Преобразование Вигнера – Вейля

В квантовой механике преобразование Вигнера -Вейля или преобразование Вейля-Вигнера (в честь Германа Вейля и Юджина Вигнера ) представляет собой обратимое отображение между функциями в формулировке квантового фазового пространства и гильбертова пространства операторами в картине Шрёдингера .

Часто отображение функций в фазовом пространстве в операторы называют преобразованием Вейля или квантованием Вейля , тогда как обратное отображение операторов в функции в фазовом пространстве называется преобразованием Вигнера . Это отображение было первоначально изобретено Германом Вейлем в 1927 году в попытке отобразить симметризованные классические функции фазового пространства в операторы - процедура, известная как квантование Вейля . ^[1] Теперь понятно, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, которые необходимы для последовательного квантования, и поэтому иногда дает нефизические ответы. С другой стороны, некоторые из замечательных свойств, описанных ниже, позволяют предположить, что если кто-то ищет единую непротиворечивую процедуру, отображающую функции классического фазового пространства в операторы, то квантование Вейля является лучшим вариантом: своего рода нормальные координаты таких отображений. ( Теорема Грюневольда утверждает, что ни одно такое отображение не может обладать всеми желаемыми идеальными свойствами.)

Тем не менее, преобразование Вейля-Вигнера представляет собой четко определенное интегральное преобразование между представлениями в фазовом пространстве и операторами и дает представление о работе квантовой механики. Самое главное, что квазивероятностное распределение Вигнера представляет собой преобразование Вигнера квантовой матрицы плотности и, наоборот, матрица плотности представляет собой преобразование Вейля функции Вигнера.

В отличие от первоначальных намерений Вейля найти непротиворечивую схему квантования, это отображение просто представляет собой изменение представления в квантовой механике; ему не обязательно связывать «классические» и «квантовые» величины. Например, функция фазового пространства может явно зависеть от приведенной постоянной Планка ħ , как это происходит в некоторых знакомых случаях, связанных с угловым моментом. Это обратимое изменение представления затем позволяет выразить квантовую механику в фазовом пространстве , как это было оценено в 1940-х годах Хилбрандом Дж. Гроневолдом. ^[2] и Хосе Энрике Мояль . ^[3]^[4]

квантования Вейля наблюдаемой Определение общей

Ниже объясняется преобразование Вейля в простейшем двумерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты в фазовом пространстве будут $(q,p)$ и пусть $f —$ функция, определенная всюду в фазовом пространстве. Далее мы фиксируем операторы P и Q, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям , такие как обычные операторы положения и импульса в представлении Шрёдингера. Мы предполагаем, что возведенные в степень операторы $e^{iaQ}$ и $e^{ibP}$ представляют собой неприводимое представление отношений Вейля , так что теорема Стоуна-фон Неймана (гарантирующая единственность канонических коммутационных отношений) выполняется.

Основная формула [ править ]

Преобразование Вейля (или квантование Вейля ) функции $f$ задается следующим оператором в гильбертовом пространстве: ^[5]^[6]

$\Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint \!\!\!\iint f(q,p)\left(e^{i(a(Q-q)+b(P-p))}\right){\text{d}}q\,{\text{d}}p\,{\text{d}}a\,{\text{d}}b.$

Везде ħ — приведенная постоянная Планка .

Полезно сначала выполнить $интегралы p$ и $q$ в приведенной выше формуле, что приведет к вычислению обычного преобразования Фурье. ${\tilde {f}}$ функции $f$ , оставив при этом оператор $e^{i(aQ+bP)}$ . В этом случае преобразование Вейля можно записать как ^[7]

\Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db

.

Поэтому мы можем думать об отображении Вейля следующим образом: мы берем обычное преобразование Фурье функции $f(p,q)$ , но тогда при применении формулы обращения Фурье мы подставляем квантовые операторы $P$ и $Q$ для исходных классических переменных $p$ и $q$ , получая таким образом «квантовую версию $f$ ».

Менее симметричная форма, но удобная для приложений, выглядит следующим образом:

\Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!dq\,dp\,d{\tilde {x}}\,d{\tilde {p}}\ e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}}|.

В представлении позиции [ править ]

Тогда отображение Вейля также может быть выражено через целочисленные матричные элементы ядра этого оператора: ^[8]

\langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).

Обратная карта [ править ]

Обратной вышеприведенной карте Вейля является карта Вигнера (или преобразование Вигнера ), которая была введена Юджином Вигнером, ^[9] который возвращает оператор $Φ$ к исходной функции ядра фазового пространства $f$ ,

$f(q,p)=2\int _{-\infty }^{\infty }{\text{d}}y~e^{-2ipy/\hbar }~\langle q+y|\Phi [f]|q-y\rangle .$

Например, карта Вигнера оператора теплового распределения осциллятора $\exp(-\beta (P^{2}+Q^{2})/2)$ является ^[6]

\exp _{\star }\left(-\beta (p^{2}+q^{2})/2\right)=\left(\cosh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)\right)^{-1}\exp \left({\frac {-2}{\hbar }}\tanh \left({\frac {\beta \hbar }{2}}\right)(p^{2}+q^{2})/2\right).

Если один заменяет $\Phi [f]$ в приведенном выше выражении с произвольным оператором результирующая функция $f$ может зависеть от приведенной постоянной Планка $ħ$ и вполне может описывать квантово-механические процессы, при условии, что она правильно составлена через звездное произведение , приведенное ниже. ^[10]В свою очередь, отображение Вейля карты Вигнера суммируется формулой Грюневольда , ^[6]

\Phi [f]=h\iint \,da\,db~e^{iaQ+ibP}\operatorname {Tr} (e^{-iaQ-ibP}\Phi ).

Вейля полиномиальных Квантование наблюдаемых

Хотя приведенные выше формулы дают хорошее понимание квантования Вейля очень общей наблюдаемой в фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений на простых наблюдаемых, например тех, которые являются полиномами в $q$ и $p$ . В последующих разделах мы увидим, что на таких полиномах квантование Вейля представляет собой полностью симметричное упорядочение некоммутирующих операторов. $Q$ и $P$ .Например, отображение Вигнера квантового оператора квадрата углового момента L ² это не просто квадрат классического углового момента, но он также содержит смещение $-3 ħ 2 /2$ , что объясняет ненулевой угловой момент орбиты Бора в основном состоянии .

Свойства [ править ]

Квантование полиномов по Вейлю [ править ]

Действие квантования Вейля на полиномиальные функции $q$ и $p$ полностью определяется следующей симметричной формулой: ^[11]

(aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}

для всех комплексных чисел $a$ и $b$ . Из этой формулы нетрудно показать, что квантование Вейля на функции вида $q^{k}p^{l}$ дает среднее всех возможных порядков $k$ факторы $Q$ и $l$ факторы $P$ . Например, у нас есть

6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.

Хотя этот результат концептуально естественен, он не удобен для вычислений, когда $k$ и $l$ большие. В таких случаях мы можем использовать вместо этого формулу Маккоя ^[12]

p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.

Это выражение дает, по-видимому, иной ответ для случая $p^{2}q^{2}$ из полностью симметричного выражения выше. Однако противоречия нет, поскольку канонические коммутационные соотношения допускают более одного выражения для одного и того же оператора. (Читатель может найти поучительным использовать коммутационные соотношения, чтобы переписать вполне симметричную формулу для случая $p^{2}q^{2}$ в плане операторов $P^{2}Q^{2}$ , $QP^{2}Q$ , и $Q^{2}P^{2}$ и проверьте первое выражение в формуле Маккоя с помощью $m=n=2$ .)

Широко распространено мнение, что среди всех схем квантования квантование Вейля максимально приближается к отображению скобки Пуассона на классической стороне в коммутатор на квантовой стороне. (Точное соответствие невозможно в свете теоремы Грюневолда .) Например, Мойал показал

Теорема : Если

f(q,p)

является многочленом степени не выше 2 и

g(q,p)

— произвольный многочлен, то имеем

\Phi (\{f,g\})={\frac {1}{i\hbar }}[\Phi (f),\Phi (g)]

.

общих функций Вейля Квантование

Если $f$ — вещественная функция то ее образ отображения Вейля $Φ [f]$ самосопряженный . ,
Если $f$ — элемент пространства Шварца , то $Φ [f]$ — ядерный класс .
В более общем смысле, $Φ [f]$ — плотно определенный неограниченный оператор .
Отображение $Φ [f]$ взаимно однозначно в пространстве Шварца (как подпространстве функций, интегрируемых с квадратом).

Квантование деформации [ править ]

Интуитивно понятно, что деформация математического объекта — это семейство однотипных объектов, зависящих от некоторого параметра(ов). Здесь он предоставляет правила того, как деформировать «классическую» коммутативную алгебру наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.

Основная установка в теории деформации состоит в том, чтобы начать с алгебраической структуры (скажем, алгебры Ли ) и задать вопрос: существует ли одно или несколько семейств параметров подобных структур, таких, что для начального значения параметра(ов) у вас та же структура (алгебра Ли), с которой вы начали? (Самой старой иллюстрацией этого может быть осознание Эратосфеном в древнем мире того, что плоская Земля была деформируема в сферическую Землю с параметром деформации 1/ R _⊕ .) Например, можно определить некоммутативный тор как квантование деформации через ★ -продукт, позволяющий неявно учитывать все тонкости сходимости (обычно не рассматриваемые при формальном квантовании деформации). Поскольку алгебра функций в пространстве определяет геометрию этого пространства, изучение звездного произведения приводит к изучению некоммутативной деформации геометрии этого пространства.

В контексте приведенного выше примера с плоским фазовым пространством звездное произведение ( произведение Мойала , фактически введенное Грёневолдом в 1946 году), ★ _ħ , пары функций из $f 1, f 2 \in C \infty (ℜ 2)$ , определяется

\Phi [f_{1}\star f_{2}]=\Phi [f_{1}]\Phi [f_{2}].\,

Звездчатое произведение вообще не коммутативно, а переходит в обычное коммутативное произведение функций в пределе $ħ \to 0$ . По существу, говорят, что он определяет деформацию коммутативной алгебры $C \infty (ℜ 2)$ .

Для приведенного выше примера карты Вейля ★ -произведение можно записать через скобку Пуассона как

f_{1}\star f_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\Pi ^{n}(f_{1},f_{2}).

Здесь Π — бивектор Пуассона , оператор, определенный так, что его степени равны

\Pi ^{0}(f_{1},f_{2})=f_{1}f_{2}

и

\Pi ^{1}(f_{1},f_{2})=\{f_{1},f_{2}\}={\frac {\partial f_{1}}{\partial q}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial p}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial p}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial q}}~,

где { f ₁ , f ₂ } — скобка Пуассона . В более общем смысле,

\Pi ^{n}(f_{1},f_{2})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left({\frac {\partial ^{k}}{\partial p^{k}}}{\frac {\partial ^{n-k}}{\partial q^{n-k}}}f_{1}\right)\times \left({\frac {\partial ^{n-k}}{\partial p^{n-k}}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial q^{k}}}f_{2}\right)

где ${n \choose k}$ – биномиальный коэффициент .

Таким образом, например, ^[6] Гауссианы сочиняют гиперболически ,

\exp \left(-{a}(q^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(q^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(q^{2}+p^{2})\right),

или

\delta (q)~\star ~\delta (p)={2 \over h}\exp \left(2i{qp \over \hbar }\right),

и т. д.Эти формулы основаны на координатах, в которых бивектор Пуассона постоянен (простые плоские скобки Пуассона). Общую формулу для произвольных пуассоновых многообразий см. формула квантования Концевича .

Антисимметризация этого ★ -продукта дает скобку Мойала , собственную квантовую деформацию скобки Пуассона и изоморф фазового пространства (преобразование Вигнера) квантового коммутатора в более обычной формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве. По существу, он обеспечивает краеугольный камень динамических уравнений наблюдаемых в этой формулировке фазового пространства.

В результате получается полная фазовом пространстве формулировка квантовой механики в , полностью эквивалентная операторному представлению в гильбертовом пространстве , со звездными умножениями, изоморфно параллельными операторным умножениям. ^[6]

Значения ожидания при квантовании в фазовом пространстве получаются изоморфно отслеживанию операторных наблюдаемых $Φ$ с помощью матрицы плотности в гильбертовом пространстве: они получаются с помощью интегралов в фазовом пространстве наблюдаемых, таких как приведенное выше $f,$ с квазивероятностным распределением Вигнера, эффективно служащим мерой. .

Таким образом, выражая квантовую механику в фазовом пространстве (та же сфера, что и для классической механики), приведенное выше отображение Вейля облегчает признание квантовой механики как деформации (обобщения, ср. Принцип соответствия ) классической механики с параметром деформации $ħ / S$ . (Другие известные деформации в физике включают деформацию классической ньютоновской механики в релятивистскую механику с параметром деформации v / c ; или деформацию ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации радиус Шварцшильда/характеристическое измерение. И наоборот, групповое сжатие приводит к недеформированные теории с исчезающим параметром — классические пределы .)

Классические выражения, наблюдаемые и операции (такие как скобки Пуассона) изменяются с помощью $ħ$ -зависимых квантовых поправок, поскольку обычное коммутативное умножение, применяемое в классической механике, обобщается на некоммутативное звездное умножение , характеризующее квантовую механику и лежащее в основе ее принципа неопределенности.

Несмотря на свое название, обычно квантование деформации не представляет собой успешную схему квантования , а именно метод создания квантовой теории из классической. Сегодня это сводится к простому переходу от гильбертова пространства к фазовому пространству.

Обобщения [ править ]

В более общем плане квантование Вейля изучается в случаях, когда фазовое пространство представляет собой симплектическое многообразие или, возможно, многообразие Пуассона . Родственные структуры включают группы Пуассона–Ли и алгебры Каца–Муди .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вейль, Х. (1927). «Квантовая механика и теория групп». Журнал физики . 46 (1–2): 1–46. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W . дои : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 .
^ Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–446. Бибкод : 1946Phy....12..405G . дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .
^ Мойал, Дж. Э.; Бартлетт, MS (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (1): 99–124. Бибкод : 1949PCPS...45...99M . дои : 10.1017/S0305004100000487 . S2CID 124183640 .
^ Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . дои : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .
^ Фолланд, Г. (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Анналы математических исследований. Том. 122. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08528-9 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Куртрайт, ТЛ; Фэрли, Д.Б.; Захос, СК (2014). Краткий трактат по квантовой механике в фазовом пространстве . Всемирная научная . ISBN 9789814520430 .
^ Зал 2013 г., раздел 13.3.
^ Холл 2013. Определение 13.7.
^ Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке к термодинамическому равновесию». Физический обзор . 40 (5): 749–759. дои : 10.1103/PhysRev.40.749 .
^ Кубо, Р. (1964). «Вигнеровское представление квантовых операторов и его приложения к электронам в магнитном поле». Журнал Физического общества Японии . 19 (11): 2127–2139. Бибкод : 1964JPSJ...19.2127K . дои : 10.1143/JPSJ.19.2127 .
^ Зал 2013 г., Предложение 13.3.
^ Маккой, Нил (1932). «О функции в квантовой механике, которая соответствует заданной функции в классической механике», Proc Nat Acad Sci USA 19 674, онлайн .

Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN 978-1461471158

Дальнейшее чтение [ править ]

Кейс, Уильям Б. (октябрь 2008 г.). «Функции Вигнера и преобразования Вейля для пешеходов». Американский журнал физики . 76 (10): 937–946. Бибкод : 2008AmJPh..76..937C . дои : 10.1119/1.2957889 . (Разделы I–IV этой статьи содержат обзор преобразования Вигнера-Вейля , распределения квазивероятностей Вигнера , формулировку квантовой механики в фазовом пространстве и пример квантового гармонического осциллятора .)
«Квантование Вейля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Заметки Теренса Тао о приказе Вейля за 2012 год

[1] Вейль, Х. (1927). «Квантовая механика и теория групп». Журнал физики . 46 (1–2): 1–46. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W . дои : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 .

[2] Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–446. Бибкод : 1946Phy....12..405G . дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .

[3] Мойал, Дж. Э.; Бартлетт, MS (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (1): 99–124. Бибкод : 1949PCPS...45...99M . дои : 10.1017/S0305004100000487 . S2CID 124183640 .

[4] Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . дои : 10.1142/S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .

[5] Фолланд, Г. (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Анналы математических исследований. Том. 122. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08528-9 .

[Zachos-6] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Куртрайт, ТЛ; Фэрли, Д.Б.; Захос, СК (2014). Краткий трактат по квантовой механике в фазовом пространстве . Всемирная научная . ISBN 9789814520430 .

[7] Зал 2013 г., раздел 13.3.

[8] Холл 2013. Определение 13.7.

[9] Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке к термодинамическому равновесию». Физический обзор . 40 (5): 749–759. дои : 10.1103/PhysRev.40.749 .

[10] Кубо, Р. (1964). «Вигнеровское представление квантовых операторов и его приложения к электронам в магнитном поле». Журнал Физического общества Японии . 19 (11): 2127–2139. Бибкод : 1964JPSJ...19.2127K . дои : 10.1143/JPSJ.19.2127 .

[11] Зал 2013 г., Предложение 13.3.

[12] Маккой, Нил (1932). «О функции в квантовой механике, которая соответствует заданной функции в классической механике», Proc Nat Acad Sci USA 19 674, онлайн .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]