Проективная линия над кольцом

Восемь цветов иллюстрируют проективную линию над полем Галуа GF(7).

В математике проективная прямая над кольцом является расширением понятия проективной прямой над полем . Учитывая кольцо A (с 1), проективная прямая P ¹ ( A ) над A состоит из точек, отождествляемых проективными координатами . Пусть А ^× быть единиц A ; группой пары ( a , b ) и ( c , d ) из A × A связаны, когда есть u в A ^× такой, что ua = c и ub = d . Это отношение является отношением эквивалентности . Типичный класс эквивалентности обозначается U [ a , b ] .

П ¹ ( А ) знак равно { U [ а , б ] | aA + bA = A } , то есть U [ a , b ] находится на проективной прямой, если односторонний идеал , порожденный a и b, полностью принадлежит A .

Проективная линия P ¹ ( A ) снабжена группой гомографий . Гомографии выражаются через использование кольца матриц над A и его группы единиц V следующим образом: Если c находится в Z( A ^× , центр A ) ^× , то групповое действие матрицы $\left({\begin{smallmatrix}c&0\\0&c\end{smallmatrix}}\right)$ на П ¹ ( A ) совпадает с действием единичной матрицы. Такие матрицы представляют нормальную подгруппу N группы V . Гомографии P ¹ ( A ) соответствуют элементам факторгруппы V / N .

П ¹ ( A ) считается расширением кольца A, поскольку оно содержит копию A из-за вложения E : а → U [ а , 1] . Мультипликативное обратное отображение u → 1/ u , обычно ограниченное A ^× , выражается гомографией на P ¹ ( А ):

$U[a,1]{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U[1,a]\thicksim U[a^{-1},1].$

Более того, для u , v ∈ A ^× , отображение a → uav можно продолжить до гомографии:

${\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\0&v\end{pmatrix}}.$

$U[a,1]{\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}=U[av,u]\thicksim U[u^{-1}av,1].$

Поскольку u произвольно, его можно заменить на u ⁻¹ .Гомографии на P ¹ ( A ) называются дробно-линейными преобразованиями, поскольку

$U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),1].$

Экземпляры

Шесть цветов иллюстрируют проективную линию над полем Галуа GF(5).

Кольца, являющиеся полями, наиболее знакомы: проективная прямая над GF(2) состоит из трех элементов: U [0, 1] , U [1, 0] и U [1, 1] . Его группа гомографии является группой перестановок этих трех.

Кольцо Z /3 Z или GF(3) имеет элементы 1, 0 и −1; его проективная линия состоит из четырех элементов U [1, 0] , U [1, 1] , U [0, 1] , U [1, −1], поскольку и 1, и −1 являются единицами . Группа гомографий на этой проективной прямой состоит из 12 элементов, также описываемых матрицами или перестановками. Для конечного поля GF( q ) проективная линия представляет собой геометрию Галуа PG(1, q ) . Дж. В. П. Хиршфельд описал гармонические тетрады в проективных прямых для q = 4, 5, 7, 8, 9.

Над дискретными кольцами

Рассмотрим P ¹ ( Z / n Z ), когда n – составное число . Если p и q — различные простые числа, делящие n , то ⟨ p ⟩ и ⟨ q ⟩ — максимальные идеалы в Z / n Z и по тождеству Безу существуют a и b в Z такие, что ap + bq = 1 , так что U [ p , q ] находится в P ¹ ( Z / n Z ), но это не образ элемента при каноническом вложении. Весь П ¹ ( Z / n Z ) заполняется элементами U [ up , vq ] , где u ≠ v и u , v ∈ A ^× , А ^× единицами Z / n Z. являющиеся случаи Z / n Z Здесь приведены для n = 6, 10 и 12, где согласно модулярной арифметике группа единиц кольца равна ( Z /6 Z ) ^× = {1, 5} , ( Z / 10 Z ) ^× = {1, 3, 7, 9} и ( Z / 12 Z ) ^× = {1, 5, 7, 11} соответственно. Модульная арифметика подтвердит, что в каждой таблице данная буква представляет несколько точек. В этих таблицах точка U [ m , n ] помечена буквой m в строке внизу таблицы и n в столбце слева от таблицы. Например, точка на бесконечности A = U [ v , 0] , где v — единица кольца.

Таблицы, показывающие проективные прямые над кольцами Z / n Z для n = 6, 10, 12. Упорядоченные пары, отмеченные одной буквой, принадлежат одной и той же точке.

Проективная линия над кольцом Z /6 Z 5 Б Г Ф И Д С 4 Дж К ЧАС 3 я л л я 2 ЧАС К Дж 1 Б С Д И Ф Г 0 А А 0 1 2 3 4 5

Проективная линия над кольцом Z /10 Z 9 Б К Дж я ЧАС Г Ф И Д С 8 П ТО вопрос М л 7 Б И ЧАС К Д Г Дж С Ф я 6 ТО л вопрос П М 5 Н Р Н Р Р Н Р Н 4 М П вопрос л ТО 3 Б я Ф С Дж Г Д К ЧАС И 2 л М вопрос ТО П 1 Б С Д И Ф Г ЧАС я Дж К 0 А А А А 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Проективная линия над кольцом Z /12 Z 11 Б М л К Дж я ЧАС Г Ф И Д С 10 Т В Н Т В Н 9 С V В С ТО В V ТО 8 Р Х П Р Х П 7 Б я Д К Ф М ЧАС С Дж И л Г 6 вопрос вопрос вопрос вопрос 5 Б Г л И Дж С ЧАС М Ф К Д я 4 П Х Р П Х Р 3 ТО V В ТО С В V С 2 Н В Т Н В Т 1 Б С Д И Ф Г ЧАС я Дж К л М 0 А А А А 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Дополнительные точки могут быть связаны с Q ⊂ R ⊂ C , рациональными числами в расширенной комплексной верхней полуплоскости . Группа гомографий на P ¹ ( Z / n Z ) называется главной конгруэнцной подгруппой .

Для рациональных чисел Q однородность координат означает, что каждый элемент P ¹ ( Q ) может быть представлен элементом P ¹ ( З ). Аналогично, гомография P ¹ ( Q ) соответствует элементу модулярной группы , автоморфизмы P ¹ ( С ).

Над непрерывными кольцами

Проективная прямая над телом приводит к единственной вспомогательной точке ∞ = U [1, 0] . Примеры включают действительную проективную линию , комплексную проективную линию и проективную линию над кватернионами . Эти примеры топологических колец имеют проективную прямую в качестве одноточечной компактификации . В случае комплексных чисел поля C является группа Мёбиуса группой гомографий.

Проективная линия над двойственными числами была описана Йозефом Грюнвальдом в 1906 году. Это кольцо включает ненулевой нильпотент n, удовлетворяющий условию nn = 0 . Плоскость { z = x + yn | x , y ∈ R } дуальных чисел имеет проективную прямую, включающую линию точек U [1, xn ], x ∈ R . Исаак Яглом описал ее как «инверсную плоскость Галилея», имеющую с добавлением топологию цилиндра дополнительной линии. Аналогично, если A — локальное кольцо , то P ¹ ( A соответствующих элементам максимального идеала A. точек , ) образована примыканием

Проективная прямая над кольцом M расщепленных комплексных чисел вводит вспомогательные прямые { U [1, x (1 + j)] | x ∈ R } и { U [1, x (1 − j)] | x ∈ R } С помощью стереографической проекции плоскость расщепленных комплексных чисел замыкается этими прямыми до гиперболоида . однолистного Проективную прямую над M можно назвать плоскостью Минковского , если она характеризуется поведением гипербол при гомографическом отображении.

Модули

Проективная линия P ¹ ( A над кольцом A также можно назвать пространством проективных модулей в модуле A ⊕ A. ) Элемент P ¹ ( A тогда является слагаемым A ⊕ прямым A. ) Этот более абстрактный подход следует взгляду на проективную геометрию как геометрию подпространств векторного пространства , иногда связанную с теорией решеток Гаррета Биркгофа. или книгу Линейная алгебра и проективная геометрия» « Рейнхольда Бэра . В случае кольца целых рациональных чисел Z определение слагаемого модуля P ¹ ( Z ) сужает внимание до U [ m , n ] , m взаимно простого с n , и удаляет вложения, которые являются основной особенностью P ¹ ( A ), когда A топологично. В статье В. Бенца, Ханса-Иоахима Самаги и Хельмута Шеффера 1981 года упоминается прямое определение слагаемого.

В статье «Проективные представления: проективные прямые над кольцами» группа единиц M кольца матриц 2 ₍ R ) и понятия модуля и бимодуля используются для определения проективной прямой над кольцом. Группа единиц обозначается GL(2, R ) , принимая обозначения из общей линейной группы , где R обычно считается полем.

Проективная линия — это множество орбит относительно GL(2, R ) свободного циклического подмодуля R (1, 0) модуля R × R . Расширяя коммутативную теорию Бенца, существование правого или левого мультипликативного обратного кольцевого элемента связано с P ¹ ( R ) и GL(2, R ) . дедекиндовой конечности Охарактеризовано свойство . Наиболее важно то, что представление P ¹ ( R ) в проективном пространстве над телом K осуществляется с помощью ( K , R ) -бимодуля U , который является левым K -векторным пространством и правым R -модулем. Точки P ¹ ( R ) являются подпространствами P ¹ ( K , U × U ) изоморфны своим дополнениям.

Перекрестное соотношение

Гомография h , которая переводит три конкретных кольцевых элемента a , b , c в точки проективной прямой U [0, 1] , U [1, 1] , U [1, 0], называется гомографией перекрестных отношений . Иногда перекрестное отношение принимается как значение h в четвертой точке x : ( x , a , b , c ) = h ( x ) .

Чтобы построить h из a , b , c, гомографии генератора

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}$

используются с вниманием к фиксированным точкам : +1 и −1 фиксируются при инверсии, U [1, 0] фиксируются при перемещении, а «поворот» с u оставляет U [0, 1] и U [1, 0 ] зафиксированный. Инструкции заключаются в том, чтобы сначала поместить c , затем перенести a в U [0, 1] с помощью перемещения и, наконец, использовать вращение для перемещения b в U [1, 1] .

Лемма: Если A — коммутативное кольцо и b − a , c — b , c — a — все единицы, то ( b — c ) ⁻¹ + ( с - а ) ⁻¹ является единицей.

Доказательство: очевидно ${\frac {b-a}{(b-c)(c-a)}}={\frac {(b-c)+(c-a)}{(b-c)(c-a)}}$ является единицей измерения, как требуется.

Теорема: Если ( b − c ) ⁻¹ + ( с - а ) ⁻¹ является единицей, то существует гомография h в G( A ) такая, что

час ( а ) = U [0, 1] , час ( б ) = U [1, 1] и час ( c ) = U [1, 0] .

Доказательство: точка p = ( b − c ) ⁻¹ + ( с - а ) ⁻¹ является образом b после того, как a было присвоено значение 0, а затем инвертировано в U [1, 0] , а изображение c приведено в U [0, 1] . Поскольку p является единицей измерения, ее инверсия, используемая при вращении, переместит p в U [1, 1] , в результате чего a , b , c будут правильно размещены. Лемма относится к достаточным условиям существования h .

Одно из применений перекрестного отношения определяет проективно-гармоническое сопряжение тройки a , b , c как элемент x, удовлетворяющий ( x , a , b , c ) = −1 . Такая четверка является гармонической тетрадой . Гармонические тетрады на проективной прямой над конечным полем GF( q ) использовались в 1954 году для разграничения проективных линейных групп PGL(2, q ) для q = 5, 7 и 9 и демонстрации случайных изоморфизмов .

Цепи

Действительная линия на комплексной плоскости переставляется с окружностями и другими вещественными линиями в результате преобразований Мёбиуса , которые фактически меняют каноническое вложение вещественной проективной линии в комплексную проективную прямую . Предположим, что A — алгебра над полем F , что обобщает случай, когда F — поле действительных чисел, а A — поле комплексных чисел. Каноническое вложение P ¹ ( F ) в P ¹ ( А ) есть

$U_{F}[x,1]\mapsto U_{A}[x,1],\quad U_{F}[1,0]\mapsto U_{A}[1,0].$

Цепочка – это образ П ¹ ( F ) при гомографии на P ¹ ( А ). Четыре точки лежат на цепи тогда и только тогда, когда их двойное отношение находится в F . Карл фон Штаудт использовал это свойство в своей теории «настоящих ударов» [Рейлер Цуг].

Точечная параллельность

Две точки P ¹ ( A ) параллельны , если их не соединяет цепь. Было принято соглашение, что точки параллельны сами себе. Это отношение инвариантно относительно действия гомографии на проективную прямую. Учитывая три попарно непараллельные точки, существует единственная цепь, соединяющая их.

История

Август Фердинанд Мёбиус исследовал преобразования Мёбиуса между своей книгой «Барицентрическое исчисление» (1827 г.) и своей статьей 1855 г. «Теория дер Kreisverwandtschaft в узде геометрического дарстеллунга». Карлу Вильгельму Фейербаху и Юлиусу Плюкеру также приписывают использование однородных координат. Эдуард Стью в 1898 году и Эли Картан в 1908 году написали статьи о гиперкомплексных числах для немецкой и французской энциклопедий математики соответственно, где они используют эту арифметику с дробно-линейными преобразованиями , имитируя арифметику Мёбиуса. В 1902 году Теодор Вален опубликовал короткую, но получившую много ссылок статью, в которой исследовались некоторые дробно-линейные преобразования алгебры Клиффорда . Кольцо двойных чисел D дало Йозефу Грюнвальду возможность продемонстрировать P. ¹ ( Д ) в 1906 году. Коррадо Сегре (1912) продолжил развитие этого кольца.

Артур Конвей , один из первых последователей теории относительности посредством бикватернионных преобразований, рассмотрел кватернион-мультипликативно-обратное преобразование в своем исследовании теории относительности 1911 года. В 1947 году некоторые элементы инверсной кватернионной геометрии были описаны П.Г. Гормли в Ирландии. В 1968 году книга Исаака Яглома « Комплексные числа в геометрии» на английском языке в переводе с русского вышла . Там он использует P ¹ ( D ) для описания линейной геометрии в евклидовой плоскости и P ¹ ( M ), чтобы описать его для плоскости Лобачевского. Текст Яглома « Простая неевклидова геометрия» появился на английском языке в 1979 году. Там на страницах 174–200 он развивает геометрию Минковского и описывает P ¹ ( M ) как «инверсивная плоскость Минковского». Русский оригинал текста Яглома был опубликован в 1969 году. Между двумя изданиями Вальтер Бенц (1973) опубликовал свою книгу: включающий однородные координаты, взятые из M .

См. также

• сад Евклида

Примечания и ссылки

• Брюэр, Скай (2012), «Проективное перекрестное отношение гиперкомплексных чисел», Достижения в области прикладных алгебр Клиффорда , doi : 10.1007/s00006-12-0335-7
• Яглом И.М. (1968), Комплексные числа в геометрии.

Дальнейшее чтение

• Анкочеа, Г. (1941), «Теорема фон Штаудта в кватернионовой проективной геометрии», Journal für Mathematik , De Gruyter : 193–198
• Лимай, Н.Б. (1972), «Взаимные отношения и проективности линии», Mathematische Zeitschrift , 129 : 49–53, MR   0314823
• Лимайе, Б.В.; Лимай, Н.Б. (1977), «Фундаментальная теорема для проективной прямой над коммутативными кольцами», Aequationes Mathematica , 16 : 275–281, MR   0513873
• Лимайе, Б.В.; Лимай, Н.Б. (1977), «Фундаментальная теорема для проективной прямой над некоммутативными локальными кольцами», Archiv der Mathematik , 28 (1): 102–109, MR   0480495
• Уайлд, Марсель (2006), «Фундаментальная теорема проективной геометрии для модуля произвольной длины два», Rocky Mountain Journal of Mathematics , 36 (6): 2075–2080

Внешние ссылки

• Митод Санига (2006) Проективные линии над конечными кольцами (pdf) из Астрономического института Словацкой академии наук.