Вывод уравнений Навье–Стокса.

Вывод уравнений Навье -Стокса , а также их применение и формулировка для различных семейств жидкостей является важным упражнением в гидродинамике , имеющим приложения в машиностроении , физике , химии , теплопередаче и электротехнике . Доказательство, объясняющее свойства и границы уравнений, такие как существование и гладкость Навье – Стокса , является одной из важных нерешенных проблем математики . ^{[ 1 ]}

Основные предположения

Уравнения Навье – Стокса основаны на предположении, что жидкость в интересующем нас масштабе представляет собой континуум – непрерывное вещество, а не дискретные частицы. Другое необходимое предположение состоит в том, что все поля, интересующие включая давление , скорость потока , плотность и температуру, по крайней мере слабо дифференцируемы .

Уравнения выведены из основных принципов непрерывности массы , сохранения импульса и сохранения энергии . Иногда необходимо рассмотреть конечный произвольный объем, называемый контрольным объемом , к которому можно применить эти принципы. Этот конечный объем обозначается $Ω$ и его ограничивающей поверхностью $\partialΩ$ . Контрольный объем может оставаться фиксированным в пространстве или перемещаться вместе с жидкостью.

Материальная производная

Изменения свойств движущейся жидкости можно измерить двумя разными способами. Можно измерить данное свойство, либо выполняя измерения в фиксированной точке пространства, когда частицы жидкости проходят мимо, либо прослеживая участок жидкости вдоль его линии тока . Производная поля относительно фиксированного положения в пространстве называется эйлеровой производной, а производная, следующая за движущимся объектом, называется адвективной или материальной (или лагранжевой). ^{[ 2 ]}) производная.

Производная материала определяется как нелинейный оператор :

{\frac {D}{Dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla

где $u$ — скорость потока. Первый член в правой части уравнения представляет собой обычную производную Эйлера (производная в фиксированной системе отсчета, представляющая изменения в определенной точке по времени), тогда как второй член представляет собой изменения величины по отношению к положению ( см. Адвекция ). Эта «специальная» производная на самом деле является обычной производной функции многих переменных по траектории движения жидкости; его можно получить с помощью применения правила цепочки , в котором все независимые переменные проверяются на предмет изменения на пути (то есть, полная производная ).

Например, измерение изменения скорости ветра в атмосфере можно получить с помощью анемометра на метеостанции или путем наблюдения за движением метеозонда. Анемометр в первом случае измеряет скорость всех движущихся частиц, проходящих через фиксированную точку пространства, тогда как во втором случае прибор измеряет изменения скорости по мере их движения с потоком.

Уравнения непрерывности

Уравнение Навье–Стокса представляет собой специальное уравнение неразрывности . Уравнение непрерывности может быть получено на основе принципов сохранения :

Уравнение непрерывности (или закон сохранения ) — это интегральное соотношение, утверждающее, что скорость изменения некоторого интегрированного свойства $φ,$ определенного в контрольном объеме $Ω,$ должна быть равна скорости, с которой оно теряется или приобретается через границы $Γ$ объема плюс скорость, с которой он создается или потребляется источниками и поглощается внутри объема. Это выражается следующим интегральным уравнением неразрывности:

{\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\varphi \ d\Omega =-\int _{\Gamma }\varphi \mathbf {u\cdot n} \ d\Gamma -\int _{\Omega }s\ d\Omega

где $u$ - скорость потока жидкости, $n$ - единичный вектор нормали, направленный наружу, а $s$ представляет источники и стоки в потоке, принимая стоки как положительные.

Теорему о расходимости можно применить к поверхностному интегралу , превратив его в объемный интеграл :

{\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\varphi \ d\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )\ d\Omega -\int _{\Omega }s\ d\Omega .

Применяя транспортную теорему Рейнольдса к интегралу слева, а затем объединяя все интегралы:

\int _{\Omega }{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\ d\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )\ d\Omega -\int _{\Omega }s\ d\Omega \quad \Rightarrow \quad \int _{\Omega }\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )+s\right)d\Omega =0.

Интеграл должен быть равен нулю для любого контрольного объема; это может быть верно только в том случае, если само подынтегральное выражение равно нулю, так что:

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )+s=0.

Из этого ценного соотношения (очень общего уравнения непрерывности ) можно кратко записать три важные концепции: сохранение массы, сохранение импульса и сохранение энергии. Действительность сохраняется, если $φ$ является вектором, и в этом случае вектор-векторное произведение во втором члене будет диадой .

Сохранение массы

Можно также учитывать массу. Когда интенсивное свойство $φ$ рассматривается как масса, путем подстановки в общее уравнение непрерывности и принятия $s = 0$ (нет источников или стоков массы):

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0

где $ρ$ — массовая плотность (масса в единице объема), $u$ — скорость потока. Это уравнение называется уравнением неразрывности массы или просто уравнением неразрывности. Это уравнение обычно дополняет уравнение Навье – Стокса.

В случае несжимаемой жидкости $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ Dρ / Dt ⁠ = 0$ (плотность на пути жидкого элемента постоянна), и уравнение сводится к:

\nabla \cdot \mathbf {u} =0

что на самом деле является утверждением о сохранении объема.

Сохранение импульса

Общее уравнение количества движения получается, когда к импульсу применяется соотношение сохранения. Когда интенсивное свойство $φ$ рассматривается как поток массы (также плотность импульса ), то есть произведение плотности массы и скорости потока $ρ u$ , путем подстановки в общее уравнение неразрывности:

{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=\mathbf {s}

где $u \otimes u$ — диада , частный случай тензорного произведения , в результате которого получается тензор второго ранга; дивергенция тензора второго ранга снова является вектором (тензором первого ранга). ^{[ 3 ]}

Используя формулу расходимости диады,

\nabla \cdot (\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \nabla \mathbf {b}

тогда у нас есть

\mathbf {u} {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {s}

Обратите внимание, что градиент вектора является частным случаем ковариантной производной , в результате операции получаются тензоры второго ранга; ^{[ 3 ]} за исключением декартовых координат, важно понимать, что это не просто градиент поэлементно. Перестановка:

\mathbf {u} \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\right)+\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s}

Крайнее левое выражение, заключенное в круглые скобки, по непрерывности массы (показанной ранее) равно нулю. Отметим, что в левой части уравнения остается материальная производная скорости потока:

\rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s}

Похоже, это просто выражение второго закона Ньютона ( $F = m a$ ) в терминах объемных сил, а не точечных сил. Каждый член в любом случае уравнений Навье – Стокса представляет собой массовую силу. Более короткий, хотя и менее строгий способ прийти к этому результату — применить цепное правило к ускорению:

{\begin{aligned}\rho {\frac {d}{dt}}{\bigl (}\mathbf {u} (x,y,z,t){\bigr )}=\mathbf {s} \quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}\right)&=\mathbf {s} \\\quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+u{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}+v{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}+w{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}\right)&=\mathbf {s} \\\quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)&=\mathbf {s} \end{aligned}}

где $ты знак равно (ты, v, ш)$ . Причина, по которой это «менее строго», заключается в том, что мы не показали, что выбор

\mathbf {u} =\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)

правильно; однако это имеет смысл, поскольку при таком выборе пути производная «следует» за жидкой «частицей», и для того, чтобы второй закон Ньютона работал, силы должны суммироваться, следующие за частицей. По этой причине конвективная производная также известна как производная частицы.

Уравнение импульса Коши

Общая плотность источника импульса $,$ рассмотренная ранее, сначала конкретизируется путем разбиения ее на два новых термина: один для описания внутренних напряжений, а другой для внешних сил, таких как гравитация. Исследуя силы, действующие на небольшой куб в жидкости, можно показать, что

\rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f}

где $σ$ — тензор напряжений Коши , а $f$ учитывает наличие объемных сил. Это уравнение называется уравнением импульса Коши и описывает нерелятивистское сохранение импульса любого континуума, сохраняющего массу. $σ$ — симметричный тензор второго ранга, заданный своими ковариантными компонентами. В ортогональных координатах в трех измерениях он представлен в виде матрицы 3×3 :

\sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}

где $σ$ — нормальные напряжения , а $τ —$ касательные напряжения . Эта матрица разбита на два слагаемых:

\sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\sigma _{xx}+p&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}+p&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}+p\end{pmatrix}}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }}

где $I$ 3 × 3 — единичная матрица , а $τ$ — тензор девиаторных напряжений . Обратите внимание, что механическое давление $p$ равно отрицательному значению среднего нормального напряжения: ^{[ 4 ]}

p=-{\tfrac {1}{3}}\left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right).

Мотивацией для этого является то, что давление обычно является интересующей переменной, а также это упрощает применение к конкретным семействам жидкостей в дальнейшем, поскольку самый правый тензор $τ$ в приведенном выше уравнении должен быть равен нулю для жидкости в состоянии покоя. что $τ$ бесследна Обратите внимание , . Уравнение Коши теперь можно записать в другой, более явной форме:

\rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\mathbf {f}

Это уравнение все еще неполное. Для завершения необходимо сделать гипотезы о формах $τ$ и $p$ , то есть нужен определяющий закон для тензора напряжений, который можно получить для конкретных семейств жидкостей, и для давления. Некоторые из этих гипотез приводят к уравнениям Эйлера (динамика жидкости) , другие — к уравнениям Навье – Стокса. Кроме того, если поток предполагается сжимаемым, потребуется уравнение состояния, которое, вероятно, в дальнейшем потребует формулировки с сохранением энергии.

Применение к различным жидкостям

Общая форма уравнений движения еще не «готова к использованию», тензор напряжений все еще неизвестен, поэтому требуется дополнительная информация; эта информация обычно представляет собой некоторое знание вязкого поведения жидкости. Для разных типов течения жидкости это приводит к определенным видам уравнений Навье–Стокса.

Ньютоновская жидкость

Сжимаемая ньютоновская жидкость

Формулировка ньютоновских жидкостей основана на наблюдении Ньютона о том, что для большинства жидкостей

\tau \propto {\frac {\partial u}{\partial y}}

Чтобы применить это к уравнениям Навье – Стокса, Стокс сделал три предположения:

Тензор напряжений является линейной функцией тензора скорости деформации или, что то же самое, градиента скорости.
Жидкость изотропна.
Для покоящейся жидкости $\nabla \cdot τ$ должно быть равно нулю (так что возникает гидростатическое давление ).

В приведенном выше списке приведен классический аргумент ^{[ 5 ]} что тензор скорости деформации сдвига ((симметричная) сдвиговая часть градиента скорости) представляет собой чистый тензор сдвига и не включает в себя какую-либо часть притока/оттока (любую часть сжатия/расширения). Это означает, что его след равен нулю, и это достигается вычитанием $\nabla \cdot u$ симметричным образом из диагональных элементов тензора. Вклад сжатия в вязкое напряжение добавляется в виде отдельного диагонального тензора.

Применение этих предположений приведет к:

{\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)+\lambda \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I}

или в тензорной форме

\tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\delta _{ij}\lambda {\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}

То есть девиаторика тензора скорости деформации отождествляется с девиаторикой тензора напряжений с точностью до коэффициента $ц$ . ^{[ 6 ]}

$δij Кронекера$ — дельта . $μ$ и $λ$ — константы пропорциональности, связанные с предположением о линейной зависимости напряжения от деформации; $μ$ называется первым коэффициентом вязкости или сдвиговой вязкостью (обычно называемым просто «вязкостью»), а $λ$ — вторым коэффициентом вязкости или объемной вязкостью (и он связан с объемной вязкостью ). Величину $λ$ , вызывающую вязкий эффект, связанный с изменением объема, определить очень сложно, даже ее знак не известен с абсолютной уверенностью. Даже в сжимаемых потоках член, включающий $λ$ , часто пренебрежимо мал; однако иногда это может быть важно даже в почти несжимаемых потоках и является предметом споров. Если взять ненулевое значение, наиболее распространенным приближением является $λ \approx - ⁠ 2 / 3 ⁠ μ$ . ^{[ 7 ]}

Непосредственная подстановка $τ ij$ в уравнение сохранения импульса приведет к уравнениям Навье – Стокса , описывающим сжимаемую ньютоновскую жидкость:

\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]+\nabla \cdot \left[\lambda \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right]+\rho \mathbf {g}

Объемная сила разложена на плотность и внешнее ускорение, то есть $f = ρ g$ . Соответствующее уравнение неразрывности массы:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0

Кроме этого уравнения необходимо уравнение состояния и уравнение сохранения энергии. Используемое уравнение состояния зависит от контекста (часто это закон идеального газа ), сохранение энергии будет выглядеть следующим образом:

\rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+\nabla \cdot (k\nabla T)+\Phi

Здесь $h$ — удельная энтальпия , $T$ — температура , а $Φ$ — функция, представляющая диссипацию энергии из-за вязких эффектов:

\Phi =\mu \left(2\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial w}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\right)+\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )^{2}.

Имея хорошее уравнение состояния и хорошие функции для зависимости параметров (таких как вязкость) от переменных, эта система уравнений, по-видимому, правильно моделирует динамику всех известных газов и большинства жидкостей.

Несжимаемая ньютоновская жидкость

Для частного (но очень распространенного) случая несжимаемого течения уравнения количества движения значительно упрощаются. Используя следующие предположения:

Вязкость $μ$ теперь будет постоянной.
Второй эффект вязкости $λ = 0$
Упрощенное уравнение неразрывности массы $\nabla \cdot u = 0$

Это дает несжимаемые уравнения Навье-Стокса , описывающие несжимаемую ньютоновскую жидкость:

\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]+\rho \mathbf {g}

глядя на вязкие члены $уравнения импульса x$ затем, например, , мы имеем:

{\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\right)\\[8px]&\qquad =2\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\[8px]&\qquad =\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\[8px]&\qquad =\mu \nabla ^{2}u+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}{\cancelto {0}{\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)}}\\[8px]&\qquad =\mu \nabla ^{2}u\end{aligned}}\,

Аналогично для $направлений импульса y$ и $z$ имеем $µ \nabla 2 v$ и $µ \nabla 2 В$ .

Приведенное выше решение является ключом к выводу уравнений Навье – Стокса из уравнения движения в гидродинамике, когда плотность и вязкость постоянны.

Неньютоновские жидкости

Неньютоновская жидкость — это жидкость , свойства течения которой каким-либо образом отличаются от свойств ньютоновских жидкостей . Чаще всего вязкость неньютоновских жидкостей является функцией скорости сдвига или истории скорости сдвига. Однако существуют некоторые неньютоновские жидкости с вязкостью, не зависящей от сдвига, которые, тем не менее, демонстрируют нормальную разницу напряжений или другое неньютоновское поведение. Многие растворы солей и расплавленные полимеры являются неньютоновскими жидкостями, как и многие обычно встречающиеся вещества, такие как кетчуп , заварной крем , зубная паста , крахмальные суспензии, краска , кровь и шампунь . В ньютоновской жидкости зависимость между напряжением сдвига и скоростью сдвига линейна и проходит через начало координат, причем константа пропорциональности является коэффициентом вязкости. В неньютоновской жидкости связь между напряжением сдвига и скоростью сдвига иная и даже может зависеть от времени. Изучение неньютоновских жидкостей обычно называют реологией . Здесь приведены несколько примеров.

жидкость Бингема

В жидкостях Бингама ситуация несколько иная:

{\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\[5px]{\dfrac {\tau -\tau _{0}}{\mu }},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}

Это жидкости, способные выдерживать некоторое напряжение, прежде чем они начнут течь. Некоторыми распространенными примерами являются зубная паста и глина .

Степенная жидкость

Степенная жидкость — это идеализированная жидкость для которой напряжение сдвига , $τ$ определяется выражением

\tau =K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n}

Эта форма полезна для аппроксимации всех видов обычных жидкостей, включая разжижение при сдвиге (например, латексная краска) и загустение при сдвиге (например, водная смесь кукурузного крахмала).

Формулировка потоковой функции

При анализе потока часто желательно уменьшить количество уравнений и/или количество переменных. Уравнение несжимаемой жидкости Навье – Стокса с непрерывностью массы (четыре уравнения с четырьмя неизвестными) можно свести к одному уравнению с одной зависимой переменной в 2D или к одному векторному уравнению в 3D. Это обеспечивается двумя тождествами векторного исчисления :

{\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \phi )&=0\\\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )&=0\end{aligned}}

для любого дифференцируемого скаляра $φ$ и вектора $A$ . Первое тождество подразумевает, что любой член в уравнении Навье – Стокса, который можно представить как градиент скаляра, исчезнет, когда будет взят ротор уравнения. Обычно давление $p$ и внешнее ускорение $g$ исключаются, в результате чего (это верно как для 2D, так и для 3D):

\nabla \times \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\nu \nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)

где предполагается, что все объемные силы можно описать как градиенты (например, это верно для гравитации), а плотность разделена так, что вязкость становится кинематической вязкостью .

Второе тождество векторного исчисления, приведенное выше, гласит, что дивергенция ротора векторного поля равна нулю. Поскольку уравнение неразрывности (несжимаемой) массы определяет, что дивергенция скорости потока равна нулю, мы можем заменить скорость потока ротором некоторого вектора $ψ$ , чтобы непрерывность массы всегда выполнялась:

\nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})=0\quad \Rightarrow \quad 0=0

Итак, пока скорость потока представлена через $u = \nabla \times ψ$ , непрерывность массы безусловно выполняется. С этой новой зависимой векторной переменной уравнение Навье – Стокса (с ротором, взятым, как указано выше) становится одним векторным уравнением четвертого порядка, больше не содержащим неизвестную переменную давления и больше не зависящим от отдельного уравнения неразрывности массы:

\nabla \times \left({\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)=\nu \nabla \times \left(\nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)

Помимо того, что это уравнение содержит производные четвертого порядка, оно довольно сложное и поэтому встречается редко. Обратите внимание: если перекрестное дифференцирование не учитывать, результатом будет векторное уравнение третьего порядка, содержащее неизвестное векторное поле (градиент давления), которое можно определить из тех же граничных условий, которые можно было бы применить к уравнению четвертого порядка, приведенному выше.

2D поток в ортогональных координатах

Истинная полезность этой формулировки видна, когда поток по своей природе двумерен и уравнение записано в общей ортогональной системе координат , другими словами, в системе, в которой базисные векторы ортогональны. Обратите внимание, что это ни в коем случае не ограничивает применение декартовых координат , на самом деле большинство распространенных систем координат являются ортогональными, включая знакомые, такие как цилиндрические , и малоизвестные, такие как тороидальные .

Скорость трехмерного потока выражается как (обратите внимание, что в обсуждении пока не использовались координаты):

\mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}

где $e i$ - базисные векторы, не обязательно постоянные и не обязательно нормированные, а $u i$ - компоненты скорости потока; пусть также координаты пространства будут $(x 1, x 2, x 3)$ .

Теперь предположим, что поток двумерный. Это не означает, что поток находится в плоскости, а означает, что составляющая скорости потока в одном направлении равна нулю, а остальные компоненты не зависят от того же направления. В этом случае (примите компонент 3 равным нулю):

\mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2};\qquad {\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}=0

Вектор-функция $ψ$ по-прежнему определяется через:

\mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}

но это также должно в некотором роде упроститься, поскольку поток предполагается двумерным. Если предполагаются ортогональные координаты, ротор принимает довольно простую форму, и расширенное уравнение, приведенное выше, принимает вид:

u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)\right]+

{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)\right]

Исследование этого уравнения показывает, что мы можем положить $ψ 1 = ψ 2 = 0$ и сохранить равенство без потери общности, так что:

u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)

значение здесь состоит в том, что остается только один компонент $ψ$ , так что двумерный поток становится проблемой только с одной зависимой переменной. Перекрестно-дифференцированное уравнение Навье – Стокса превращается в два $уравнения 0 = 0$ и одно значимое уравнение.

компонента $ψ3 = Оставшаяся ψ$ называется функцией тока . Уравнение для $ψ$ можно упростить, поскольку различные величины теперь будут равны нулю, например:

\nabla \cdot {\boldsymbol {\psi }}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(\psi h_{1}h_{2}\right)=0

если масштабные коэффициенты $h 1$ и $h 2$ также не зависят от $x 3$ . Также из определения векторного лапласиана

\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\psi }})-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}=-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}

Манипулирование перекрестно-дифференцированным уравнением Навье – Стокса с использованием двух приведенных выше уравнений и множества тождеств. ^{[ 8 ]} в конечном итоге даст одномерное скалярное уравнение для функции тока:

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi

где $\nabla 4$ является бигармоническим оператором . Это очень полезно, потому что это единственное автономное скалярное уравнение, которое описывает сохранение импульса и массы в 2D. Единственные другие уравнения, которые нужны этому уравнению в частных производных, — это начальные и граничные условия.

Вывод скалярного уравнения функции тока

Distributing the curl:

{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}))+\nabla \times {\bigl (}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}){\bigr )}=\nu \nabla \times \left(\nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)

Replacing curl of the curl with the Laplacian and expanding convection and viscosity:

-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}\right)+\nabla \times \left(\nabla \left({\frac {(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})}{2}}\right)+\left(\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)\times (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)=\nu \left(\nabla ^{2}(\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\psi }}))-\nabla ^{4}{\boldsymbol {\psi }}\right)

Above, the curl of a gradient is zero, and the divergence of $ψ$ is zero. Negating:

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}\right)+\nabla \times \left(\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}\times (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)=\nu \nabla ^{4}{\boldsymbol {\psi }}

Expanding the curl of the cross product into four terms:

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}\right)+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla \left(\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}\right)-\left(\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}\right)\cdot \nabla (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})+\left(\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}\right)(\nabla \cdot (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}))-(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\left(\nabla \cdot \left(\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}\right)\right)=\nu \nabla ^{4}{\boldsymbol {\psi }}

Only one of four terms of the expanded curl is nonzero. The second is zero because it is the dot product of orthogonal vectors, the third is zero because it contains the divergence of flow velocity, and the fourth is zero because the divergence of a vector with only component three is zero (since it is assumed that nothing (except maybe $h 3$ ) depends on component three).

{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}\right)+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla \left(\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}\right)=\nu \nabla ^{4}{\boldsymbol {\psi }}

This vector equation is one meaningful scalar equation and two $0 = 0$ equations.

Допущения для уравнения функции тока:

Поток несжимаемый и ньютоновский.
Координаты ортогональны .
Поток двумерный: $u 3 = ⁠ \partial u 1 / \partial x 3 ⁠ = ⁠ \partial u 2 / \partial x 3 ⁠ = 0$
Первые два масштабных коэффициента системы координат не зависят от последней координаты: $⁠ \partial h 1 / \partial x 3 ⁠ = ⁠ \partial h 2 / \partial x 3 ⁠ = 0$ , иначе появляются лишние члены.

Функция потока имеет несколько полезных свойств:

Поскольку $-\nabla 2 ψ = \nabla \times (\nabla \times ψ) = \nabla \times u$ , завихренность потока является отрицательным значением лапласиана функции тока.
Кривые уровня функции тока представляют собой линии тока .

Тензор напряжений

Вывод уравнения Навье-Стокса предполагает учет сил, действующих на жидкие элементы, поэтому величина, называемая тензором напряжений, естественным образом появляется в уравнении количества движения Коши . Поскольку берется дивергенция этого тензора, то уравнение принято записывать полностью упрощенно, так что первоначальный вид тензора напряжений теряется.

Тем не менее, тензор напряжений по-прежнему имеет некоторые важные применения, особенно при формулировании граничных условий на границах раздела жидкостей . Учитывая, что $σ = - p I + τ$ , для ньютоновской жидкости тензор напряжений равен:

\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\delta _{ij}\lambda \nabla \cdot \mathbf {u} .

Если предположить, что жидкость несжимаема, тензор существенно упрощается. Например, в трехмерных декартовых координатах:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}}&2\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}&\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}}&\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}}&2\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\[6px]&=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\\[6px]&=-p\mathbf {I} +2\mu \mathbf {e} \end{aligned}}

$e$ - тензор скорости деформации , по определению:

e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right).

См. также

Ссылки

^ «Уравнение Навье-Стокса» . Математический институт Клея . Проверено 24 декабря 2023 г.
^ Мансон, Брюс Р. (2013). Основы механики жидкости (7-е изд.). Джефферсон-Сити: Джон Уайли и сыновья. ^{[ нужна страница ]}
^ Jump up to: ^а ^б Лебедев, Леонид П. (2003). Тензорный анализ . Всемирная научная. ISBN 981-238-360-3 .
^ Бэтчелор 2000 , с. 141.
^ Морс, PM; Ингард, К.У. (1968). Теоретическая акустика . Издательство Принстонского университета.
^ Ландо; Лифшиц. Механика жидкости . Курс теоретической физики. Том. 6 (2-е изд.). п. 45.
^ Бэтчелор 2000 , с. 144.
^ Эрик В. Вайсштейн . «Векторная производная» . Математический мир . Проверено 7 июня 2008 г.

Бэтчелор, Г.К. (2000). Введение в гидродинамику . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66396-0 .
Уайт, Фрэнк М. (2006). Течение вязкой жидкости (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу Хилл. ISBN 0-07-240231-8 .
Модуль поверхностного натяжения. Архивировано 27 октября 2007 г. в Wayback Machine , Джоном У.М. Бушем, в MIT OCW.
Галди, Введение в математическую теорию уравнений Навье – Стокса: стационарные задачи. Спрингер 2011

[1] «Уравнение Навье-Стокса» . Математический институт Клея . Проверено 24 декабря 2023 г.

[2] Мансон, Брюс Р. (2013). Основы механики жидкости (7-е изд.). Джефферсон-Сити: Джон Уайли и сыновья. ^{[ нужна страница ]}

[TA-3] Jump up to: ^а ^б Лебедев, Леонид П. (2003). Тензорный анализ . Всемирная научная. ISBN 981-238-360-3 .

[FOOTNOTEBatchelor2000141-4] Бэтчелор 2000 , с. 141.

[5] Морс, PM; Ингард, К.У. (1968). Теоретическая акустика . Издательство Принстонского университета.

[6] Ландо; Лифшиц. Механика жидкости . Курс теоретической физики. Том. 6 (2-е изд.). п. 45.

[FOOTNOTEBatchelor2000144-7] Бэтчелор 2000 , с. 144.

[8] Эрик В. Вайсштейн . «Векторная производная» . Математический мир . Проверено 7 июня 2008 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]