Условная сходимость

В математике ряд , или интеграл называются условно сходящимися если он сходится, но не сходится абсолютно .

Определение

Точнее, ряд действительных чисел ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ Говорят, что оно сходится условно, если ${\textstyle \lim _{m\rightarrow \infty }\,\sum _{n=0}^{m}a_{n}}$ существует (как конечное действительное число, т.е. не $\infty$ или $-\infty$), но ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$

Классическим примером является знакопеременный гармонический ряд, заданный формулой $$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n},$$ который сходится к $\ln(2)$, но не является абсолютно сходящимся (см. Гармонический ряд ).

Бернхард Риман доказал, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому значению, включая ∞ или −∞; см. теорему о рядах Римана . Теорема Леви – Стейница определяет набор значений, которым соответствует ряд термов из R. ^н может сходиться.

Типичным условно сходящимся интегралом является интеграл на неотрицательной действительной оси ${\textstyle \sin(x^{2})}$ (см. Интеграл Френеля ).

См. также

• Абсолютная конвергенция
• Безусловная конвергенция

Ссылки

• Уолтер Рудин, Принципы математического анализа (McGraw-Hill: Нью-Йорк, 1964).