Псевдовыпуклость

Эта статья посвящена понятию нескольких комплексных переменных. Для понятия выпуклого анализа см. псевдовыпуклую функцию .

В математике , точнее в теории функций многих комплексных переменных , псевдовыпуклое множество — это особый тип открытого множества в n -мерном комплексном пространстве C. ^н . Псевдовыпуклые множества важны, поскольку они позволяют классифицировать области голоморфности .

Позволять

$G\subset {\mathbb {C} }^{n}$

быть доменом, то есть открытым связным подмножеством . Один говорит, что $G$ является псевдовыпуклой (или по Хартогсу псевдовыпуклой ), если существует непрерывная плюрисубгармоническая функция $\varphi$ на $G$ такой, что набор

$\{z\in G\mid \varphi (z)<x\}$

представляет собой относительно компактное подмножество $G$ для всех действительных чисел $x.$ Другими словами, область псевдовыпуклая, если $G$ имеет непрерывную плюрисубгармоническую функцию истощения . Всякое (геометрически) выпуклое множество псевдовыпуклое. Однако существуют псевдовыпуклые области, которые не являются геометрически выпуклыми.

Когда $G$ имеет $C^{2}$ (дважды непрерывно дифференцируемой ) границы , это понятие совпадает с псевдовыпуклостью Леви, с которой легче работать. Точнее, с $C^{2}$ границу, можно показать, что $G$ имеет определяющую функцию, т. е. существует $\rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R}$ который $C^{2}$ так что $G=\{\rho <0\}$, и $\partial G=\{\rho =0\}$. Сейчас, $G$ является псевдовыпуклым тогда и только тогда, когда для каждого $p\in \partial G$ и $w$ в комплексном касательном пространстве в точке p, т. е.

$\nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0$, у нас есть

$\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.$

Приведенное выше определение аналогично определениям выпуклости в реальном анализе.

Если $G$ не имеет $C^{2}$ границы, может оказаться полезным следующий результат аппроксимации.

Предложение 1. Если $G$ псевдовыпуклая, то существуют ограниченные , сильно псевдовыпуклые по Леви области $G_{k}\subset G$ с $C^{\infty }$ ( гладкая ) граница, относительно компактная в $G$, такой, что

$G=\bigcup _{k=1}^{\infty }G_{k}.$

Это потому, что как только у нас появится $\varphi$ как и в определении, мы действительно можем найти C ^∞ функция истощения.

Случай n = 1

В одном комплексном измерении каждая открытая область псевдовыпуклая. Таким образом, концепция псевдовыпуклости более полезна в размерностях выше 1.

См. также

• Аналитический многогранник
• Эухенио Элиа Леви
• Голоморфно выпуклая оболочка
• Коллектор Штейна

Ссылки

• Бремерманн, HJ (1956). «Сложная выпуклость» . Труды Американского математического общества . 82 (1): 17–51. дои : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR   1992976 .
• Ларс Хёрмандер , Введение в комплексный анализ нескольких переменных , Северная Голландия, 1990. ( ISBN   0-444-88446-7 ).
• Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных , издательство AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.
• Сиу, Юм-Тонг (1978). «Псевдовыпуклость и проблема Леви» . Бюллетень Американского математического общества . 84 (4): 481–513. дои : 10.1090/S0002-9904-1978-14483-8 . МР   0477104 .
• Кэтлин, Дэвид (1983). «Необходимые условия субэллиптичности ${\bar {\partial }}$-Проблема Неймана» . Анналы математики . 117 (1): 147–171. doi : 10.2307/2006974 . JSTOR   2006974 .
• Циммер, Эндрю (2019). «Характеристика сильной псевдовыпуклости, препятствий к биголоморфизмам и показателей Ляпунова». Математические Аннален . 374 (3–4): 1811–1844. arXiv : 1703.01511 . дои : 10.1007/s00208-018-1715-7 . S2CID   253714537 .
• Форнесс, Джон; Вольд, Эрленд (2018). «Нестрого псевдовыпуклая область, для которой функция сжатия стремится к 1 к границе». Тихоокеанский математический журнал . 297 : 79–86. arXiv : 1611.04464 . дои : 10.2140/pjm.2018.297.79 . S2CID   119149200 .

Эта статья включает в себя материал из Pseudoconvex на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Внешние ссылки

• Рэндж, Р. Майкл (февраль 2012 г.), «ЧТО ТАКОЕ... псевдовыпуклая область?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 59 (2): 301–303, doi : 10.1090/noti798
• «Псевдовыпуклые и псевдовогнутые» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]