Матрица Грунского

В комплексном анализе и геометрической теории функций матрицы Грунского , или операторы Грунского , представляют собой бесконечные матрицы, введенные в 1939 году Гельмутом Грунским . Матрицы соответствуют либо одной голоморфной функции на единичном круге , либо паре голоморфных функций на единичном круге и ее дополнению. выражают Неравенства Грунского свойства ограниченности этих матриц, которые, вообще говоря, являются операторами сжатия или, в важных частных случаях, унитарными операторами . Как показал Грунский, эти неравенства выполняются тогда и только тогда, когда голоморфная функция однолистна . Неравенства эквивалентны неравенствам Голузина, открытым в 1947 г. Грубо говоря, неравенства Грунского дают информацию о коэффициентах логарифма однолистной функции; более поздние обобщения Милина , начиная с неравенства Лебедева-Милина , позволили возвести неравенства в степень и получить неравенства для коэффициентов самой однолистной функции. Матрица Грунского и связанные с ней неравенства первоначально были сформулированы в более общей ситуации однолистных функций между областью, ограниченной конечным числом достаточно гладких Жордановы кривые и их дополнение: результаты Грунского, Голузина и Милина обобщаются на этот случай.

Исторически неравенства для диска использовались при доказательстве частных случаев гипотезы Бибербаха до шестого коэффициента; возведенные в степень неравенства Милина были использованы де Бранжем в окончательном решении. Подробное описание использования этих методов можно найти у Hayman (1994) . Операторы Грунского и их определители Фредгольма также связаны со спектральными свойствами ограниченных областей на комплексной плоскости . Операторы имеют дальнейшие приложения в конформном отображении , теории Тейхмюллера и конформной теории поля .

Матрица Грунского

Если f ( z ) — голоморфная однолистная функция на единичном круге, нормированная так, что f (0) = 0 и f′ (0) = 1, функция

$g(z)=f(z^{-1})^{-1}$

— ненулевая однолистная функция на | г | > 1, имеющий простой полюс в точке ∞ с вычетом 1:

$g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots$

Та же самая формула обращения, примененная к g, возвращает f и устанавливает соответствие между этими двумя классами функций.

Матрица Грунского ( c _нм ) функции g определяется уравнением

$\log {\frac {g(z)-g(\zeta )}{z-\zeta }}=-\sum _{m,n>0}c_{nm}z^{-m}\zeta ^{-n}$

Это симметричная матрица . Его элементы называются коэффициентами Грунского функции g .

Обратите внимание, что

$\log {g(z^{-1})-g(\zeta ^{-1}) \over z^{-1}-\zeta ^{-1}}=\log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }-\log {f(z) \over z}-\log {f(\zeta ) \over \zeta },$

так что коэффициенты могут быть выражены непосредственно через f . Действительно, если

$\log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 0}d_{mn}z^{n}\zeta ^{n},$

тогда для m , n > 0

$d_{mn}=c_{mn}$

и d _{0 n} = d _{n 0} определяется выражением

$\log {\frac {f(z)}{z}}=\sum _{n>0}d_{0n}z^{n}$

с

$d_{00}=0.$

Неравенства Грунского

Если f - голоморфная функция на единичном круге с матрицей Грунского ( c _nm ), неравенства Грунского утверждают, что

$\left|\sum _{1\leq m,n\leq N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{1\leq n\leq N}{\frac {|\lambda _{n}|^{2}}{n}}$

для любой конечной последовательности комплексных чисел λ ₁ , ..., λ _N .

Полиномы Фабера

Коэффициенты Грунского нормированной однолистной функции в | г | > 1

$g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots$

являются полиномами от коэффициентов b _i, которые можно вычислить рекурсивно с помощью полиномов Фабера Φ _n , монического многочлена степени n, зависящего от g .

Взяв производную по z определяющего соотношения коэффициентов Грунского и умножив на z, получим

${\frac {zg'(z)}{g(z)-g(\zeta )}}-{\frac {z}{z-\zeta }}=\sum _{m,n>0}mc_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}.$

Полиномы Фабера определяются соотношением

${\frac {zg'(z)}{g(z)-w}}=\sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(w)z^{-n}.$

Разделив это соотношение на z и проинтегрировав z и ∞, получим

$\log {\frac {g(z)-w}{z}}=-\sum _{n\geq 1}{1 \over n}\Phi _{n}(w)z^{-n}.$

Это дает рекуррентные соотношения для n > 0

$\Phi _{n}(w)=(w-b_{0})\Phi _{n-1}(w)-nb_{n}-\sum _{0\leq i\leq n-1}b_{n-i}\Phi _{i}(w)$

с

$\Phi _{0}(w)\equiv 1.$

Таким образом

$\sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(g(z))\zeta ^{-n}=1+\sum _{n\geq 1}\left(z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}\right)\zeta ^{-n},$

так что при n ≥ 1

$\Phi _{n}(g(z))=z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}.$

Последнее свойство однозначно определяет полином Фабера от g .

Теорема Милина о площади

Пусть g ( z ) — однолистная функция на | г | > 1 нормировано так, что

$g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots$

и пусть f ( z — непостоянная голоморфная функция на C. )

Если

$f(g(z))=\sum _{-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}$

есть разложение Лорана на z > 1, то

$\sum _{n>0}n|c_{n}|^{2}\leq \sum _{n>0}n|c_{-n}|^{2}.$

Доказательство

Если Ω — ограниченная открытая область с гладкой границей ∂Ω и h — дифференцируемая функция на Ω, продолжающаяся до непрерывной функции на замыкании, то по теореме Стокса , примененной к дифференциальной 1-форме $\omega =h(z)dz,$

$\int _{\partial \Omega }h(z)\,dz=\int _{\partial \Omega }\omega =\iint _{\Omega }d\omega =\iint _{\Omega }(i\partial _{x}-\partial _{y})h\,dx\,dy=2i\iint _{\Omega }\partial _{\overline {z}}h\,dx\,dy.$

Для r > 1 пусть Ω _r — дополнение образа | z |> r при g ( z ), ограниченная область. Тогда согласно приведенному выше тождеству с h = f′ площадь f (Ω _r ) определяется выражением

$A(r)=\iint _{\Omega _{r}}|f'(z)|^{2}\,dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial \Omega _{r}}{\overline {f(z)}}f'(z)\,dz={1 \over 2i}\int _{|w|=r}{\overline {f(g(w)))}}f'(g(w))g'(w)\,dw.$

Следовательно

$A(r)=\pi \sum _{n}n|c_{-n}|^{2}r^{2n}.$

Так как площадь неотрицательна

$\sum _{n>0}n|c_{n}|^{2}r^{-2n}\leq \sum _{n>0}n|c_{-n}|^{2}r^{2n}.$

Результат получается, если уменьшить r до 1.

Доказательство Милина неравенств Грунского

Если

$p(w)=\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}\Phi _{n}(w),$

затем

$p(g(z))=\left(\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}z^{n}\right)+\left(\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}c_{nm}z^{-m}\right).$

Применяя теорему Милина о площади,

$\sum _{m=1}^{\infty }m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.$

(Равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда дополнение к образу g имеет нулевую меру Лебега .)

Так что от более сильного

$\sum _{m=1}^{N}m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.$

Следовательно, симметричная матрица

$a_{mn}={\sqrt {mn}}c_{mn},$

рассматривается как оператор на C ^Н со своим стандартным внутренним продуктом удовлетворяет

$\|Ax\|\leq \|x\|.$

Итак, по неравенству Коши–Шварца

$|(Ax,y)|\leq \|x\|\cdot \|y\|.$

С

$x_{n}={\frac {\lambda _{n}}{\sqrt {n}}}={\overline {y_{n}}},$

это дает неравенство Грунского:

$\left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2},$

Критерий однолистности

Пусть g ( z ) — голоморфная функция на z > 1 с

$g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots$

Тогда g когда коэффициенты Грунского g удовлетворяют неравенствам Грунского для всех N. однолистен тогда и только тогда ,

Фактически уже было показано, что эти условия необходимы. Чтобы убедиться в достаточности, заметим, что

$\log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}$

имеет смысл, когда | г | и |ζ| велики и, следовательно, коэффициенты c _mn определены. Если неравенства Грунского выполнены, то, как легко видеть, | c _мин | равномерно ограничены и, следовательно, разложение в левой части сходится при | г | > 1 и |ζ| > 1. Возведение в степень обеих частей означает, что g однолистен.

Пары однолистных функций

Позволять $F(z)$ и $g(\zeta )$ — однолистные голоморфные функции на | г | < 1 и |ζ| > 1, такие, что их образы не пересекаются в C . Предположим, что эти функции нормированы так, что

$g(\zeta )=\zeta +a_{0}+b_{1}\zeta ^{-1}+b_{2}\zeta ^{-2}+\cdots$

и

$F(z)=af(z)$

с ≠ 0 и

$f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots .$

Матрица Грунского ( c _mn ) этой пары функций определяется для всех ненулевых m и n по формулам:

${\begin{aligned}\log {g(\zeta )-g(\eta ) \over \zeta -\eta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}\zeta ^{-m}\eta ^{-n}\\\log {g(\zeta )-f(z) \over \zeta }-\log {g(\zeta ) \over \zeta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,n}z^{m}\zeta ^{-n}\\\log {f(z)-f(w) \over z-w}-\log {f(z) \over z}-\log {f(w) \over w}&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,-n}z^{m}w^{n}\end{aligned}}$

с

$c_{m,-n}=c_{-n,m},\qquad m,n\geq 1,$

так что ( c _mn ) — симметричная матрица.

В 1972 году американский математик Джеймс Хаммел распространил на эту матрицу неравенства Грунского, доказав, что для любой последовательности комплексных чисел λ _±1 , ..., λ _{± N}

$\left|\sum _{n,m\neq 0}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{|n|}}|\lambda _{n}|^{2}.$

Доказательство продолжается путем вычисления площади изображения дополнения изображений | г | < r < 1 при F и |ζ| > R > 1 при g при подходящем полиноме Лорана h ( w ).

Позволять $\phi _{n}$ и $\phi _{-n}$ обозначаем полиномы Фабера от g и $f(z^{-1})^{-1}$ и установить

$h(w)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\Phi _{n}(w)+\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}\Phi _{-n}\left({\frac {a}{w}}\right).$

Затем:

${\begin{aligned}h(F(z))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}z^{-n}+\alpha +\sum _{n\geq 1}\alpha _{n}z^{n},&&|z|<1,\alpha _{n}=\sum _{m}c_{-n,m}\lambda _{m}\\h(g(\zeta ))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\zeta ^{n}+\beta +\sum _{n\geq 1}\beta _{n}\zeta ^{-n},&&|\zeta |>1,\beta _{n}=\sum _{m}c_{nm}\lambda _{m}\end{aligned}}$

Площадь равна

$\int |h'(z)|^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2i}}\int _{C_{1}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz-{\frac {1}{2i}}\int _{C_{2}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz,$

где C ₁ — образ окружности |ζ| = R под действием g и C ₂ — образ окружности | г | = r под F .

Следовательно

${\frac {1}{\pi }}\iint |h'|^{2}\,dx\,dy=\left[\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}|\lambda _{-n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\alpha _{n}|^{2}r^{2n}\right]+\left[\sum _{n\geq 1}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\beta _{n}|^{2}R^{-2n}\right].$

Поскольку площадь положительна, правая часть также должна быть положительной. Если увеличить r до 1, а R уменьшить до 1 , то из этого следует, что

$\sum _{m\neq 0}|m|\left|\sum _{n\neq 0}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{m\neq 0}{1 \over |m|}|\lambda _{m}|^{2}$

с равенством тогда и только тогда, когда дополнение к образам имеет нулевую меру Лебега .

Как и в случае с одиночной функцией g , отсюда следует требуемое неравенство.

Унитарность

Матрица

$a_{mn}={\sqrt {|mn|}}\cdot c_{mn}$

одной функции g или пары функций F функция g унитарна тогда и только тогда, когда дополнение к образу g или объединение образов F и g имеет нулевую меру Лебега. Итак, грубо говоря, в случае одной функции изображение представляет собой область щели в комплексной плоскости; а в случае двух функций две области разделены замкнутой жордановой кривой.

Фактически бесконечная матрица A, действующая в гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом последовательностей, удовлетворяет условию

$A^{*}A=I,$

Но если J обозначает комплексное сопряжение последовательности, то

$JAJ=A^{*},\quad JA^{*}J=A$

поскольку A симметричен. Следовательно

$AA^{*}=JA^{*}AJ=I$

так что A унитарно.

Эквивалентные формы неравенств Грунского

Неравенства Голузина

Если g ( z ) — нормированная однолистная функция в | г | > 1, z ₁ , ..., z _N — различные точки с | з _п | > 1 и α ₁ , ..., α _N — комплексные числа, неравенства Голузина, доказанные в 1947 году русским математиком Геннадием Михайловичем Голузиным (1906-1953), гласят, что

$\left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}\alpha _{n}\log {g(z_{m})-g(z_{n}) \over z_{m}-z_{n}}\right|^{2}\leq \sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}{\overline {\alpha _{n}}}\log {1 \over 1-(z_{m}{\overline {z_{n}}})^{-1}}.$

Чтобы вывести их из неравенств Грунского, пусть

$\lambda _{k}=\sum _{n=1}^{N}\alpha _{n}z_{n}^{-k}.$

для к > 0.

Обратно, неравенства Грунского следуют из неравенств Голузина, если взять

$\alpha _{m}={1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}z_{n}^{m}.$

где

$z_{n}=re^{2\pi in \over N}$

с r > 1, стремящейся к ∞.

Неравенства Бергмана – Шиффера

Бергман и Шиффер (1951) дали другой вывод неравенств Грунского, используя воспроизводящие ядра и сингулярные интегральные операторы в геометрической теории функций ; более поздний аналогичный подход можно найти у Баранова и Хеденмальма (2008) .

Пусть f ( z ) — нормированная однолистная функция в | г | < 1, пусть z ₁ , ..., z _N — различные точки с | з _п | < 1 и пусть α ₁ , ..., α _N — комплексные числа. Неравенства Бергмана-Шиффера утверждают, что

$\left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}\alpha _{n}\left[{\frac {f'(z_{m})f'(z_{n})}{(f(z_{m})-f(z_{n}))^{2}}}-{\frac {1}{(z_{m}-z_{n})^{2}}}\right]\right|\leq \sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}{\overline {\alpha _{n}}}{\frac {1}{(1-z_{m}{\overline {z_{n}}})^{2}}}.$

Чтобы вывести эти неравенства из неравенств Грунского, положим

$\lambda _{k}=k\sum _{n=1}^{N}\alpha _{n}z_{n}^{k}.$

для к > 0.

Наоборот, неравенства Грунского следуют из неравенств Бергмана-Шиффера, если взять

$\alpha _{m}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\lambda _{n}z_{n}^{m}.$

где

$z_{n}=re^{\frac {2\pi in}{N}}$

с r < 1, стремящимся к 0.

Приложения

Смотрите также: теорема Грунского

Неравенства Грунского влекут за собой множество неравенств для однолистных функций. Их также использовали Шиффер и Чажинский в 1960 году, чтобы дать совершенно элементарное доказательство гипотезы Бибербаха для четвертого коэффициента; гораздо более сложное доказательство было ранее найдено Шиффером и Гарабедяном в 1955 году. В 1968 году Педерсен и Озава независимо использовали неравенства Грунского, чтобы доказать гипотезу для шестого коэффициента.

В доказательстве Шиффера и Чажинского, если

$f(x)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}+\cdots$

— нормированная однолистная функция от | г | < 1, тогда

$g(z)=f(z^{2})^{-1/2}=z+b_{1}z^{-1}+b_{3}z^{-3}+\cdots$

— нечетная однолистная функция в | г | > 1.

Сочетание теоремы Гронуолла о площади для f с неравенствами Грунского для первого минора 2 x 2 матрицы Грунски для g приводит к оценке | 4 _​ | в терминах простой функции от и ₂ свободного комплексного параметра. Свободный параметр можно выбрать так, чтобы граница стала функцией половины модуля 2 _, а затем можно напрямую проверить, что эта функция не превышает 4 в диапазоне [0,1].

Как показал Милин, неравенства Грунского можно возвести в степень. Самый простой случай начинается с записи

$\log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{n\geq 1}a_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}.$

с n _{) ,} ( w голоморфным в | ш | < 1.

Неравенства Грунского с λ _n = w ^н подразумеваю, что

$\sum _{n\geq 1}n|a_{n}(w)|^{2}\leq -\log(1-|w|^{2}).$

С другой стороны, если

$\sum _{m\geq 0}b_{m}t^{m}=\exp \sum _{n\geq 1}a_{n}t^{n}$

как формальный степенной ряд , то первое из неравенств Лебедева–Милина (1965) утверждает, что

$\sum _{n\geq 0}|b_{n}|^{2}\leq \exp \sum _{n\geq 1}n|a_{n}|^{2}.$

Эквивалентно неравенство гласит, что если g ( z ) является многочленом с g (0) = 0, то

${1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|e^{g}|^{2}\,d\theta \leq e^{A},$

где A — площадь г ( D ),

Для доказательства неравенства заметим, что коэффициенты определяются по рекуррентной формуле

$b_{n}={1 \over n}\sum _{m=1}^{n}ma_{m}b_{n-m}$

так что по неравенству Коши–Шварца

$|b_{n}|^{2}\leq {1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}|b_{n-m}|^{2}.$

Величины c _n получены путем наложения равенства здесь:

$c_{n}={1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}c_{n-m}$

удовлетворить $|b_{n}|^{2}\leq c_{n}$ и, следовательно, обращая шаги вспять,

$\sum |b_{n}|^{2}\leq \sum c_{n}=\exp \sum _{m\geq 1}m|a_{m}|^{2}.$

В частности, определяя ( _bn w ) тождеством

$\sum b_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}=\exp \sum a_{m}(\zeta ^{-1})z^{-m}={g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta },$

для | ш | < 1

$\sum _{n\geq 0}|b_{n}(w)|^{2}\leq (1-|w|^{2})^{-1}.$

Преобразование Берлинга

Основная статья: Сингулярные интегральные операторы типа свертки

( Преобразование Берлинга также называемое преобразованием Берлинга-Альфорса и преобразованием Гильберта в комплексной плоскости ) обеспечивает один из наиболее прямых методов доказательства неравенств Грунского, следуя Бергману и Шифферу (1951) и Баранову и Хеденмальму (2008) .

Преобразование Берлинга определено на L ² ( C ) как операция умножения на $z/{\overline {z}}$ о преобразованиях Фурье . Таким образом, он определяет унитарный оператор. Его также можно определить непосредственно как интеграл главного значения.

$(Th)(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}-{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{h(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy.$

Для любой ограниченной открытой области ? в C он определяет ограниченный оператор T _? из сопряженного пространства Бергмана ? с пространством Бергмана ?: интегрируемая с квадратом голоморфная функция расширяется до 0 вне ? для получения функции из L ² ( C ), к которому применяется T , и результат ограничивается Ω, где он голоморфен. Если f — голоморфное однолистное отображение единичного круга D на Ω, то пространство Бергмана Ω и сопряженное с ним пространство можно отождествить с пространством D , и T _Ω становится сингулярным интегральным оператором с ядром

$K_{f}(z,w)={\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}.$

Это определяет сокращение . С другой стороны, можно проверить, что T _D = 0, вычисляя непосредственно степени ${\overline {z}}^{n}$ используя теорему Стокса для переноса интеграла на границу.

Отсюда следует, что оператор с ядром

${f'(z)f'(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}={\partial ^{2} \over \partial z\partial w}\log {f(z)-f(w) \over z-w}=-\sum _{m,n\geq 1}mnc_{mn}z^{m-1}w^{n-1}$

действует как сжатие сопряженного пространства Бергмана к D . Следовательно, если

$p(z)=\lambda _{1}+\lambda _{2}{\overline {z}}+\lambda _{3}{\overline {z}}^{2}+\cdots +\lambda _{N}{\overline {z}}^{N-1},$

затем

$\sum _{m=1}^{N}\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}=\|(T_{f}-T_{z})p\|^{2}=\|T_{f}p\|^{2}\leq \|p\|^{2}=\sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.$

Оператор Грунского и определитель Фредгольма

Смотрите также: определитель Фредгольма

Если Ω — ограниченная область в C с гладкой границей, оператор T _Ω можно рассматривать как ограниченный антилинейный сжимающий оператор в пространстве Бергмана H = A ² (Ом). Оно определяется формулой

$(T_{\Omega }u)(z)=\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{{\overline {u(z)}} \over (z-w)^{2}}\,\,dx\,dy$

для u в гильбертовом пространстве H = A ² (Ом). T _Ω называется оператором Грунского Ω (или f ). Его реализация на D с использованием однолистной функции f, отображающей D на Ω, и тот факт, что TD _{= 0 ,} показывает, что она задается ограничением ядра

${\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}-{\frac {1}{(z-w)^{2}}},$

и, следовательно, является оператором Гильберта–Шмидта .

Антилинейный оператор T = T _Ω удовлетворяет соотношению самосопряжённости

$(Tu,v)=(Tv,u)$

для тебя , v в H. ​

Таким образом, А = Т ² — компактный самосопряженный линейный оператор на H с

$(Au,u)=(Tu,Tu)=\|Tu\|^{2}\geq 0,$

так что A — положительный оператор. По спектральной теореме для компактных самосопряженных операторов существует ортонормированный базис un _{оператора} состоящий H, из собственных векторов оператора A :

$Au_{n}=\mu _{n}u_{n},$

где µ _n неотрицательен в силу положительности A . Следовательно

$\mu _{n}=\lambda _{n}^{2}$

с λ _n ≥ 0. Поскольку T коммутирует с A , оно оставляет свои собственные пространства инвариантными. Отношение положительности показывает, что оно тривиально действует на нулевом собственном пространстве. Все остальные ненулевые собственные пространства конечномерны и взаимно ортогональны. Таким образом, ортонормированный базис можно выбрать для каждого собственного пространства так, чтобы:

$Tu_{n}=\lambda _{n}u_{n}.$

(Обратите внимание, что $T(iu_{n})=-\lambda _{n}iu_{n}$ по антилинейности Т. )

Ненулевые λ _n (или иногда их обратные величины) называются собственными значениями Фредгольма Ω:

$0\leq \lambda _{n}\leq \|T\|\leq 1.$

Если Ω — ограниченная область, не являющаяся диском, Альфорс показал, что

$\|T_{\Omega }\|<1.$

Определитель Фредгольма для области Ω определяется формулой

$\Delta _{\Omega }=\det(I-T_{\Omega }^{2})=\prod (1-\lambda _{n}^{2}).$

Обратите внимание, что это имеет смысл, поскольку A = T ² является оператором класса трассировки .

Шиффер и Хоули (1962) показали, что если $0\in \Omega$ и f фиксирует 0, тогда

$\Delta _{\Omega }=-{\frac {1}{12\pi }}\left[\|\partial _{z}\log f'\|_{D}^{2}+\|\partial _{z}\log g'\|_{D^{c}}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {f(z)}{z}}\right\|_{D}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {g(z)}{z}}\right\|_{D^{c}}^{2}\right].$

Здесь нормы находятся в пространствах Бергмана группы D и ее дополнения D ^с и g — однолистное отображение из D ^с на Ω ^с фиксируя ∞.

Аналогичная формула применима и в случае пары однолистных функций (см. ниже).

Сингулярные интегральные операторы на замкнутой кривой

См. Также: Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых.

Пусть Ω — ограниченная односвязная область в C с гладкой границей C = ∂Ω. Таким образом, существует однолистное голоморфное отображение f единичного круга D на Ω, продолжающееся до гладкого отображения между границами S ¹ и С. ​

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1952), «Замечания об интегральном уравнении Неймана-Пуанкаре», Pacific J. Math. , 2 (3): 271–280, doi : 10.2140/pjm.1952.2.271
• Альфорс, Ларс В. (1966), Лекции по квазиконформным отображениям , Ван Ностранд
• Альфорс, Ларс В. (2010), Конформные инварианты. Темы геометрической теории функций. Перепечатка оригинала 1973 года. С предисловием Питера Дюрена, Ф. В. Геринга и Брэда Осгуда , издательство AMS Chelsea Publishing, ISBN.  978-0-8218-5270-5
• Астала, Кари; Иванец, Тадеуш ; Мартин, Гавен (2009), Эллиптические уравнения в частных производных и квазиконформные отображения на плоскости , Математическая серия Принстона, том. 48, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-13777-3
• Баранов А.; Хеденмальм, Х. (2008), «Граничные свойства функций Грина на плоскости», Duke Math. J. , 145 : 1–24, arXiv : math/0608493 , doi : 10.1215/00127094-2008-044 , S2CID   53692019
• Белл, SR (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  978-0-8493-8270-3
• Белл, SR (2016), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике (2-е изд.), CRC Press, ISBN  9781498727211
• Бергман, С.; Шиффер, М. (1951), «Функции ядра и конформное отображение», Compositio Mathematica , 8 : 205–249.
• Дюрен, П.Л. (1983), Однолистные функции , Основы математических наук, вып. 259, Springer Verlag, ISBN  978-0-387-90795-6
• Гахов Ф.Д. (1990), Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года , Dover Publications, ISBN  978-0-486-66275-6
• Гарнетт, Дж. Б. (2007), Ограниченные аналитические функции , Тексты для аспирантов по математике, том. 236, Спрингер, ISBN  978-0-387-33621-3
• Голузин Г.М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного , Переводы математических монографий, вып. 26, Американское математическое общество
• Гонг, Шэн (1999), Гипотеза Бибербаха , Исследования AMS/IP в области высшей математики, том. 12, Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-0655-5
• Гриншпан, Аризона (1999), «Гипотеза Бибербаха и функционалы Милина» , The American Mathematical Monthly , 106 (3): 203–214, doi : 10.2307/2589676 , JSTOR   2589676 , MR   1682341
• Гриншпан, Аркадий З. (2002), «Логарифмическая геометрия, возведение в степень и границы коэффициентов в теории однолистных функций и непересекающихся областей», в Кунау, Райнер (ред.), Геометрическая теория функций , Справочник комплексного анализа, том. 1, Амстердам : Северная Голландия , стр. 273–332, ISBN.  978-0-444-82845-3 , МР   1966197 , Збл   1083.30017 .
• Грунский, Хельмут (1939), «Коэффициентные условия для простого отображения мероморфных функций» , Mathematical Journal , 45 (1): 29–61, doi : 10.1007/BF01580272 , ISSN   0025-5874 , S2CID   123606166
• Грунский, Гельмут (1978), Лекции по теории функций в многосвязных областях , Studia Mathematica, vol. 4, Ванденхук и Рупрехт, ISBN  978-3-525-40142-2
• Хейман, В.К. (1994), «Теорема Де Бранжа», Многовалентные функции , Кембриджские трактаты по математике, том. 110 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  0521460263
• Хавинсон, Д.; Путинар, М.; Шапиро, HS (2007), «Вариационная проблема Пуанкаре в теории потенциала», Arch. Рацион. Мех. Анальный. , 185 (1): 143–184, Bibcode : 2007ArRMA.185..143K , CiteSeerX   10.1.1.569.7145 , doi : 10.1007/s00205-006-0045-1 , S2CID   855706
• Кепф, В. (2007), «Гипотеза Бибербаха, функции де Бранжа и Вайнштейна и неравенство Аски-Гаспер» (PDF) , The Ramanujan Journal , 13 (1–3): 103–129, doi : 10.1007/s11139- 006-0244-2 , S2CID   16263023
• Милин И. М. (1977), Однолистные функции и ортонормированные системы , Переводы математических монографий, вып. 49, Американское математическое общество
• Неретин, Ю.А. (1996), Категории симметрий и бесконечномерные группы , Монографии Лондонского математического общества, т. 1, с. 16, Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19-851186-1
• Никольский Н.К. (2002), Операторы, функции и системы: легкое чтение, Vol. 1: Харди, Ханкель и Теплиц , Математические обзоры и монографии, том. 92, Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-1083-5
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой Герда Йенсена, посвященной квадратичным дифференциалам , Studia Mathematica / Mathematical Textbooks, vol. 15, Ванденхук и Рупрехт
• Шиффер, М. (1948), «Полиномы Фабера в теории однолистных функций», Bull. амер. Математика. Соц. , 54 (6): 503–517, doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09027-9
• Шиффер, М. (1957), «Собственные значения Фредгольма плоских областей», Pacific J. Math. , 7 (2): 1187–1225, doi : 10.2140/pjm.1957.7.1187
• Шиффер, М. (1959), «Собственные значения Фредгольма многосвязных областей», Pacific J. Math. , 9 : 211–269, doi : 10.2140/pjm.1959.9.211
• Шиффер, М.; Хоули, Н.С. (1962), «Соединения и конформное отображение», Acta Math. , 107 (3–4): 175–274, doi : 10.1007/bf02545790
• Шиффер, М. (1981), "Собственные значения Фредгольма и матрицы Грунского", Ann. Полон. Математика. , 39 : 149–164, doi : 10.4064/ap-39-1-149-164
• Шур, И. (1945), «О полиномах Фабера», Amer. Дж. Математика. , 67 (1): 33–41, номер документа : 10.2307/2371913 , JSTOR   2371913.
• Шапиро, Х.С. (1992), Функция Шварца и ее обобщение на более высокие измерения , Конспект лекций Университета Арканзаса по математическим наукам, том. 9, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-57127-8
• Тахтаджан, Леон А .; Тео, Ли-Пенг (2006), «Метрика Вейля – Петерссона в универсальном пространстве Тейхмюллера», Mem. амер. Математика. Соц. , 183
• Видом, Х. (1988), «О неравенстве Осгуда, Филлипса и Сарнака», Proc. Горький. Математика. Соц. , 102 (3): 773–774, doi : 10.1090/s0002-9939-1988-0929019-3