Тригонометрические таблицы

В математике таблицы тригонометрических функций полезны во многих областях. До появления калькуляторов карманных тригонометрические таблицы были необходимы для навигации , науки и техники . Расчет математических таблиц был важной областью исследований, которая привела к разработке первых механических вычислительных устройств .

Современные компьютеры и карманные калькуляторы теперь генерируют значения тригонометрических функций по требованию, используя специальные библиотеки математического кода. Часто эти библиотеки используют предварительно рассчитанные таблицы и вычисляют необходимое значение с помощью соответствующего метода интерполяции . Интерполяция простых справочных таблиц тригонометрических функций до сих пор используется в компьютерной графике , где может потребоваться лишь умеренная точность, а скорость часто имеет первостепенное значение.

Еще одним важным применением тригонометрических таблиц и схем генерации являются алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), где одни и те же значения тригонометрической функции (называемые коэффициентами поворота ) должны вычисляться много раз в данном преобразовании, особенно в общем случае, когда много преобразований рассчитываются одинаковые размеры. В этом случае каждый раз вызов универсальных библиотечных процедур происходит неприемлемо медленно. Один из вариантов — один раз вызвать библиотечные процедуры для создания таблицы тех тригонометрических значений, которые потребуются, но для хранения таблицы требуется значительный объем памяти. Другая возможность, поскольку требуется регулярная последовательность значений, — использовать рекуррентную формулу для вычисления тригонометрических значений «на лету». Значительные исследования были посвящены поиску точных и стабильных рекуррентных схем, чтобы сохранить точность БПФ (которое очень чувствительно к тригонометрическим ошибкам).

Таблица тригонометрии — это, по сути, справочная таблица, в которой представлены значения синуса, косинуса, тангенса и других тригонометрических функций для различных углов. Эти углы обычно расположены в верхней строке таблицы, а различные тригонометрические функции указаны в первом столбце слева. Чтобы найти значение определенной тригонометрической функции под определенным углом, вы должны найти строку функции и проследить по ней до столбца под нужным углом.

Использование таблицы тригонометрии включает в себя несколько простых шагов.

1. Определите конкретный угол, для которого нужно найти тригонометрические значения.
2. Найдите этот угол по горизонтальной оси (верхний ряд) таблицы.
3. Выберите интересующую вас тригонометрическую функцию на вертикальной оси (первый столбец).
4. Проведите трассировку поперек функции и вниз от угла до точки их пересечения на таблице; число на этом пересечении дает значение тригонометрической функции для этого угла.

Вычисление по требованию

Страница из книги математических таблиц 1619 года .

Современные компьютеры и калькуляторы используют различные методы для получения значений тригонометрических функций по запросу для произвольных углов (Кантабутра, 1996). Одним из распространенных методов, особенно на процессорах более высокого класса с модулями с плавающей запятой , является объединение полиномиальной или рациональной аппроксимации (например, аппроксимации Чебышева , наилучшего равномерного приближения, аппроксимации Паде и, как правило, для более высоких или переменных точности, рядов Тейлора и Лорана ). с уменьшением диапазона и поиском по таблице — сначала они ищут ближайший угол в небольшой таблице, а затем используют полином для вычисления поправки. такие методы, как точные таблицы Гала Поддержание точности при выполнении такой интерполяции является нетривиальной задачей, но для этой цели можно использовать , сокращение диапазона Коди и Уэйта, а также алгоритмы уменьшения радиана Пейна и Ханека. На более простых устройствах, в которых отсутствует аппаратный множитель , существует алгоритм под названием CORDIC (а также связанные с ним методы), который более эффективен, поскольку использует только сдвиги и сложения. Все эти методы обычно реализуются в аппаратное обеспечение по соображениям производительности.

Конкретный полином, используемый для аппроксимации тригонометрической функции, генерируется заранее с использованием некоторой аппроксимации алгоритма минимаксной аппроксимации .

Для вычислений с очень высокой точностью , когда сходимость разложения в ряд становится слишком медленной, тригонометрические функции можно аппроксимировать средним арифметико-геометрическим , которое само аппроксимирует тригонометрическую функцию ( комплексным ) эллиптическим интегралом (Brent, 1976).

Тригонометрические функции углов, рациональных кратных 2π, являются алгебраическими числами . Значения a/b·2π можно найти, применив тождество Муавра для n = a к a b ^й корень из единицы , который также является корнем многочлена x ^б - 1 в комплексной плоскости . Например, косинус и синус 2π ⋅ 5/37 — это действительная и мнимая части соответственно 5-й степени корня 37-й степени из единицы cos(2π/37) + sin(2π/37)i, что корень многочлена степени -37 x ³⁷ − 1. В этом случае алгоритм поиска корня, такой как метод Ньютона, намного проще, чем алгоритмы среднего арифметико-геометрического, описанные выше, хотя они сходятся с одинаковой асимптотической скоростью. Однако последние алгоритмы необходимы для трансцендентных тригонометрических констант.

Формулы половинного угла и сложения углов

половинного угла и сложения углов, Исторически сложилось так, что самый ранний метод вычисления тригонометрических таблиц и, вероятно, наиболее распространенный до появления компьютеров, заключался в многократном применении тригонометрических тождеств начиная с известного значения (например, sin(π/2 ) = 1, cos(π/2) = 0). Этот метод использовал древний астроном Птолемей , который вывел их в «Альмагесте» — трактате по астрономии. В современной форме выведенные им тождества формулируются следующим образом (со знаками, определяемыми квадрантом, в котором находится x ):

$\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1+\cos x)}}$

$\sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)}}$

$\sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\,$

$\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\,$

Они были использованы для построения таблицы аккордов Птолемея , которая применялась к астрономическим задачам.

Возможны различные другие перестановки этих тождеств: например, в некоторых ранних тригонометрических таблицах использовались не синус и косинус, а синус и версинус .

Быстрое, но неточное приближение

Быстрый, но неточный алгоритм расчета таблицы N аппроксимаций s _n для sin (2 π n / N ) и c _n для cos (2π n / N ):

с ₀ = 0

с ₀ = 1

s _{n +1} = s _n + d × c _n

с _{п +1} знак равно с _п - d × s _п

для n = 0,..., N − 1, где d = 2π/ N .

Это просто метод Эйлера для интегрирования дифференциального уравнения :

$ds/dt=c$

$dc/dt=-s$

с начальными условиями s (0) = 0 и c (0) = 1, аналитическое решение которого есть s = sin( t ) и c = cos( t ).

К сожалению, это бесполезный алгоритм для создания таблиц синуса, поскольку он имеет значительную ошибку, пропорциональную 1/ N .

Например, для N = 256 максимальная ошибка значений синуса составляет ~0,061 ( с ₂₀₂ = −1,0368 вместо −0,9757). При N = 1024 максимальная ошибка значений синуса составляет ~0,015 ( с ₈₀₃ = -0,99321 вместо -0,97832), примерно в 4 раза меньше. Если бы полученные значения синуса и косинуса нужно было отобразить на графике, этот алгоритм нарисовал бы логарифмическую спираль, а не круг.

Усовершенствованная, но все еще несовершенная формула повторения.

Простая рекуррентная формула для создания тригонометрических таблиц основана на формуле Эйлера и соотношении:

$e^{i(\theta +\Delta )}=e^{i\theta }\times e^{i\Delta \theta }$

Это приводит к следующему повторению для вычисления тригонометрических значений s _n и c _n, как указано выше:

с ₀ = 1

с ₀ = 0

c _{n +1} знак равно ш _r c _n - ш _я s _n

s _{n +1} = w _i c _n + w _r s _n

для n = 0, ..., N − 1, где w _r = cos(2π/ N ) и w _i = sin(2π/ N ). также можно найти, например, используя метод Ньютона в комплексной плоскости для поиска примитивного корня z Эти два начальных тригонометрических значения обычно вычисляются с использованием существующих библиотечных функций (но их ^Н  − 1).

Этот метод создает точную конечной точности таблицу в точной арифметике, но имеет ошибки в арифметике с плавающей запятой . Фактически ошибки растут как O(ε N ) (как в худшем, так и в среднем случае), где ε — точность чисел с плавающей запятой.

Существенным улучшением является использование следующей модификации приведенного выше трюка (из-за Singleton ) часто используется для генерации тригонометрических значений для реализаций БПФ:

с ₀ = 1

с ₀ = 0

c _{n +1} знак равно c _n - (α c _n + β s _n )

s _{n +1} знак равно s _n + (β c _n - α s _n )

где α = 2 sin ² (π/ N ) и β = sin(2π/ N ). Ошибки этого метода намного меньше: O(ε √ N ) в среднем и O(ε N ) в худшем случае, но это все равно достаточно велико, чтобы существенно ухудшить точность БПФ больших размеров.

См. также

• Таблица синусов Арьябхаты
• КОРДИК
• Точные тригонометрические значения
• Таблица синусов Мадхавы
• Численный анализ
• Плимптон 322
• Простафаэрез

Ссылки

• Карл Б. Бойер (1991) История математики , 2-е издание, John Wiley & Sons .
• Манфред Таше и Хансмартин Цойнер (2002) «Улучшенный анализ ошибок округления для предварительно вычисленных коэффициентов поворота», Журнал вычислительного анализа и приложений 4 (1): 1–18.
• Джеймс К. Шацман (1996) «Точность дискретного преобразования Фурье и быстрого преобразования Фурье», SIAM Journal on Scientific Computing 17 (5): 1150–1166.
• Витит Кантабутра (1996) «Об аппаратном обеспечении для вычисления экспоненциальных и тригонометрических функций», IEEE Transactions on Computers 45(3): 328–339.
• Р.П. Брент (1976) « Быстрая оценка элементарных функций с многократной точностью », Журнал Ассоциации вычислительной техники 23: 242–251.
• Синглтон, Ричард С. (1967). «О вычислении быстрого преобразования Фурье» . Коммуникации АКМ . 10 (10): 647–654. дои : 10.1145/363717.363771 . S2CID   6287781 .
• Уильям Дж. Коди-младший, Уильям Уэйт, Руководство по программному обеспечению для элементарных функций , Прентис-Холл, 1980, ISBN   0-13-822064-6 .
• Мэри Х. Пейн, Роберт Н. Ханек, Радианное приведение тригонометрических функций , Информационный бюллетень ACM SIGNUM 18: 19–24, 1983.
• Гал, Шмуэль и Бачелис, Борис (1991) «Точная элементарная математическая библиотека для стандарта IEEE с плавающей запятой», ACM Transactions on Mathematical Software .