Пластиковое соотношение

Пластиковое соотношение

Треугольники со сторонами, относящимися к ρ, образуют замкнутую спираль.
Рациональность	иррациональный алгебраический
Символ	р
Представительства
десятичный	1.32471 79572 44746 02596 09088 ...
Алгебраическая форма	действительный корень х 3 = х + 1
Цепная дробь (линейная)	[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,141,80,...] не периодический бесконечный

В математике коэффициент пластичности — это геометрическая пропорция, близкая к 53/40 . Его истинное значение — это действительное решение уравнения x ³ = х + 1.

Прилагательное пластика относится не к искусственному материалу , а к формообразующим и скульптурным качествам этого соотношения, как в пластических искусствах .

Квадраты со сторонами, относящимися к ρ, образуют замкнутую спираль.

Определение

Три величины a > b > c > 0 находятся в пластическом отношении, если

${\frac {a}{b}}={\frac {b+c}{a}}={\frac {b}{c}}$.

Соотношение ${\frac {a}{b}}$ обычно обозначается ⁠ $\rho .$⁠

Пусть ⁠ $a=\rho \,$⁠ и ⁠ $\,b=1$⁠ , тогда

$\rho ^{2}=1+c\,\land \,\rho =1/c$

$\implies \rho ^{2}-1=\rho ^{-1}$.

Отсюда следует, что коэффициент пластичности находится как единственное вещественное решение кубического уравнения $\rho ^{3}-\rho -1=0.$ Десятичное разложение корня начинается как $1.324\,717\,957\,244\,746...$ (последовательность A060006 в OEIS ).

Решая уравнение по формуле Кардано ,

$w_{1,2}=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}\right)/2$

$\rho ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}$

или, используя гиперболический косинус ,

$\rho ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).$

⁠ $\rho$⁠ — сверхстабильная фиксированная точка итерации $x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}-1)$.

Итерация $x\gets {\sqrt {1+{\tfrac {1}{x}}}}$ приводит к продолжению обратного квадратного корня

$\rho ={\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}$

Деление определяющего трехчлена $x^{3}-x-1$ автор ⁠ $x-\rho$⁠ получается $x^{2}+\rho x+1/\rho$, а сопряженные ⁠ элементы $\rho$⁠ являются

$x_{1,2}=\left(-\rho \pm i{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}\right)/2,$

с $x_{1}+x_{2}=-\rho \;$ и $\;x_{1}x_{2}=1/\rho .$

Характеристики

Прямоугольники в соотношениях сторон ρ , ρ ² , р ³ (вверху) и ρ ² , р , р ³ (нижний ряд) замостите квадрат.

Коэффициент пластичности ⁠ $\rho$⁠ и золотое сечение ⁠ $\varphi$⁠ — единственные морфические числа: действительные числа x > 1 , для которых существуют натуральные числа m и n такие, что

$x+1=x^{m}$ и $x-1=x^{-n}$.

Морфические числа могут служить основой системы меры.

Свойства ⁠ $\rho$⁠ (m=3 и n=4) связаны с таковыми из ⁠ $\varphi$⁠ (м=2 и п=1). Например, коэффициент пластичности удовлетворяет непрерывному радикальному закону.

$\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}$,

в то время как золотое сечение удовлетворяет аналогичному

$\varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}$

Коэффициент пластичности можно выразить в виде бесконечной геометрической прогрессии.

$\rho =\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-5n}$ и $\,\rho ^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-3n},$

по сравнению с идентичностью золотого сечения

$\varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}$ и наоборот .

Кроме того, $1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2$, пока $\sum _{n=0}^{13}\rho ^{-n}=4.$

Для каждого целого числа $n$ у одного есть

${\begin{aligned}\rho ^{n}&=\rho ^{n-2}+\rho ^{n-3}\\&=\rho ^{n-1}+\rho ^{n-5}\\&=\rho ^{n-3}+\rho ^{n-4}+\rho ^{n-5}.\end{aligned}}$

Алгебраическое решение сокращенного уравнения пятой степени может быть записано в терминах квадратных корней, кубических корней и радикала Бринга . Если $y=x^{5}+x$ затем $x=BR(y)$. С $\rho ^{-5}+\rho ^{-1}=1,\quad \rho =1/BR(1).$

Фрактал Рози, связанный с пластическим кубом отношений. Центральный тайл и три его субтайла имеют площади в соотношении ρ 5 : п 2 : р :1.

Фрактал Рози, связанный с Ⴔ, квадратом отношения пластичности; с областями, как указано выше.

Непрерывная дробная структура нескольких малых степеней

$\rho ^{-1}=[0;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 0.7549$ ( 25/33 )

$\ \rho ^{0}=[1]$

$\ \rho ^{1}=[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 1.3247$ ( 45/34 )

$\ \rho ^{2}=[1;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 1.7549$ ( 58/33 )

$\ \rho ^{3}=[2;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 2.3247$ ( 79/34 )

$\ \rho ^{4}=[3;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 3.0796$ ( 40/13 )

$\ \rho ^{5}=[4;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 4.0796$ ( 53/13 ) ...

$\ \rho ^{7}=[7;6,3,1,1,4,1,1,2,1,1,...]\approx 7.1592$ ( 93/13 ) ...

$\ \rho ^{9}=[12;1,1,3,2,3,2,4,2,141,...]\approx 12.5635$ ( 88/7 )

Коэффициент пластичности — это наименьшее число Писо . Поскольку абсолютное значение $1/{\sqrt {\rho }}$ алгебраических сопряжений меньше 1, степени ⁠ $\rho$⁠ генерировать почти целые числа . Например: $\rho ^{29}=3480.0002874...\approx 3480+1/3479.$ После 29 шагов вращения фазы внутренней спиралевидной сопряженной пары - изначально близки к ⁠ $\pm 45\pi /58$⁠ – почти совпадает с воображаемой осью.

Минимальный полином коэффициента пластичности $m(x)=x^{3}-x-1$ имеет дискриминант $\Delta =-23$. мнимого Поле классов Гильберта квадратичного поля $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})$ можно образовать путем присоединения ⁠ $\rho$⁠ . С аргументом $\tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,$ генератор кольца целых ⁠ чисел $K$⁠ имеет особое значение эта- частного Дедекинда

$\rho ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}$.

Выражается через инвариант класса Вебера-Рамануджана G _n

$\rho ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{23}}{\sqrt[{4}]{2}}}$.

Свойства соответствующего j-инварианта Клейна ⁠ $j(\tau )$⁠ приводят к почти идентичности $e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\rho \right)^{24}-24$. Разница составляет <1/12659 .

Эллиптический интеграл сингулярного значения $k_{r}=\lambda ^{*}(r)$ для ⁠ $r=23$⁠ имеет выражение закрытой формы

$\lambda ^{*}(23)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\rho )^{-12}\right)/2)$

(что составляет менее 1/3 эксцентриситета орбиты Венеры).

Последовательность Ван дер Лаана

Любитель пластиковой плитки Рози с площадями в соотношении Ⴔ. Фрактальная граница имеет размерность . 1,11

В своем стремлении к ощутимой ясности голландский монах-бенедиктинец и архитектор Дом Ханс ван дер Лаан (1904-1991) потребовал минимальной разницы между двумя размерами, чтобы мы могли четко воспринимать их как отдельные. Кроме того, каково максимальное соотношение двух размеров, чтобы мы могли соотносить их и воспринимать близость. По его наблюдениям, ответы — 1/4 и 7/1 , охватывающие один порядок размера . Требуя пропорциональной непрерывности, он построил геометрический ряд из восьми мер ( видов размеров ) с общим соотношением 2/(3/4 + 1/7 ^1/7 ) ≈ ρ . В рациональной форме эта архитектоническая система измерения построена из подмножества чисел, носящих его имя.

Числа Ван дер Лаана тесно связаны с последовательностями Перрена и Падована . В комбинаторике количество композиций n на части 2 и 3 считается n-м числом Ван дер Лаана.

Последовательность Ван дер Лаана определяется рекуррентным соотношением третьего порядка

$V_{n}=V_{n-2}+V_{n-3}$ для n > 2 ,

с начальными значениями

$V_{1}=0,V_{0}=V_{2}=1$.

Первые несколько членов: 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86,... (последовательность A182097 в OEIS ). Предельное соотношение между последовательными сроками — это коэффициент пластичности.

1924 года Огранка Кордонье . При S ₁ = 3, S ₂ = 4, S ₃ = гармоническое среднее 5 ⁠ S ₂ / S ₁ ⁠ , ⁠ S ₁ + S ₂ / S ₃ ⁠ и ⁠ S ₃ / S ₂ ⁠ равно 3 / ( ⁠ 3 / 4 ⁠ + ⁠ 5 / 7 ⁠ + ⁠ 4 / 5 ⁠ ) ≈ ρ + 1/4922 .

Таблица восьми мер Ван дер Лана

к	н - м	⁠ $V_{n}/V_{m}$⁠	err ⁠ $(\rho ^{k})$⁠	интервал
0	3 - 3	1 /1	0	второстепенный элемент
1	8 - 7	4 /3	1/116	основной элемент
2	10 - 8	7 /4	-1/205	второстепенная пьеса
3	10 - 7	7 /3	1/116	основная часть
4	7 - 3	3 /1	-1/12	второстепенная часть
5	8 - 3	4 /1	-1/12	основная часть
6	13 - 7	16 /3	-1/14	второстепенное целое
7	10 - 3	7 /1	-1/6	главное целое

Первые 14 индексов n, для которых ⁠ $V_{n}$⁠ является простым числом: n = 5, 6, 7, 9, 10, 16, 21, 32, 39, 86, 130, 471, 668, 1264 (последовательность A112882 в OEIS ). Последнее число имеет 154 десятичных цифры.

Последовательность можно расширить до отрицательных индексов, используя

$V_{n}=V_{n+3}-V_{n+1}$.

последовательности Производящая функция Ван дер Лаана имеет вид

${\frac {1}{1-x^{2}-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }V_{n}x^{n}$ для $x<1/\rho \;.$

Последовательность связана с суммами биномиальных коэффициентов соотношением

$V_{n}=\sum _{k=\lfloor (n+2)/3\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }{k \choose n-2k}$.

Характеристическое уравнение рекуррентности имеет вид $x^{3}-x-1=0$. Если три решения являются вещественными корнями ⁠ $\alpha$⁠ и сопряженная пара ⁠ $\beta$⁠ и ⁠ $\gamma$⁠ числа Ван дер Лаана можно вычислить по формуле Бине

$V_{n-1}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}$, с настоящим ⁠ $a$⁠ и конъюгаты ⁠ $b$⁠ и ⁠ $c$⁠ корни $23x^{3}+x-1=0$.

С $\left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}$ и $\alpha =\rho$, число ⁠ $V_{n}$⁠ — ближайшее целое число к $a\,\rho ^{n+1}$, с n > 1 и $a=\rho /(3\rho ^{2}-1)=$ 0.31062 88296 40467 07776 19027...

Коэффициенты $a=b=c=1$ получите формулу Бине для связанной последовательности $P_{n}=2V_{n}+V_{n-3}$.

Первые несколько терминов: 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119,... (последовательность A001608 в OEIS ).

Эта последовательность Перрена обладает свойством Ферма : если p простое число, $P_{p}\equiv P_{1}{\bmod {p}}$. Обратное неверно, но малое число псевдопростых чисел $\,n\mid P_{n}$ делает последовательность особенной. Единственные 7 составных чисел меньше 10 ⁸ пройти тест могут n = 271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291.

Пластичный фрактал Рози: объединенная поверхность и три отдельные плитки имеют площади в отношениях ρ ⁵ : п ² : р :1.

Лаана получаются как целые степени n > 2 матрицы Числа Ван дер с вещественным собственным значением ⁠. $\rho$⁠

$Q={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$

$Q^{n}={\begin{pmatrix}V_{n}&V_{n+1}&V_{n-1}\\V_{n-1}&V_{n}&V_{n-2}\\V_{n-2}&V_{n-1}&V_{n-3}\end{pmatrix}}$

След ​ ⁠ ​ $Q^{n}$⁠ дает числа Перрена.

Альтернативно, ⁠ $Q$⁠ можно интерпретировать как матрицу инцидентности для системы D0L Линденмайера в алфавите ⁠ $\{a,b,c\}$⁠ с соответствующим правилом замены

${\begin{cases}a\;\mapsto \;b\\b\;\mapsto \;ac\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}$

и инициатор ⁠ $w_{0}=c$⁠ . Серия слов ⁠ $w_{n}$⁠, полученные путем итерации замены, обладают тем свойством, что количество c, b и a равно последовательным числам Ван дер Лаана. Их длины $l(w_{n})=V_{n+2}.$

С этим процессом перезаписи строк связан набор, состоящий из трех перекрывающихся самоподобных плиток, называемый фракталом Рози , который визуализирует комбинаторную информацию, содержащуюся в последовательности букв, состоящей из нескольких поколений.

Геометрия

Три разбиения квадрата на подобные прямоугольники, 1 = 3· ⁠ 1 / 3 ⁠ = ⁠ 2 / 3 ⁠ + 2· ⁠ 1 / 6 ⁠ = 1 / п ² ⁠ + 1 / п ⁴ ⁠ + 1 / п ⁸ ⁠ .

Существует ровно три способа разбить квадрат на три подобных прямоугольника:

1. Тривиальное решение, заданное тремя равными прямоугольниками с соотношением сторон 3:1.
2. Решение, в котором два из трех прямоугольников конгруэнтны, а длина сторон третьего в два раза превышает длину сторон двух других, при этом соотношение сторон прямоугольников составляет 3:2.
3. Решение, в котором все три прямоугольника имеют разные размеры и соотношение сторон ρ. ² . Соотношения линейных размеров трех прямоугольников составляют: ρ (большой:средний); ρ ² (средний:маленький); и ρ ³ (большой:маленький). Внутренняя длинная грань наибольшего прямоугольника (линия разлома квадрата) делит два из четырех ребер квадрата на два сегмента, каждый из которых находится друг напротив друга в отношении ρ. Внутренняя, совпадающая короткая грань среднего прямоугольника и длинная грань маленького прямоугольника делит одну другую, две ребра квадрата на два сегмента, стоящих друг к другу в отношении ρ ⁴ .

Тот факт, что прямоугольник с соотношением сторон ρ ² можно использовать для разрезания квадрата на подобные прямоугольники, эквивалентно алгебраическому свойству числа ρ ² связано с теоремой Рауса–Гурвица : все ее сопряженные имеют положительную действительную часть.

Радиус курносого описанной окружности икосододекадодекаэдра для единичной длины ребра равен

${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\rho -1}{\rho -1}}}$.

История и имена

1967 год. Церковь Бенедиктусбергского аббатства, спроектированная Хансом ван дер Лааном.

⁠ $\rho$⁠ впервые был изучен Акселем Туэ в 1912 году и Г.Х. Харди в 1919 году. Французский школьник Жерар Кордонье открыл для себя это соотношение в 1924 году. В переписке с Гансом ван дер Лааном несколько лет спустя он назвал его радиантным числом ( фр . le nombre radiant ). Ван дер Лаан первоначально называл его фундаментальным соотношением ( голландский : de grondverhouding ), используя пластиковое число ( голландский : het plastische getal ), начиная с 1950-х годов. В 1944 году Карл Сигел показал, что ρ — наименьшее возможное число Писо–Виджаярагхавана, и предложил назвать его в честь Туэ.

В отличие от названий золотого и серебряного пропорций , слово «пластик» предназначалось Ван дер Лааном не для обозначения конкретного вещества, а скорее в его прилагательном смысле, означающем нечто, чему можно придать трехмерную форму. Это, по мнению Ричарда Падована , происходит потому, что характерные соотношения числа, ⁠ 3/4 ​ ⁠ и ​ ⁠ 1/7 относятся ⁠ . к ограничениям человеческого восприятия при соотнесении одного физического размера с другим Ван дер Лаан спроектировал церковь аббатства Св. Бенедиктусберга в 1967 году , используя эти пластиковые пропорции чисел.

Пластиковый номер также иногда называют серебряным номером - имя, данное ему Мидхатом Дж. Газале. и впоследствии использовался Мартином Гарднером , но это название чаще используется для соотношения серебра 1 + √ 2 , одного из соотношений семейства металлических средств, впервые описанного Верой В. де Шпинадель . Гарднер предложил ссылаться на ρ ² как «высшее фи», и Дональд Кнут создал для этого имени специальный типографский знак, вариант греческой буквы фи («φ») с поднятым центральным кругом, напоминающий грузинскую букву пари («Ⴔ»).

См. также

• Решения уравнений типа $x^{3}=x+1$:
  • Золотое сечение – единственное положительное решение уравнения $x^{2}=x+1$
  • Суперзолотое сечение – единственное реальное решение уравнения $x^{3}=x^{2}+1$

Дальнейшее чтение

• Лаан, ван дер, Ганс (1960), Пластический номер, Пятнадцать уроков архитектурного порядка , Лейден: Брилл .
• Падован, Ричард ; Эк, Кэролайн ван ; Шипмейкер, HJ (1994), Дом Ханс ван дер Лаан: Современный примитив , Амстердам: Архитектура и природа .
• Воет, Кэролайн [на голландском языке] (2016), «Между поиском и созданием: разгадка пластического числа Дома Ханса ван дер Лаана» , «Истории архитектуры » , 4 (1), Лондон: Европейская сеть истории архитектуры .

Внешние ссылки

• Пластиковый прямоугольник и последовательность Падована в Тартапелаге Джорджо Пьетроколы.
• Цифровой кабинет Дома Ханса ван дер Лаана в Архиве Ван дер Лаана.
• Харрисс, Эдмунд , «The Plastic Ratio» (видео) , YouTube , Брэди Харан , заархивировано из оригинала 21 декабря 2021 г. , получено 15 марта 2019 г.