Операторы создания и уничтожения

Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы , которые имеют широкое применение в квантовой механике , особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем. ^{[ 1 ]} Оператор уничтожения (обычно обозначаемый ${\hat {a}}$ ) уменьшает количество частиц в данном состоянии на одну. Оператор создания (обычно обозначается ${\hat {a}}^{\dagger }$ ) увеличивает число частиц в данном состоянии на одну и является сопряженным оператором уничтожения. Во многих разделах физики и химии использование этих операторов вместо волновых функций известно как второе квантование . Их представил Поль Дирак . ^{[ 2 ]}

Операторы рождения и уничтожения могут действовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто действуют на электронные состояния. Они также могут относиться конкретно к лестничным операторам квантового гармонического осциллятора . В последнем случае оператор рождения интерпретируется как повышающий оператор, добавляющий в колебательную систему квант энергии (аналогично для понижающего оператора). Их можно использовать для представления фононов . Построение гамильтонианов с использованием этих операторов имеет то преимущество, что теория автоматически удовлетворяет теореме о кластерном разложении . ^{[ 3 ]}

Математика операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора . ^{[ 4 ]} Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, а все остальные коммутаторы исчезают. Однако для фермионов математика другая: используются антикоммутаторы . вместо коммутаторов ^{[ 5 ]}

Лестничные операторы для квантового гармонического осциллятора

В контексте квантового гармонического осциллятора лестничные операторы интерпретируются как операторы создания и уничтожения, добавляющие или вычитающие фиксированные кванты энергии в систему осцилляторов.

Операторы рождения/уничтожения различны для бозонов (целый спин) и фермионов (полуцелый спин). Это связано с тем, что их волновые функции имеют разные свойства симметрии .

Сначала рассмотрим более простой бозонный случай фотонов квантового гармонического осциллятора. Начнем с уравнения Шредингера для одномерного независимого от времени квантового гармонического осциллятора : $\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).$

Сделайте замену координат, чтобы обезразмерить дифференциальное уравнение. $x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.$

Уравнение Шрёдингера для генератора принимает вид ${\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).$

Обратите внимание, что количество $\hbar \omega =h\nu$ — та же энергия, что и для квантов света , и что скобка в гамильтониане может быть записана как $-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}.$

Последние два члена можно упростить, рассмотрев их влияние на произвольную дифференцируемую функцию. $f(q),$

$\left({\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)$ что подразумевает, ${\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}=1,$ совпадающее с обычным каноническим коммутационным соотношением $-i[q,p]=1$ , в представлении пространства позиций: $p:=-i{\frac {d}{dq}}$ .

Поэтому, $-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1$ и уравнение Шредингера для осциллятора при замене приведенного выше и перестановке коэффициента 1/2 принимает вид $\hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).$

Если определить $a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)$ как «оператор создания» или «оператор повышения» и $a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ \ \ \!{\frac {d}{dq}}+q\right)$ в качестве «оператора уничтожения» или «оператора понижения» уравнение Шрёдингера для осциллятора сводится к $\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).$ Это значительно проще исходной формы. Дальнейшие упрощения этого уравнения позволяют получить все перечисленные выше свойства.

Сдача в аренду $p=-i{\frac {d}{dq}}$ , где $p$ — безразмерный оператор импульса у одного есть

$[q,p]=i\,$ и ${\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}$

Обратите внимание, что они подразумевают $[a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.$

Операторы $a\,$ и $a^{\dagger }\,$ можно противопоставить обычным операторам , которые коммутируют со своими сопряженными. ^{[ номер 1 ]}

Используя приведенные выше коммутационные соотношения, оператор Гамильтона можно выразить как ${\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)$

Можно вычислить коммутационные соотношения между $a\,$ и $a^{\dagger }\,$ операторы и гамильтониан: ^{[ 6 ]} ${\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}$

Эти соотношения можно использовать, чтобы легко найти все собственные состояния энергии квантового гармонического осциллятора следующим образом.

Предполагая, что $\psi _{n}$ является собственным состоянием гамильтониана ${\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}$ . Используя эти коммутационные соотношения, следует, что ^{[ 6 ]} ${\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}$

Это показывает, что $a\psi _{n}$ и $a^{\dagger }\psi _{n}$ также являются собственными состояниями гамильтониана с собственными значениями $E_{n}-\hbar \omega$ и $E_{n}+\hbar \omega$ соответственно. Это идентифицирует операторов $a$ и $a^{\dagger }$ как операторы «понижения» и «повышения» между соседними собственными состояниями. Разность энергий между соседними собственными состояниями равна $\Delta E=\hbar \omega$ .

Основное состояние можно найти, предположив, что понижающий оператор имеет нетривиальное ядро: $a\,\psi _{0}=0$ с $\psi _{0}\neq 0$ . Применяя гамильтониан к основному состоянию,

${\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.$ Так $\psi _{0}$ является собственной функцией гамильтониана.

Это дает энергию основного состояния $E_{0}=\hbar \omega /2$ , что позволяет идентифицировать собственное значение энергии любого собственного состояния $\psi _{n}$ как ^{[ 6 ]} $E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .$

Более того, оказывается, что первый из упомянутых операторов в (*), числовой оператор $N=a^{\dagger }a\,,$ играет самую важную роль в приложениях, а вторая, $aa^{\dagger }\,$ можно просто заменить на $N+1$ .

Следовательно, $\hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.$

времени оператор эволюции во Тогда ${\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}$

Явные собственные функции

Основное состояние $\ \psi _{0}(q)$ квантового гармонического осциллятора можно найти, наложив условие, что $a\ \psi _{0}(q)=0.$

Записанная в виде дифференциального уравнения, волновая функция удовлетворяет условию $q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0$ с решением $\psi _{0}(q)=C\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}q^{2}\right).$

Константа нормализации $C$ оказывается равной $1/{\sqrt[{4}]{\pi }}$ от ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}$ , используя интеграл Гаусса . Явные формулы для всех собственных функций теперь можно найти повторным применением $a^{\dagger }$ к $\psi _{0}$ . ^{[ 7 ]}

Матричное представление

Матричное выражение операторов рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора относительно указанного выше ортонормированного базиса имеет вид ${\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]a&={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Их можно получить через отношения $a_{ij}^{\dagger }=\left\langle \psi _{i}\right|a^{\dagger }\left|\psi _{j}\right\rangle$ и $a_{ij}=\left\langle \psi _{i}\right|a\left|\psi _{j}\right\rangle$ . Собственные векторы $\psi _{i}$ относятся к квантовому гармоническому осциллятору и иногда называются «числовым базисом».

Обобщенные операторы создания и уничтожения

Благодаря теории представлений и C*-алгебрам, выведенные выше операторы на самом деле являются конкретным примером более обобщенного понятия операторов рождения и уничтожения в контексте алгебр CCR и CAR . Математически и даже в более общем смысле лестничные операторы можно понимать в контексте корневой системы полупростой группы Ли и связанной с ней полупростой алгебры Ли без необходимости реализации представления в виде операторов в функциональном гильбертовом пространстве . ^{[ 8 ]}

В случае представления в гильбертовом пространстве операторы строятся следующим образом: Пусть $H$ быть одночастичным гильбертовым пространством (то есть любым гильбертовым пространством, рассматриваемым как представляющее состояние одной частицы). ( Бозонная ) алгебра CCR над $H$ — это оператор алгебры с сопряжением (называемый * ), абстрактно порожденный элементами $a(f)$ , где $f\,$ свободно перемещается по $H$ , с учетом отношений

${\begin{aligned}\left[a(f),a(g)\right]&=\left[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\right]=0\\[1ex]\left[a(f),a^{\dagger }(g)\right]&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}$ в обозначениях бра-кет .

Карта $a:f\to a(f)$ от $H$ к бозонной алгебре CCR требуется, чтобы она была комплексной антилинейной (это добавляет больше отношений). Его сопряжение $a^{\dagger }(f)$ и карта $f\to a^{\dagger }(f)$ является комплексным линейным по $H$ . Таким образом $H$ встраивается как комплексное векторное подпространство в собственную алгебру CCR. В представлении этой алгебры элемент $a(f)$ будет реализован как оператор уничтожения, а $a^{\dagger }(f)$ в качестве оператора создания.

В общем, алгебра CCR бесконечномерна. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C*-алгеброй . Алгебра CCR над $H$ тесно связана с алгеброй Вейля , но не идентична ей . ^{[ нужны разъяснения ]}

Для фермионов (фермионная) алгебра CAR над $H$ строится аналогично, но с использованием антикоммутаторных соотношений, а именно

${\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\\[1ex]\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}$

Алгебра CAR конечномерна только тогда, когда $H$ является конечномерным. Если мы возьмем пополнение банахового пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно станет $C^{*}$ алгебра. Алгебра CAR тесно связана с алгеброй Клиффорда , но не идентична ей . ^{[ нужны разъяснения ]}

Физически говоря, $a(f)$ удаляет (т.е. аннигилирует) частицу в состоянии $|f\rangle$ тогда как $a^{\dagger }(f)$ создает частицу в состоянии $|f\rangle$ .

свободного поля Вакуумное состояние – это состояние ${\textstyle \left\vert 0\right\rangle }$ без частиц, характеризующийся $a(f)\left|0\right\rangle =0.$

Если $|f\rangle$ нормируется так, что $\langle f|f\rangle =1$ , затем $N=a^{\dagger }(f)a(f)$ дает количество частиц в состоянии $|f\rangle$ .

Операторы рождения и уничтожения для уравнений реакции-диффузии

Описание операторов уничтожения и рождения также оказалось полезным для анализа классических уравнений реакции диффузии, например ситуации, когда газ молекул $A$ диффундируют и взаимодействуют при контакте, образуя инертный продукт: $A+A\to \emptyset$ . Чтобы увидеть, как такого рода реакции можно описать с помощью формализма операторов уничтожения и создания, рассмотрим $n_{i}$ частицы в узле $i$ одномерной решетки. Каждая частица движется вправо или влево с определенной вероятностью, и каждая пара частиц в одном и том же месте аннигилирует друг друга с некоторой другой вероятностью.

Вероятность того, что одна частица покинет узел за короткий промежуток времени $dt,$ пропорциональна $n_{i}\,dt$ , скажем, вероятность $\alpha n_{i}dt$ прыгнуть влево и $\alpha n_{i}\,dt$ прыгать правильно. Все $n_{i}$ частицы останутся на месте с вероятностью $1-2\alpha n_{i}\,dt$ . (Поскольку время $dt$ настолько короткое, вероятность того, что двое или более уйдут во время $dt$ , очень мала и будет проигнорирована.)

Теперь мы можем описать заселенность решетки частицами как «кет» вида $|\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle$ . Он представляет собой сопоставление (или соединение, или тензорное произведение) числовых состояний. $\dots ,|n_{-1}\rangle$ $|n_{0}\rangle$ , $|n_{1}\rangle ,\dots$ расположены в отдельных узлах решетки. Напомним, что

$a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle$ и $a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,$ для всех $n \geq 0$ , а $[a,a^{\dagger }]=\mathbf {1}$

Это определение операторов теперь будет изменено, чтобы учесть «неквантовую» природу этой проблемы, и мы будем использовать следующее определение: ^{[ 9 ]}

${\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}$

отметим, что хотя поведение операторов на кетах было изменено, эти операторы по-прежнему подчиняются коммутационному соотношению $[a,a^{\dagger }]=\mathbf {1}$

Теперь определите $a_{i}$ так что это применимо $a$ к $|n_{i}\rangle$ . Соответственно определим $a_{i}^{\dagger }$ как подать заявку $a^{\dagger }$ к $|n_{i}\rangle$ . Так, например, чистый эффект $a_{i-1}a_{i}^{\dagger }$ заключается в перемещении частицы из $(i-1)$ -th на $i$ -й узел при умножении на соответствующий коэффициент.

Это позволяет записать чисто диффузионное поведение частиц как $\partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .$

Член реакции можно определить, заметив, что $n$ частицы могут взаимодействовать в $n(n-1)$ разными способами, так что вероятность аннигилирования пары равна $\lambda n(n-1)dt$ , давая член $\lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})$

где числовое состояние $n$ заменяется числовым состоянием $n - 2$ на узле $i$ по определенной ставке.

Таким образом, государство развивается путем $\partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle$

Другие виды взаимодействий могут быть включены аналогичным образом.

Такой тип обозначений позволяет использовать методы квантовой теории поля при анализе реакционно-диффузионных систем. ^{[ 10 ]}

Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля

В квантовых теориях поля и задачах многих тел работают с операторами рождения и уничтожения квантовых состояний. $a_{i}^{\dagger }$ и $a_{i}^{\,}$ . Эти операторы изменяют собственные значения числового оператора , $N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},$ на единицу, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (такие как $i$ ) представляют собой квантовые числа , обозначающие одночастичные состояния системы; следовательно, это не обязательно отдельные числа. Например, кортеж квантовых чисел $(n,\ell ,m,s)$ используется для обозначения состояний атома водорода .

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в системе нескольких бозонов таковы: ${\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}$ где $[\cdot ,\cdot ]$ является коммутатором и $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

У фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором . $\{\cdot ,\cdot \}$ , ${\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}$ Поэтому замена непересекающихся (т.е. $i\neq j$ ) операторы в произведениях операторов рождения или уничтожения меняют знак в фермионных системах, но не в бозонных системах.

Если состояния, помеченные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H , то результат этой конструкции совпадает с конструкцией алгебры CCR и алгебры CAR из предыдущего раздела, кроме одного. Если они представляют собой «собственные векторы», соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, тогда интерпретация более тонкая.

Нормализация

Пока Зи ^{[ 11 ]} получает импульсного пространства нормировку $[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )$ согласно симметричному соглашению для преобразований Фурье, Тонг ^{[ 12 ]} и Пескин и Шредер ^{[ 13 ]} используйте общее асимметричное соглашение для получения $[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )$ . Каждый выводит $[{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$ .

Средницкий дополнительно объединяет лоренц-инвариантную меру со своей асимметричной мерой Фурье: ${\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}$ , уступая $[{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')$ . ^{[ 14 ]}

См. также

Примечания

^ Нормальный оператор имеет представление $A = B + i C$ , где $B, C$ самосопряжены и коммутируют , т.е. $BC=CB$ . Напротив, $a$ имеет представление $a=q+ip$ где $p,q$ самосопряжены, но $[p,q]=1$ . Тогда $B$ и $C$ имеют общий набор собственных функций (и одновременно диагонализуемы), тогда как $p$ и $q$ , как известно, не имеют и не являются таковыми.

Ссылки

^ Фейнман 1998 , с. 151
^ Дирак, ПАМ (1927). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения», Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265.
^ Вайнберг, Стивен (1995). «4». Квантовая теория полей Том 1 . Издательство Кембриджского университета. п. 169. ИСБН 9780521670531 .
^ Фейнман 1998 , с. 167
^ Фейнман 1998 , стр. 174–5.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Брэнсон, Джим. «Квантовая физика в UCSD» . Проверено 16 мая 2012 г.
^ Этот и дальнейший операторный формализм можно найти в Glimm and Jaffe, Quantum Physics , стр. 12–20.
^ Харрис, Фултон, Теория представлений, стр. 164.
^ Прюсснер, Гуннар. «Анализ реакционно-диффузионных процессов методами теории поля» (PDF) . Проверено 31 мая 2021 г.
^ Баэз, Джон Карлос (2011). Теория сетей (серия сообщений в блоге; первый пост ). Позже адаптирован в Баэз, Джон Карлос; Биамонте, Джейкоб Д. (апрель 2018 г.). Квантовые методы в стохастической механике . дои : 10.1142/10623 .
^ Зи, А. (2003). Квантовая теория поля в двух словах . Издательство Принстонского университета. п. 63. ИСБН 978-0691010199 .
^ Тонг, Дэвид (2007). Квантовая теория поля . п. 24,31 . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Пескин, М. ; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-50397-5 .
^ Средницкий, Марк (2007). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета. стр. 39, 41. ISBN. 978-0521-8644-97 . Проверено 3 декабря 2019 г.

Фейнман, Ричард П. (1998) [1972]. Статистическая механика: Сборник лекций (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-36076-9 .
Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья. Ч. XII. онлайн

[6] Нормальный оператор имеет представление $A = B + i C$ , где $B, C$ самосопряжены и коммутируют , т.е. $BC=CB$ . Напротив, $a$ имеет представление $a=q+ip$ где $p,q$ самосопряжены, но $[p,q]=1$ . Тогда $B$ и $C$ имеют общий набор собственных функций (и одновременно диагонализуемы), тогда как $p$ и $q$ , как известно, не имеют и не являются таковыми.

[Feynman1998p151-1] Фейнман 1998 , с. 151

[2] Дирак, ПАМ (1927). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения», Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265.

[3] Вайнберг, Стивен (1995). «4». Квантовая теория полей Том 1 . Издательство Кембриджского университета. п. 169. ИСБН 9780521670531 .

[Feynman1998p167-4] Фейнман 1998 , с. 167

[Feynman1998p174-5-5] Фейнман 1998 , стр. 174–5.

[Branson-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с Брэнсон, Джим. «Квантовая физика в UCSD» . Проверено 16 мая 2012 г.

[8] Этот и дальнейший операторный формализм можно найти в Glimm and Jaffe, Quantum Physics , стр. 12–20.

[9] Харрис, Фултон, Теория представлений, стр. 164.

[10] Прюсснер, Гуннар. «Анализ реакционно-диффузионных процессов методами теории поля» (PDF) . Проверено 31 мая 2021 г.

[11] Баэз, Джон Карлос (2011). Теория сетей (серия сообщений в блоге; первый пост ). Позже адаптирован в Баэз, Джон Карлос; Биамонте, Джейкоб Д. (апрель 2018 г.). Квантовые методы в стохастической механике . дои : 10.1142/10623 .

[Zee-12] Зи, А. (2003). Квантовая теория поля в двух словах . Издательство Принстонского университета. п. 63. ИСБН 978-0691010199 .

[Tong-13] Тонг, Дэвид (2007). Квантовая теория поля . п. 24,31 . Проверено 3 декабря 2019 г.

[peskin-14] Пескин, М. ; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Вествью Пресс. ISBN 978-0-201-50397-5 .

[Srednicki-15] Средницкий, Марк (2007). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета. стр. 39, 41. ISBN. 978-0521-8644-97 . Проверено 3 декабря 2019 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ номер 1 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]