Обобщенная разновидность флагов

В математике обобщенное многообразие флагов (или просто многообразие флагов ) — это однородное пространство точки которого являются флагами в конечномерном векторном пространстве V над полем F. , Когда F — действительные или комплексные числа, обобщенное многообразие флагов представляет собой гладкое или комплексное многообразие , называемое вещественным или комплексным многообразием флагов . Разновидности флагов, естественно, являются проективными многообразиями .

Разновидности флагов могут быть определены в различной степени общности. Прототипом является многообразие полных флагов в векторном пространстве V над полем F которое является многообразием флагов специальной линейной группы над F. , Другие разновидности флагов возникают при рассмотрении частичных флагов или при ограничении специальной линейной группы на подгруппы, такие как симплектическая группа . Для частичных флагов необходимо указать последовательность размерностей рассматриваемых флагов. Для подгрупп линейной группы на флаги необходимо наложить дополнительные условия.

В самом общем смысле обобщенное многообразие флагов определяется как проективное однородное многообразие , то есть гладкое проективное многообразие X над полем F с транзитивным действием редуктивной группы G (и гладкой стабилизирующей подгруппы; это не является ограничением). для F ) нулевой характеристики . Если X имеет F - рациональную точку то она изоморфна G / P для некоторой параболической подгруппы P группы G. , быть реализовано как орбита вектора старшего веса в проективизированном представлении G Проективное однородное многообразие также может . Комплексные проективные однородные многообразия представляют собой компактные плоские модельные пространства для геометрий Картана параболического типа. Они являются однородными римановыми многообразиями относительно любой максимальной компактной подгруппы группы G и являются в точности коприсоединенными орбитами компактных групп Ли .

Многообразия флагов могут быть симметричными пространствами . Над комплексными числами соответствующие многообразия флагов являются эрмитовыми симметрическими пространствами . Над действительными числами R -пространство является синонимом вещественного многообразия флагов, а соответствующие симметрические пространства называются симметричными R -пространствами.

Флаги в векторном пространстве

Основная статья: флаг (линейная алгебра)

Флаг в конечномерном векторном пространстве V над полем F представляет собой возрастающую последовательность подпространств , где «возрастание» означает, что каждое из них является собственным подпространством следующего (см. фильтрацию ):

$\{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.$

Если мы напишем dim V _i = d _i, то мы получим

$0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,$

где n — размерность V. ​ ​Следовательно, мы должны иметь k ≤ n . Флаг называется полным флагом, если d _i = i для всех i , в противном случае он называется частичным флагом . Сигнатурой k флага является последовательность ( d ₁ , ..., d ₎ .

Частичный флаг можно получить из полного флага, удалив некоторые подпространства. И наоборот, любой частичный флаг может быть дополнен (разными способами) путем вставки подходящих подпространств.

Прототип: полное разнообразие флагов

Согласно основным результатам линейной алгебры , любые два полных флага в n -мерном векторном пространстве V над полем F ничем не отличаются друг от друга с геометрической точки зрения. Другими словами, общая линейная группа действует транзитивно на множестве всех полных флагов.

Зафиксируйте упорядоченный базис для V , отождествив его с F ^н , общая линейная группа которой представляет собой группу GL( n , F ) обратимых матриц размера n × n . Стандартный флаг, связанный с этим базисом, — это флаг, в котором i- е подпространство натянуто на первые i векторов базиса. Относительно этого базиса стабилизатором стандартного флага является группа неособых нижне-треугольных матриц которую мы обозначим через Bn _. , Таким образом, полное многообразие флагов можно записать как однородное пространство GL( n , F )/ Bn _{, что} в частности, показывает, что оно имеет размерность n ( n −1)/2 над F. ,

Обратите внимание, что кратные единицы действуют тривиально на всех флагах, поэтому можно ограничить внимание специальной линейной группой SL( n , F ) матриц с определителем единица, которая является полупростой алгебраической группой; множество нижнетреугольных матриц определителя один является борелевской подгруппой .

Если поле F является действительным или комплексным числом, мы можем ввести скалярное произведение на V так, чтобы выбранный базис был ортонормированным . Любой полный флаг затем разбивается на прямую сумму одномерных подпространств путем принятия ортогональных дополнений. Отсюда следует, что полное многообразие флагов над комплексными числами представляет собой однородное пространство.

$U(n)/T^{n}$

где U( n ) — унитарная группа , а T ^н — n -тор диагональных унитарных матриц. Аналогичное описание существует и для действительных чисел с заменой U( n ) ортогональной группой O( n ) и T ^н диагональными ортогональными матрицами (которые имеют диагональные элементы ±1).

Частичные разновидности флага

Частичное разнообразие флагов

$F(d_{1},d_{2},\ldots d_{k},\mathbb {F} )$

— это пространство всех флагов сигнатуры ( d ₁ , d ₂ , ... d _k ) в векторном пространстве V размерности n = d _k над F . Полное многообразие флагов — это частный случай, когда d _i = i для всех i . Когда k =2, это грассманиан d 1 _{-мерных} подпространств V .

Это однородное пространство для полной линейной группы G группы V над F . Для ясности возьмем V = F ^н так что G = GL( n , F ). Стабилизатором флага вложенных подпространств размерности _Vi d i _можно считать группу неособых блочных нижнетреугольных матриц, где размерности блоков равны n _i := d _i − d _{i −1} (при d ₀ = 0).

Ограничиваясь матрицами с определителем один, это параболическая подгруппа P группы SL( n , F ), и, таким образом, частичное многообразие флагов изоморфно однородному пространству SL( n , F )/ P .

Если F — действительные или комплексные числа, то для разделения любого флага на прямую сумму можно использовать скалярное произведение, и поэтому частичное многообразие флагов также изоморфно однородному пространству.

$U(n)/U(n_{1})\times \cdots \times U(n_{k})$

в сложном случае или

$O(n)/O(n_{1})\times \cdots \times O(n_{k})$

в реальном случае.

Обобщение на полупростые группы

Верхнетреугольные матрицы первого определителя являются борелевской подгруппой SL( n , F ), и, следовательно, стабилизаторы частичных флагов являются параболическими подгруппами. Более того, частичный флаг определяется параболической подгруппой, которая его стабилизирует.

Следовательно, в более общем смысле, если G — полупростая алгебраическая группа или группа Ли , то (обобщённым) многообразием флагов для G является G / P где P — параболическая подгруппа G. , Соответствие между параболическими подгруппами и обобщенными многообразиями флагов позволяет понимать каждую из них через другую.

Расширение терминологии «разнообразие флагов» разумно, поскольку точки G / P по-прежнему можно описывать с помощью флагов. Когда G — классическая группа , такая как симплектическая группа или ортогональная группа , это особенно очевидно. Если ( V , ω ) — симплектическое векторное пространство , то частичный флаг в V изотропен , если симплектическая форма обращается в нуль на собственных подпространствах V во флаге. Стабилизатор изотропного флага — это параболическая подгруппа симплектической группы Sp( V , ω ). Для ортогональных групп наблюдается аналогичная картина, но с некоторыми осложнениями. Во-первых, если F не алгебраически замкнуто, то изотропных подпространств может не существовать: для общей теории нужно использовать расщепляемые ортогональные группы . Во-вторых, для векторных пространств четной размерности 2 m изотропные подпространства размерности m бывают двух видов («самодвойственные» и «антиавтодуальные»), и их необходимо различать, чтобы получить однородное пространство.

Когомологии

Если G — компактная связная группа Ли, она содержит максимальный тор T , а пространство G / T левых смежных классов с фактор-топологией является компактным вещественным многообразием. Если H — любая другая замкнутая связная подгруппа группы G, содержащая T , то G / H — другое компактное вещественное многообразие. (Оба на самом деле являются сложными однородными пространствами каноническим образом посредством комплексификации .)

Наличие сложной структуры и клеточных (ко)гомологий позволяет легко увидеть, что кольцо когомологий G / H сконцентрировано в четных степенях, но на самом деле можно сказать и нечто гораздо более сильное. Поскольку G → G/H является главным H -расслоением , существует классифицирующее отображение G / H → BH с целью классифицирующего пространства BH . Если мы заменим G / H на гомотопический фактор GH _{борелевским} в последовательности G → G/H → BH , мы получим главное G -расслоение, называемое расслоением правого умножения действия H на G , и мы сможем использовать когомологическое Спектральная последовательность Серра послойного ограничения этого расслоения для понимания гомоморфизма H *( G / H ) → H *( G )и характеристическое отображение H *( BH ) → H *( G / H ), названное так потому, что его образ, характеристическое подкольцо кольца H *( G / H ), несет в себе характеристические классы исходного расслоения H → G → G / Х. ​

Давайте теперь ограничим наше кольцо коэффициентов полем k нулевой характеристики, так чтопо Хопфа теореме H *( G ) — внешняя алгебра на образующих нечетной степени (подпространство примитивных элементов ). Отсюда следует, что рёберные гомоморфизмы

$E_{r+1}^{0,r}\to E_{r+1}^{r+1,0}$

спектральной последовательности должно в конечном итоге занять пространство примитивных элементов в левом столбце H *( G ) страницы E ₂ биективно в нижнюю строку H *( BH ): мы знаем, что G и H имеют одинаковый ранг ,поэтому, если бы коллекция гомоморфизмов ребер не имела полного ранга в примитивном подпространстве, то образ нижней строки H *( BH ) на последней странице H *( G / H ) последовательности был бы бесконечномерным как k -векторное пространство, что невозможно, например, снова с помощью клеточных когомологий , поскольку компактное однородное пространство допускает конечную структуру CW .

Таким образом, кольцевое отображение H *( G / H ) → H *( G ) в этом случае тривиально, а характеристическое отображение сюръективно, так что H *( G / H ) является фактором H *( BH ). Ядро отображения — это идеал, порожденный образами примитивных элементов при реберных гомоморфизмах, который также является идеалом, порожденным элементами положительной степени в образе канонического отображения H *( BG ) → H *( BH ), индуцированного включением H в G .

Отображение H *( BG ) → H *( BT ) инъективно, как и для H , с образом подкольца H *( BT ) ^{В ( Г )} элементов, инвариантных относительно действия группы Вейля , поэтому окончательно получается краткое описание

$H^{*}(G/H)\cong H^{*}(BT)^{W(H)}/{\big (}{\widetilde {H}}^{*}(BT)^{W(G)}{\big )},$

где ${\widetilde {H}}^{*}$ обозначает элементы положительной степени, а в скобках — порождение идеала. Например, для полного комплексного многообразия флагов U ( n )/ T ^н , у одного есть

$H^{*}{\big (}U(n)/T^{n}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},\ldots ,t_{n}]/(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),$

где t _j имеют степень 2, а σ _j — первые n элементарных симметричных полиномов от переменных t _j . В качестве более конкретного примера возьмем n = 2, так что U ( 2 )/[ U (1) × U (1)] — комплексный грассманиан Gr(1, $\mathbb {C}$² ) ≈ $\mathbb {C}$П ¹ ≈ С ² . Тогда мы ожидаем, что кольцо когомологий будет внешней алгеброй на генераторе степени два ( фундаментальный класс ), и действительно,

$H^{*}{\big (}U(2)/T^{2}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},t_{2}]/(t_{1}+t_{2},t_{1}t_{2})\cong \mathbb {Q} [t_{1}]/(t_{1}^{2}),$

как и надеялся.

Орбиты наивысшего веса и проективные однородные многообразия

Если G — полупростая алгебраическая группа (или группа Ли), а V — (конечномерное) представление G со старшим весом , то пространство со старшим весом — это точка в проективном пространстве P( V ) и ее орбита под действием G является проективным алгебраическим многообразием . Это многообразие является (обобщенным) многообразием флагов, и более того, каждое (обобщенное) многообразие флагов для G возникает именно таким образом.

Арман Борель показал что это характеризует многообразия флагов общей полупростой алгебраической группы G : они в точности являются полными однородными пространствами G или, что то же самое (в этом контексте), проективными однородными G -многообразиями.

Симметричные пространства

Основная статья: Симметричное пространство

Пусть G полупростая группа Ли с максимальной компактной подгруппой K. — Тогда K действует транзитивно на любом классе сопряженных параболических подгрупп, и, следовательно, обобщенное многообразие флагов G / P является компактным однородным римановым многообразием K /( K ∩ P с группой изометрий K. ) Более того, если G — комплексная группа Ли, G / P — однородное кэлерово многообразие .

Иными словами, римановы однородные пространства

М знак равно К /( К ∩ п )

допускают строго большую группу преобразований Ли, а именно G . Специализируясь на случае, когда M является симметричным пространством , это наблюдение дает все симметричные пространства, допускающие такую ​​большую группу симметрии, и эти пространства были классифицированы Кобаяши и Нагано.

Если G — комплексная группа Ли, то симметрические пространства M возникающие таким образом являются компактными эрмитовыми симметрическими пространствами : K группа изометрий, а G — группа биголоморфизмов M. —

Над действительными числами вещественное многообразие флагов также называется R-пространством, а R-пространства, которые являются римановыми симметричными пространствами относительно K, известны как симметричные R-пространства. Симметричные R-пространства, не являющиеся эрмитово-симметричными, получаются, если взять G в качестве вещественной формы группы биголоморфизмов G. ^с эрмитова симметрического пространства G ^с / П ^с такой, что P := P ^с ∩ G — параболическая подгруппа группы G . Примеры включают проективные пространства (где G — группа проективных преобразований ) и сферы (где G — группа конформных преобразований ).

См. также

• Параболическая алгебра Ли
• Разложение Брюа

Ссылки

• Роберт Дж. Бастон и Майкл Г. Иствуд, Преобразование Пенроуза: его взаимодействие с теорией представлений , Oxford University Press, 1989.
• Юрген Берндт, Действия группы Ли на многообразиях , Конспект лекций, Токио, 2002.
• Юрген Берндт, Серджио Консоль и Карлос Олмос, Подмногообразия и голономия , Chapman & Hall/CRC Press, 2003.
• Мишель Брион, Лекции по геометрии разновидностей флагов , Конспект лекций, Варшава, 2003.
• Джеймс Э. Хамфрис , Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, 21, Springer-Verlag, 1972.
• С. Кобаяши и Т. Нагано, О фильтрованных алгебрах Ли и геометрических структурах I, II, J. Math. Мех. 13 (1964), 875–907, 14 (1965) 513–521.