Опиальная недвижимость

В математике — свойство Опиала абстрактное свойство банаховых пространств , которое играет важную роль при изучении слабой сходимости итераций отображений банаховых пространств и асимптотического поведения нелинейных полугрупп . Свойство названо в честь польского математика Здзислава Опиала .

Определения

Пусть ( X , || ||) — банахово пространство. Говорят, что X обладает свойством Opial , если всякий раз, когда ( x _n ) _{n ∈ N} является последовательностью в X, слабо сходящейся к некоторым x ₀ ∈ X и x ≠ x ₀ , из этого следует, что

$\liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x_{0}\|<\liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|.$

Альтернативно, используя контрапозитив , это условие можно записать как

$\liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|\leq \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x_{0}\|\implies x=x_{0}.$

Если X — непрерывное двойственное пространство к некоторому другому банаховому пространству Y , то X говорят, что обладает свойством слабого-∗ Опиала , если всякий раз, когда ( x _n ) _{n ∈ N} является последовательностью в X, сходящейся слабо-∗ к некоторому x ₀ ∈ X и x ≠ x ₀ , отсюда следует, что

$\liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x_{0}\|<\liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|,$

или, как указано выше,

$\liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|\leq \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x_{0}\|\implies x=x_{0}.$

(двойственное) банахово пространство X Говорят, что обладает равномерным (слабым -*) свойством Опиала , если для каждого c > 0 существует r > 0 такое, что

$1+r\leq \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}-x\|$

для любого x ∈ X с || х || ≥ c и любая последовательность ( x _n ) _{n ∈ N} в X, слабо (слабо-∗) сходящаяся к 0 и такая, что

$\liminf _{n\to \infty }\|x_{n}\|\geq 1.$

Примеры

• Теорема Опиала (1967): Каждое гильбертово пространство обладает свойством Опиала.
• Пространства последовательностей $\ell ^{p}$, $1\leq p<\infty$, имеют свойство Opial.
• Теорема Ван Далста (1982): для каждого сепарабельного банахова пространства существует эквивалентная норма, которая наделяет его свойством Опиала.
• Для равномерно выпуклых банаховых пространств свойство Опиала имеет место тогда и только тогда, когда дельта-сходимость совпадает со слабой сходимостью.

Ссылки

• Опиал, Здислав (1967). «Слабая сходимость последовательности последовательных приближений для нерасширяющих отображений» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 73 (4): 591–597. дои : 10.1090/S0002-9904-1967-11761-0 .