алгебра Вейля

В абстрактной алгебре алгебры Вейля абстрагируются от кольца дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. Они названы в честь Германа Вейля , который ввел их для изучения Гейзенберга принципа неопределенности в квантовой механике .

В простейшем случае это дифференциальные операторы. Позволять $F$ будь полем , и пусть $F[x]$ — кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами $F$. Тогда соответствующая алгебра Вейля состоит из дифференциальных операторов вида

$f_{m}(x)\partial _{x}^{m}+f_{m-1}(x)\partial _{x}^{m-1}+\cdots +f_{1}(x)\partial _{x}+f_{0}(x)$

В этом случае, $q$ соответствует левому умножению на $x$, и $p$ соответствует взятию производной по $x$. Это первая алгебра Вейля $A_{1}$. -я n алгебра Вейля $A_{n}$ построены аналогично.

Альтернативно, $A_{1}$ может быть построено как фактор свободной алгебры по двум образующим q и p по идеалу , порожденному $([p,q]-1)$. Сходным образом, $A_{n}$ получается факторизацией свободной алгебры на 2n образующих по идеалу, порожденному $$([p_{i},q_{j}]-\delta _{i,j}),\quad \forall i,j=1,\dots ,n$$где $\delta _{i,j}$ это дельта Кронекера .

В более общем смысле, пусть $(R,\Delta )$ кольцо частных дифференциальных с коммутирующими производными $\Delta =\lbrace \partial _{1},\ldots ,\partial _{m}\rbrace$. Алгебра Вейля, связанная с $(R,\Delta )$ – некоммутативное кольцо $R[\partial _{1},\ldots ,\partial _{m}]$ удовлетворение отношений $\partial _{i}r=r\partial _{i}+\partial _{i}(r)$ для всех $r\in R$. Предыдущий случай является частным случаем, когда $R=F[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ и $\Delta =\lbrace \partial _{x_{1}},\ldots ,\partial _{x_{n}}\rbrace$ где $F$ это поле.

В данной статье рассматривается только случай $A_{n}$ с базовым полем $F$ характеристика равна нулю , если не указано иное.

Алгебра Вейля является примером простого кольца , которое не является матричным кольцом над телом . Это также некоммутативный пример домена и пример расширения Оре .

Мотивация

Смотрите также: Каноническое коммутационное соотношение

Алгебра Вейля естественным образом возникает в контексте квантовой механики и процесса канонического квантования . Рассмотрим классическое фазовое пространство с каноническими координатами $(q_{1},p_{1},\dots ,q_{n},p_{n})$. Эти координаты удовлетворяют соотношениям скобок Пуассона : $$\{q_{i},q_{j}\}=0,\quad \{p_{i},p_{j}\}=0,\quad \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}.$$При каноническом квантовании стремятся построить гильбертово пространство состояний и представить классические наблюдаемые (функции в фазовом пространстве) как самосопряженные операторы в этом пространстве. Накладываются канонические коммутационные соотношения: $$[{\hat {q}}_{i},{\hat {q}}_{j}]=0,\quad [{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=0,\quad [{\hat {q}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},$$где $[\cdot ,\cdot ]$ обозначает коммутатор . Здесь, ${\hat {q}}_{i}$ и ${\hat {p}}_{i}$ операторы, соответствующие $q_{i}$ и $p_{i}$ соответственно. Эрвин Шредингер предложил в 1926 году следующее:

• ${\hat {q_{j}}}$ с умножением на $x_{j}$.
• ${\hat {p}}_{j}$ с $-i\hbar \partial _{x_{j}}$.

При таком отождествлении выполняется каноническое коммутационное соотношение.

Конструкции

Алгебры Вейля имеют разные конструкции и разные уровни абстракции.

Представительство

Алгебра Вейля $A_{n}$ может быть конкретно построено как представление .

В представлении дифференциального оператора, аналогичном каноническому квантованию Шредингера, пусть $q_{j}$ быть представлено умножением слева на $x_{j}$, и пусть $p_{j}$ быть представлено дифференцированием слева на $\partial _{x_{j}}$.

В матричном представлении, аналогичном матричной механике , $A_{1}$ представлен $$P={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots \\0&0&2&0&\cdots \\0&0&0&3&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},\quad Q={\begin{bmatrix}0&0&0&0&\ldots \\1&0&0&0&\cdots \\0&1&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$$и $A_{n}$ представлено произведением Кронекера матриц.

Генератор

$A_{n}$ может быть построена как фактор свободной алгебры в терминах образующих и отношений. Одна конструкция начинается с абстрактного векторного пространства V (размерности 2 n ), снабженного симплектической формой ω . Определим алгебру Вейля W ( V ) как

$W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),$

где T ( V ) — тензорная алгебра на V , а обозначение $(\!()\!)$ означает « идеал , порожденный».

Другими словами, W ( V ) — это алгебра, порожденная V, подчиняющаяся только отношению vu − uv = ω ( v , u ) . Тогда W ( V ) изоморфно An _. благодаря выбору базиса Дарбу ω для

$A_{n}$ также является фактором универсальной обертывающей алгебры алгебры Гейзенберга , алгебры Ли группы Гейзенберга , устанавливая центральный элемент алгебры Гейзенберга (а именно [ q , p ]), равный единице универсальной обертывающей алгебры (называемой 1 выше).

Квантование

Алгебра W ( V ) является квантованием симметрической алгебры Sym( V ). Если V находится над полем нулевой характеристики, то W ( V ) естественным образом изоморфно базовому векторному пространству симметричной алгебры Sym( V ), оснащенному деформированным произведением, называемым произведением Грюневолда – Мойала (считая симметричную алгебру полиномиальные функции на V ^∗ , где переменные охватывают векторное пространство V , и заменяя iħ в формуле произведения Мойала на 1).

Изоморфизм задается отображением симметризации Sym( V ) в W ( V )

$a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.$

Если кто-то предпочитает иметь iħ и работать с комплексными числами, вместо этого можно было бы определить приведенную выше алгебру Вейля как порожденную q _i и iħ∂ _{q i} (согласно использованию квантовой механики ).

Таким образом, алгебра Вейля представляет собой квантование симметрической алгебры, которое по существу совпадает с квантованием Мойала (если для последнего ограничивается полиномиальными функциями), но первое осуществляется в терминах генераторов и соотношений (считающихся дифференциальными операторами ), а последнее — в терминах деформированного умножения.

В случае внешних алгебр аналогом квантования Вейля является алгебра Клиффорда , которую также называют ортогональной алгеброй Клиффорда .

Алгебра Вейля также называется симплектической алгеброй Клиффорда . Алгебры Вейля представляют для симплектических билинейных форм ту же структуру, которую алгебры Клиффорда представляют для невырожденных симметричных билинейных форм.

D-модуль

Алгебра Вейля может быть построена как D-модуль .

Позволять $R$ — коммутативная алгебра над $\mathbb {C}$. Кольцо дифференциальных операторов $D(R)$ индуктивно определяется как градуированная подалгебра в $\operatorname {End} _{\mathbb {C} }(R)$:

• $P^{0}(R)=R$
• $D^{k}(R)=\left\{d\in \operatorname {End} _{\mathrm {c} }(R):[d,a]\in D^{k-1}(R){\text{ for all }}a\in R\right\}.$

Позволять $D(R)$ быть союзом всех $D^{k}(R)$ для $k\geq 0$. Это подалгебра $\operatorname {End} _{\mathbb {C} }(R)$.

$D^{1}(R)$ генерируется, как $R$-модуль, на 1 и $\mathbb {C}$- производные ​ $R$. В частности, если $R=\mathbb {C} [x]$, кольцо многочленов от одной переменной, то $D^{1}(R)=R+R\partial _{x}$. Фактически, $A_{1}=D(R)$.

Свойства Ан _​

Многие свойства $A_{1}$ обратиться к $A_{n}$ с по существу аналогичными доказательствами, поскольку разные размерности коммутируют.

Теорема . Центр . алгебры Вейля $A_{n}$ является основным полем констант $F$.

Доказательство

Для любого элемента $h=f_{m}(q)p^{m}+f_{m-1}(q)p^{m-1}+\cdots +f_{1}(q)p+f_{0}(q)$ в центре, $hp=ph$ подразумевает $f_{i}'=0$ для всех $i$ и $hq=qh$ подразумевает $f_{i}=0$ для $i>0$. Таким образом $h=f_{0}$ является константой.

Правило генерала Лейбница

Основная статья: Правило генерала Лейбница

Теорема   (общее правило Лейбница) — $$p^{k}q^{m}=\sum _{l=0}^{k}{\binom {k}{l}}{\frac {m!}{(m-l)!}}q^{m-l}p^{k-l}=q^{m}p^{k}+mkq^{m-1}p^{k-1}+\cdots$$

Доказательство

Под $p\mapsto x,q\mapsto \partial _{x}$ представлении, это уравнение получается по общему правилу Лейбница. Поскольку общее правило Лейбница доказуемо алгебраическими манипуляциями, оно справедливо для $A_{1}$ также.

В частности, ${\textstyle [q,q^{m}p^{n}]=-nq^{m}p^{n-1}}$ и ${\textstyle [p,q^{m}p^{n}]=mq^{m-1}p^{n}}$.

Степень

Теорема — $A_{n}$ имеет основу $\{q^{m}p^{n}:m,n\geq 0\}$.

Доказательство

Повторяя коммутаторные соотношения, любой моном можно приравнять к их линейной сумме. Осталось проверить, что они линейно независимы. Это можно проверить в представлении дифференциального оператора. Для любой линейной суммы $\sum _{m,n}c_{m,n}x^{m}\partial _{x}^{n}$ с ненулевыми коэффициентами сгруппируем в порядке убывания: $p_{N}(x)\partial _{x}^{N}+p_{N-1}(x)\partial _{x}^{N-1}+\cdots +p_{M}(x)\partial _{x}^{M}$, где $p_{M}$ является ненулевым полиномом. Этот оператор применяется к $x^{M}$ приводит к $M!p_{M}(x)\neq 0$.

Это позволяет $A_{1}$ быть градуированной алгеброй , где степень $\sum _{m,n}c_{m,n}q^{m}p^{n}$ является $\max(m+n)$ среди его ненулевых мономов. Аналогично определяется степень $A_{n}$.

Теорема — Для $A_{n}$:

• $\deg(g+h)\leq \max(\deg(g),\deg(h))$
• $\deg([g,h])\leq \deg(g)+\deg(h)-2$
• $\deg(gh)=\deg(g)+\deg(h)$

Доказательство

Мы доказываем это для $A_{1}$, как $A_{n}$ случай аналогичный.

Первое соотношение является по определению. Второе соотношение соответствует общему правилу Лейбница. Для третьего соотношения заметим, что $\deg(gh)\leq \deg(g)+\deg(h)$, поэтому достаточно проверить, что $gh$ содержит хотя бы один ненулевой моном степени $\deg(g)+\deg(h)$. Чтобы найти такой одночлен, выберите тот, который находится в $g$ с высшей степенью. Если таких одночленов несколько, выберите тот, который имеет наибольшую степень в $q$. Аналогично для $h$. Эти два монома, умноженные вместе, образуют единственный моном среди всех мономов $gh$, и поэтому оно остается ненулевым.

Теорема — $A_{n}$ это простой домен .

То есть у него нет двусторонних нетривиальных идеалов и делителей нуля .

Доказательство

Потому что $\deg(gh)=\deg(g)+\deg(h)$, оно не имеет делителей нуля.

Предположим от противного, что $I$ является ненулевым двусторонним идеалом $A_{1}$, с $I\neq A_{1}$. Выберите ненулевой элемент $f\in I$ с низшей степенью.

Если $f$ содержит некоторый ненулевой моном вида $xx^{m}\partial ^{n}=x^{m+1}\partial ^{n}$, затем $$[\partial ,f]=\partial f-f\partial$$ содержит ненулевой моном вида $$\partial x^{m+1}\partial ^{n}-x^{m+1}\partial ^{n}\partial =(m+1)x^{m}\partial ^{n}.$$ Таким образом $[\partial ,f]$ ненулевое значение и имеет степень $\leq \deg(f)-1$. Как $I$ является двусторонним идеалом, мы имеем $[\partial ,f]\in I$, что противоречит минимальности $\deg(f)$.

Аналогично, если $f$ содержит некоторый ненулевой моном вида $x^{m}\partial ^{n}\partial$, затем $[x,f]=xf-fx$ не равно нулю с меньшей степенью.

Вывод

Дополнительная информация: Вывод (дифференциальная алгебра).

Теорема . Выводы ${\textstyle A_{n}}$ находятся в биекции с элементами ${\textstyle A_{n}}$ с точностью до аддитивного скаляра.

То есть любой вывод ${\textstyle D}$ равно ${\textstyle [\cdot ,f]}$ для некоторых ${\textstyle f\in A_{n}}$; любой ${\textstyle f\in A_{n}}$ дает вывод ${\textstyle [\cdot ,f]}$; если ${\textstyle f,f'\in A_{n}}$ удовлетворяет ${\textstyle [\cdot ,f]=[\cdot ,f']}$, затем ${\textstyle f-f'\in F}$.

Доказательство аналогично вычислению потенциальной функции консервативного полиномиального векторного поля на плоскости.

показывать Доказательство

Since the commutator is a derivation in both of its entries, ${\textstyle [\cdot ,f]}$ is a derivation for any ${\textstyle f\in A_{n}}$. Uniqueness up to additive scalar is because the center of ${\textstyle A_{n}}$ is the ring of scalars. It remains to prove that any derivation is an inner derivation by induction on ${\textstyle n}$. Base case: Let ${\textstyle D:A_{1}\to A_{1}}$ be a linear map that is a derivation. We construct an element ${\textstyle r}$ such that ${\textstyle [p,r]=D(p),[q,r]=D(q)}$. Since both ${\textstyle D}$ and ${\textstyle [\cdot ,r]}$ are derivations, these two relations generate ${\textstyle [g,r]=D(g)}$ for all ${\textstyle g\in A_{1}}$. Since ${\textstyle [p,q^{m}p^{n}]=mq^{m-1}p^{n}}$, there exists an element ${\textstyle f=\sum _{m,n}c_{m,n}q^{m}p^{n}}$ such that $$[p,f]=\sum _{m,n}mc_{m,n}q^{m}p^{n}=D(p)$$ $${\begin{aligned}0&{\stackrel {[p,q]=1}{=}}D([p,q])\\&{\stackrel {D{\text{ is a derivation}}}{=}}[p,D(q)]+[D(p),q]\\&{\stackrel {[p,f]=D(p)}{=}}[p,D(q)]+[[p,f],q]\\&{\stackrel {\text{Jacobi identity}}{=}}[p,D(q)-[q,f]]\end{aligned}}$$ Thus, ${\textstyle D(q)=g(p)+[q,f]}$ for some polynomial ${\textstyle g}$. Now, since ${\textstyle [q,q^{m}p^{n}]=-nq^{m}p^{n-1}}$, there exists some polynomial ${\textstyle h(p)}$ such that ${\textstyle [q,h(p)]=g(p)}$. Since ${\textstyle [p,h(p)]=0}$, ${\textstyle r=f+h(p)}$ is the desired element. For the induction step, similarly to the above calculation, there exists some element ${\textstyle r\in A_{n}}$ such that ${\textstyle [q_{1},r]=D(q_{1}),[p_{1},r]=D(p_{1})}$. Similar to the above calculation, $$[x,D(y)-[y,r]]=0$$ for all ${\textstyle x\in \{p_{1},q_{1}\},y\in \{p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\}}$. Since ${\textstyle [x,D(y)-[y,r]]}$ is a derivation in both ${\textstyle x}$ and ${\textstyle y}$, ${\textstyle [x,D(y)-[y,r]]=0}$ for all ${\textstyle x\in \langle p_{1},q_{1}\rangle }$ and all ${\textstyle y\in \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle }$. Here, ${\textstyle \langle \rangle }$ means the subalgebra generated by the elements. Thus, ${\textstyle \forall y\in \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle }$, $$D(y)-[y,r]\in \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle$$ Since ${\textstyle D-[\cdot ,r]}$ is also a derivation, by induction, there exists ${\textstyle r'\in \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle }$ such that ${\textstyle D(y)-[y,r]=[y,r']}$ for all ${\textstyle y\in \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle }$. Since ${\textstyle p_{1},q_{1}}$ commutes with ${\textstyle \langle p_{2},\dots ,p_{n},q_{2},\dots ,q_{n}\rangle }$, we have ${\textstyle D(y)=[y,r+r']}$ for all $y\in \{p_{1},\dots ,p_{n},q_{1},\dots ,q_{n}\}$, and so for all of $A_{n}$.

Теория представлений

Дополнительная информация: теорема Стоуна – фон Неймана.

Нулевая характеристика

В случае, когда основное поле F имеет нулевую характеристику, n -я алгебра Вейля представляет собой простую нётерову область . Оно имеет глобальную размерность n , в отличие от деформируемого им кольца Sym( V ), которое имеет глобальную размерность 2 n .

Он не имеет конечномерных представлений. Хотя это следует из простоты, это можно показать более непосредственно, взяв след σ ( q ) и σ ( Y ) для некоторого конечномерного представления σ (где [ q , p ] = 1 ).

$\mathrm {tr} ([\sigma (q),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.$

Поскольку след коммутатора равен нулю, а след единицы является размерностью представления, представление должно быть нульмерным.

На самом деле существуют более сильные утверждения, чем отсутствие конечномерных представлений. Любому конечно порожденному -модулю _× M соответствует подмногообразие Char( M ) из V An V ^∗ называется «характерным сортом» размер которого примерно соответствует размеру M . (конечномерный модуль будет иметь нульмерное характеристическое многообразие) Тогда неравенство Бернштейна утверждает, что для M ненулевого

$\dim(\operatorname {char} (M))\geq n$

Еще более сильным утверждением является теорема Габбера , которая утверждает, что Char( M ) является коизотропным подмногообразием V × V. ^∗ для естественной симплектической формы.

Положительная характеристика

Ситуация существенно иная в случае алгебры Вейля над полем характеристики p > 0 .

В этом случае для любого элемента D алгебры Вейля элемент D ^п центральна, поэтому алгебра Вейля имеет очень большой центр. Фактически это конечно порожденный модуль над своим центром; более того, это алгебра Адзумая над своим центром. Как следствие, существует множество конечномерных представлений, которые построены из простых представлений размерности p .

Обобщения

Более подробную информацию об этом квантовании в случае n = 1 (и расширении с помощью преобразования Фурье до класса интегрируемых функций, больших, чем полиномиальные функции), см. в разделе Преобразование Вигнера – Вейля .

Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда допускают дополнительную структуру *-алгебры и могут быть объединены как четные и нечетные члены супералгебры , как обсуждалось в алгебрах CCR и CAR .

Аффинные сорта

Алгебры Вейля также обобщаются на случай алгебраических многообразий. Рассмотрим кольцо полиномов

$R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.$

Тогда дифференциальный оператор определяется как композиция $\mathbb {C}$-линейные выводы $R$. Это можно явно описать как факторкольцо

${\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.$

См. также

• Якобианская гипотеза
• Гипотеза Диксмье

Ссылки

• Коутиньо, СК (1995). Букварь алгебраических D-модулей . Кембридж [Англия] ; Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/cbo9780511623653 . ISBN  978-0-521-55119-9 .
• Коутиньо, СК (1997). «Множество аватаров простой алгебры». Американский математический ежемесячник . 104 (7): 593–604. дои : 10.1080/00029890.1997.11990687 . ISSN   0002-9890 .
• Дирак, ПАМ (1926). «О квантовой алгебре». Математические труды Кембриджского философского общества . 23 (4): 412–418. дои : 10.1017/S0305004100015231 . ISSN   0305-0041 .
• Хельмстеттер, Дж.; Микали, А. (2008). Квадратичные отображения и алгебры Клиффорда . Базель ; Бостон: Биркхойзер. ISBN  978-3-7643-8605-4 . OCLC   175285188 .
• Ландсман, Н.П. (2007). «МЕЖДУ КЛАССИЧЕСКИМ И КВАНТОВЫМ». Философия физики . Эльзевир. дои : 10.1016/b978-044451560-5/50008-7 . ISBN  978-0-444-51560-5 .
• Лунесто, П.; Абламович, Р. (2004). Алгебры Клиффорда . Бостон: Springer Science & Business Media. ISBN  0-8176-3525-4 .
• Микали, А.; Буде, Р.; Хелмстеттер, Дж. (1992). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике . Дордрехт: Springer Science & Business Media. ISBN  0-7923-1623-1 .
• де Траубенберг, М. Рауш; Слупинский, MJ; Танаса, А. (2006). «Конечномерные подалгебры Ли алгебры Вейля». Дж. Теория лжи . 16 : 427–454. arXiv : math/0504224 .
• Трэвес, Уилл (2010). «Дифференциальные операции над многообразиями Грассмана». В Кэмпбелле, Х.; Хельминк, А.; Крафт, Х.; Велау, Д. (ред.). Симметрия и пространства . Прогресс в математике. Том. 278. Биркхойзе. стр. 197–207. дои : 10.1007/978-0-8176-4875-6_10 . ISBN  978-0-8176-4875-6 .
• Цит Юэнь Лам (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для аспирантов по математике . Том. 131 (2-е изд.). Спрингер. п. 6. ISBN  978-0-387-95325-0 .