ASCA , EXOSAT , Suzaku , RHESSI и будущих миссий, таких как IXO [1]. и Астро-Н [2] .

Тормозное излучение также является доминирующим механизмом излучения областей H II в радиодиапазоне.

В электрических разрядах

При электрических разрядах, например, при лабораторных разрядах между двумя электродами или при грозовых разрядах между облаком и землей или внутри облаков, электроны производят фотоны тормозного излучения, рассеиваясь на молекулах воздуха. Эти фотоны проявляются в земных вспышках гамма-излучения и являются источником пучков электронов, позитронов, нейтронов и протонов. Появление тормозных фотонов также влияет на распространение и морфологию разрядов в азотно-кислородных смесях с низким содержанием кислорода.

Квантово-механическое описание

Полное квантовомеханическое описание было впервые выполнено Бете и Гейтлером. Они предположили, что электроны, которые рассеиваются на ядре атома, плоские волны, и получили сечение, которое связывает полную геометрию этого процесса с частотой испускаемого фотона. Четверное дифференциальное сечение, которое демонстрирует квантовомеханическую симметрию к образованию пар , равно

${\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}$

где $Z$ атомный номер , $\alpha _{\text{fine}}\approx 1/137$ константа тонкой структуры , $\hbar$ приведенная постоянная Планка и $c$ скорость света . Кинетическая энергия $E_{{\text{kin}},i/f}$ электрона в начальном и конечном состоянии связана с его полной энергией $E_{i,f}$ или его импульс $\mathbf {p} _{i,f}$ с помощью $$E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{\text{e}}c^{2}={\sqrt {m_{\text{e}}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},$$где $m_{\text{e}}$ это масса электрона . Сохранение энергии дает $$E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,$$где $\hbar \omega$ — энергия фотона. Направления испущенного фотона и рассеянного электрона определяются выражением $${\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}$$где $\mathbf {k}$ это импульс фотона.

Дифференциалы задаются как $${\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}$$

Абсолютная величина виртуального фотона между ядром и электроном равна

${\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}$

Область применимости определяется приближением Борна. $$v\gg {\frac {Zc}{137}}$$где это соотношение должно выполняться для скорости $v$ электрона в начальном и конечном состоянии.

Для практических приложений (например, в кодах Монте-Карло ) может быть интересно сосредоточиться на связи между частотой $\omega$ испускаемого фотона и угла между этим фотоном и падающим электроном. Кён и Эберт проинтегрировали четверное дифференциальное сечение Бете и Гейтлера по $\Phi$ и $\Theta _{f}$ и получено: $${\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}$$с

${\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{f}\right|+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}$

Однако гораздо более простое выражение для того же интеграла можно найти в (уравнение 2BN) и в (уравнение 4.1).

Анализ дважды дифференциального сечения, приведенный выше, показывает, что электроны, кинетическая энергия которых больше энергии покоя (511 кэВ), излучают фотоны в прямом направлении, тогда как электроны с небольшой энергией излучают фотоны изотропно.

Электронно-электронное тормозное излучение

Один механизм, который считается важным для малых атомных номеров. $Z$, — рассеяние свободного электрона на электронах оболочки атома или молекулы. Поскольку электрон-электронное тормозное излучение является функцией $Z$ а обычное электрон-ядерное тормозное излучение является функцией $Z^{2}$электрон -электронное тормозное излучение для металлов пренебрежимо мало. Однако для воздуха он играет важную роль в производстве земных гамма-вспышек .

См. также

• Лучевое излучение
• Циклотронное излучение
• Вигглер (синхротрон)
• Лазер на свободных электронах
• История рентгеновских лучей
• Эффект Ландау–Померанчука–Мигдала.
• Ядерный синтез: радиационные потери Бремкинга
• Длина излучения, характеризующая потери энергии за счет тормозного излучения электронов высоких энергий в веществе.
• Источник синхротронного света

Дальнейшее чтение

• Эберхард Хауг; Вернер Накель (2004). Элементарный процесс тормозного излучения . Конспекты научных лекций по физике. Том. 73. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN  978-981-238-578-9 .

Внешние ссылки

• Указатель ранних статей о Бремстрале