Гиперболоидная модель

Красная дуга является геодезической в ​​модели диска Пуанкаре ; он проецируется на коричневую геодезическую на зеленом гиперболоиде.

Продолжительность: 20 секунд. 0:20

Анимация частичного гиперболического мозаики {7,3} гиперболоида, повернутого в перспективу Пуанкаре.

В геометрии гиперболоидная модель , также известная как модель Минковского в честь Германа Минковского , представляет собой модель n -мерной гиперболической геометрии , в которой точки представлены точками на переднем листе S. ⁺ двуполостного гиперболоида в ( n +1)-мерном пространстве Минковского смещения или векторами от начала координат к этим точкам, а m -плоскости представляются пересечениями ( m +1)-плоскостей, проходящих через начало координат в Пространство Минковского с S ⁺ или произведением клина векторов m . Гиперболическое пространство изометрически вложено в пространство Минковского; то есть функция гиперболического расстояния наследуется от пространства Минковского, аналогично тому, как сферическое расстояние наследуется от евклидова расстояния, когда n -сфера вложена в ( n +1)-мерное евклидово пространство.

Другие модели гиперболического пространства можно рассматривать как проекции карты S. ⁺ : модель Бельтрами – Клейна представляет проекцию S собой ⁺ через начало координат на плоскость, перпендикулярную вектору от начала координат до определенной точки в S ⁺ аналог гномонической проекции сферы; модель диска Пуанкаре является проекцией S ⁺ через точку на другом листе S ⁻ на перпендикулярную плоскость, аналогично стереографической проекции сферы; модель Ганса представляет собой ортогональную проекцию S ⁺ на плоскость, перпендикулярную определенной точке в S ⁺ , аналог орфографической проекции ; ленточная модель гиперболической плоскости представляет собой конформную «цилиндрическую» проекцию, аналогичную меркаторской проекции сферы; Координаты Лобачевского представляют собой цилиндрическую проекцию, аналогичную равноугольной проекции (долготы, широты) сферы.

квадратичная форма Минковского

Основная статья: пространство Минковского

Если ( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ) вектор в ( n + 1) -мерном координатном пространстве R ^{п +1} , Минковского квадратичная форма определяется как

$Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=-x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}.$

Векторы v ∈ R ^{п +1} такие, что Q ( v ) = -1, образуют n -мерный гиперболоид S, состоящий из двух связных компонентов , или листов : прямого, или будущего, листа S. ⁺ , где x ₀ >0 и обратный или прошлый лист S ⁻ , где х ₀ <0. Точками n -мерной модели гиперболоида являются точки на переднем листе S ⁺ .

Метрика на гиперболоиде равна $$ds^{2}=Q(dx_{0},dx_{1},\ldots ,dx_{n})=-dx_{0}^{2}+dx_{1}^{2}+\ldots +dx_{n}^{2}.$$ Минковского Минковского Билинейная форма B является поляризацией квадратичной формы Q ,

$B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.$

(Иногда это также записывается с использованием обозначения скалярного произведения $\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .$)Явно,

$B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}.$

Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v из S ⁺ определяется формулой

$d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {arcosh} (-B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )),$

где arcosh — обратная функция гиперболического косинуса .

Выбор подписи метрики

Билинейная форма $B$ также действует как метрический тензор в пространстве. В n +1-мерном пространстве Минковского есть два выбора метрики с противоположной сигнатурой : в трехмерном случае либо (+, −, −), либо (−, +, +).

Если выбрана сигнатура (-, +, +), то скалярный квадрат хорд между различными точками на одном листе гиперболоида будет положительным, что более точно соответствует традиционным определениям и ожиданиям в математике. Тогда n -мерное гиперболическое пространство является римановым пространством , а расстояние или длину можно определить как квадратный корень из скалярного квадрата. Если выбрана сигнатура (+, -, -), скалярный квадрат между различными точками гиперболоида будет отрицательным, поэтому необходимо скорректировать различные определения основных терминов, что может быть неудобно. Тем не менее, сигнатура (+, −, −, −) также часто используется для описания пространства-времени в физике. (См. Соглашение о знаках # Метрическая подпись .)

Прямые линии

Прямая линия в гиперболическом n -пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде — это (непустое) пересечение гиперболоида с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n +1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмем u и v в качестве базисных векторов этого линейного подпространства с

$B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1$

$B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1$

$B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0$

и используйте w как действительный параметр для точек на геодезической, тогда

$\mathbf {u} \sinh w+\mathbf {v} \cosh w$

будет точкой на геодезической.

В более общем смысле, k -мерная «плоскость» в гиперболическом n -пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k +1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.

Изометрии

Неопределенная ортогональная группа O(1, n ), также называемая( n +1)-мерная группа Лоренца - это группа Ли вещественных сохраняющих ( n +1) × ( n +1) матриц, билинейную форму Минковского. На другом языке этогруппа линейных изометрий пространства Минковского . В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S . Напомним, что неопределенные ортогональные группы имеют четыре компонента связности, соответствующие изменению или сохранению ориентации в каждом подпространстве (здесь 1-мерном и n -мерном), и образуют четырехгруппу Клейна . Подгруппа O(1, n ), сохраняющая знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца , обозначаемой O ⁺ (1, n ) и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или изменению ориентации пространственного подпространства. Его подгруппа SO ⁺ (1, n ), состоящая из матриц с определителем единица, представляет собой связную группу Ли размерности n ( n +1)/2, действующую на S ⁺ линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и стабилизатор вектора (1,0,...,0) состоит из матриц вида

${\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\[-4mu]\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}$

Где $A$ принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO( n ) (обобщающей группу вращений SO(3) для n = 3 ). Отсюда следует, что n -мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1:

$\mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).$

Группа СО ⁺ (1, n ) — полная группа сохраняющих ориентацию изометрий n -мерного гиперболического пространства.

Говоря более конкретно, ТАК ⁺ (1, n ) можно разделить на n ( n -1)/2 поворотов (сформированных с помощью регулярной евклидовой матрицы вращения в правом нижнем блоке) и n гиперболических сдвигов, которые принимают форму

${\begin{pmatrix}\cosh \alpha &\sinh \alpha &0&\cdots \\[2mu]\sinh \alpha &\cosh \alpha &0&\cdots \\[2mu]0&0&1&\\[-7mu]\vdots &\vdots &&\ddots \\\end{pmatrix}}$

где $\alpha$ — это перенесенное расстояние (в данном случае вдоль оси x ), а вторую строку/столбец можно заменить другой парой, чтобы перейти к перемещению по другой оси. Общий вид трехмерного перевода по вектору $(w,x,y,z)$ является:

${\begin{pmatrix}w&x&y&z\\[2mu]x&\ {\dfrac {x^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {yx}{w+1}}&{\dfrac {zx}{w+1}}\\[2mu]y&{\dfrac {xy}{w+1}}&\,{\dfrac {y^{2}}{w+1}}+1&{\dfrac {zy}{w+1}}\\[2mu]z&{\dfrac {xz}{w+1}}&{\dfrac {yz}{w+1}}&{\dfrac {z^{2}}{w+1}}+1\end{pmatrix}}_{\vphantom {|}},$

где ⁠ $\textstyle w={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}$⁠ . Это естественным образом распространяется на большее количество измерений, а также является упрощенной версией повышения Лоренца, если вы удалите члены, специфичные для теории относительности.

Примеры групп изометрий

Группа всех изометрий модели гиперболоида равна O ⁺ (1, н ). Любая группа изометрий является ее подгруппой.

Размышления

За два балла $\mathbf {p} ,\mathbf {q} \in \mathbb {H} ^{n},\mathbf {p} \neq \mathbf {q}$, есть единственное отражение, меняющее их.

Позволять $\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {p} -\mathbf {q} }{\sqrt {Q(\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}}$.Обратите внимание, что $Q(\mathbf {u} )=1$, и поэтому $u\notin \mathbb {H} ^{n}$.

Затем

$\mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} -2B(\mathbf {x} ,\mathbf {u} )\mathbf {u}$

это отражение, которое меняет $\mathbf {p}$ и $\mathbf {q}$.Это эквивалентно следующей матрице:

$R=I-2\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\operatorname {T} }{\begin{pmatrix}-1&0\\0&I\\\end{pmatrix}}$

(обратите внимание на использование обозначения блочной матрицы ).

Затем $\{I,R\}$ представляет собой группу изометрий.Все такие подгруппы сопряжены .

Вращения и отражения

$S=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}:A\in O(n)\right\}$

это группа вращений и отражений, сохраняющих $(1,0,\dots ,0)$.Функция $A\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&A\\\end{pmatrix}}$ является изоморфизмом из O( n ) в эту группу.Для любой точки $p$, если $X$ это изометрия, которая отображает $(1,0,\dots ,0)$ к $p$, затем $XSX^{-1}$ это группа вращений и отражений, сохраняющих $p$.

Переводы

Для любого действительного числа $t$, есть перевод

$L_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t&0\\\sinh t&\cosh t&0\\0&0&I\\\end{pmatrix}}$

Это перевод расстояния $t$ в положительном направлении x, если $t\geq 0$ или расстояния $-t$ в отрицательном направлении x, если $t\leq 0$.Любой перевод расстояния $t$ сопряжено с $L_{t}$ и $L_{-t}$.Набор $\left\{L_{t}:t\in \mathbb {R} \right\}$ — это группа перемещений через ось X, и группа изометрий сопряжена с ней тогда и только тогда, когда это группа изометрий через прямую.

Например, допустим, мы хотим найти группу переводов по строке ${\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}$.Позволять $X$ быть изометрией, которая отображает $(1,0,\dots ,0)$ к $p$ и пусть $Y$ быть изометрией, которая фиксирует $p$ и карты $XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }$ к $q$.Пример такого $Y$ это отражение обмена $XL_{d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}[1,0,\dots ,0]^{\operatorname {T} }$ и $q$ (при условии, что они разные), потому что они оба находятся на одинаковом расстоянии от $p$.Затем $YX$ это отображение изометрии $(1,0,\dots ,0)$ к $p$ и точку на положительной оси X, чтобы $q$. $(YX)L_{t}(YX)^{-1}$ это перевод через строку ${\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}$ расстояния $|t|$.Если $t\geq 0$, это в ${\overrightarrow {\mathbf {p} \mathbf {q} }}$ направление.Если $t\leq 0$, это в ${\overrightarrow {\mathbf {q} \mathbf {p} }}$ направление. $\left\{(YX)L_{t}(YX)^{-1}:t\in \mathbb {R} \right\}$ это группа переводов через ${\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}$.

Симметрии орисфер

Пусть H — некоторая орисфера такая, что точки вида $(w,x,0,\dots ,0)$ находятся внутри него при сколь угодно большом x .Для любого вектора b из $\mathbb {R} ^{n-1}$

${\begin{pmatrix}1+{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\[2mu]{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&1-{\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \|^{2}&\mathbf {b} ^{\operatorname {T} }\\[2mu]\mathbf {b} &-\mathbf {b} &I\end{pmatrix}}$

- это вращение, которое отображает H в себя.Множество таких хорротаций представляет собой группу хорротаций, сохраняющих H .Все хорортации сопряжены друг с другом.

Для любого $A$ за О( n -1)

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&A\\\end{pmatrix}}$

— это вращение или отражение, которое сохраняет H и ось X.Эти вращения, повороты и отражения порождают группу симметрий H .Группа симметрии любой орисферы ей сопряжена.Они изоморфны евклидовой группе E( n -1).

История

Дополнительная информация: История преобразований Лоренца.

В нескольких статьях 1878–1885 годов Вильгельм Киллинг использовал представление, которое он приписывал Карлу Вейерштрассу для геометрии Лобачевского . В частности, он обсуждал квадратичные формы, такие как $k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}$ или в произвольных размерах $k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}$, где $k$ - обратная мера кривизны, $k^{2}=\infty$ обозначает евклидову геометрию , $k^{2}>0$ эллиптическая геометрия и $k^{2}<0$ гиперболическая геометрия.

По словам Джереми Грея (1986), Пуанкаре использовал модель гиперболоида в своих личных заметках в 1880 году. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881 году, в которых обсуждал инвариантность квадратичной формы. $\xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1$. Грей показывает, где гиперболоидная модель неявно присутствует в более поздних работах Пуанкаре.

Также Хомершам Кокс в 1882 году. использовались координаты Вейерштрасса (без использования этого имени), удовлетворяющие соотношению $z^{2}-x^{2}-y^{2}=1$ а также $w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$.

Дальнейшее раскрытие модели было дано Альфредом Клебшем и Фердинандом Линдеманном в 1891 году, обсуждая соотношение $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}$ и $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}$.

Координаты Вейерштрасса также использовались Жераром (1892 г.), Феликс Хаусдорф (1899), Фредерик С. Вудс (1903)], Генрих Либманн (1905).

Гиперболоид был исследован как метрическое пространство Александром Макфарлейном в его «Записках по космическому анализу» (1894). Он отметил, что точки на гиперболоиде можно записать как

$\cosh A+\alpha \sinh A,$

где α — базисный вектор, ортогональный оси гиперболоида. Например, он получил гиперболический закон косинусов, используя свои Алгебра физики .

Х. Янсен сделал модель гиперболоида основным предметом внимания своей статьи 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухполостном гиперболоиде». В 1993 году У. Ф. Рейнольдс рассказал о некоторых аспектах ранней истории модели в своей статье в American Mathematical Monthly .

Будучи распространенной моделью в двадцатом веке, она была отождествлена ​​с Geschwindigkeitsvectoren (векторами скорости) Германа Минковского в его Геттингенской лекции 1907 года «Принцип относительности». Скотт Уолтер в своей статье 1999 года «Неевклидов стиль теории относительности Минковского». напоминает об осведомленности Минковского, но прослеживает происхождение модели от Германа Гельмгольца, а не от Вейерштрасса и Киллинга.

В первые годы теории относительности модель гиперболоида использовалась Владимиром Варичаком для объяснения физики скорости. В своей речи перед Немецким математическим союзом в 1912 году он упомянул координаты Вейерштрасса.

См. также

• Модель диска Пуанкаре
• Гиперболические кватернионы

Примечания и ссылки

• Алексеевский, Д.В.; Винберг, Е.Б .; Солодовников А.С. (1993), Геометрия пространств постоянной кривизны , Энциклопедия математических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-52000-9
• Андерсон, Джеймс (2005), Гиперболическая геометрия , Серия студентов по математике Springer (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-1-85233-934-0
• Рэтклифф, Джон Г. (1994), Основы гиперболических многообразий , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94348-0 , Глава 3
• Майлз Рид и Балаж Сзендрой (2005) Геометрия и топология , рисунок 3.10, стр. 45, Cambridge University Press , ISBN   0-521-61325-6 , МР 2194744 .
• Райан, Патрик Дж. (1986), Евклидова и неевклидова геометрия: аналитический подход , Кембридж, Лондон, Нью-Йорк, Нью-Рошель, Мельбурн, Сидней: Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-25654-4
• Паркконен, Йоуни. «ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (PDF) . Проверено 5 сентября 2020 г.