Количество

Количество или сумма – это свойство, которое может существовать как множество или величина , что иллюстрирует прерывность и непрерывность . Количества можно сравнивать с точки зрения «больше», «меньше» или «равно» или путем присвоения числового значения, кратного единице измерения . Масса , время , расстояние , тепло и угол являются одними из известных примеров количественных свойств.

Количество относится к основным классам вещей наряду с качеством , субстанцией , изменением и отношением. Некоторые количества являются таковыми по своей внутренней природе (как число), тогда как другие функционируют как состояния (свойства, размеры, атрибуты) таких вещей, как тяжелые и легкие, длинные и короткие, широкие и узкие, малые и великие или большие и маленькие.

Под именем множества понимается то, что прерывисто, дискретно и в конечном счете делится на неделимое, как-то: армия, флот, стадо, правительство, компания, партия, народ, беспорядок (военный), хор, толпа и число ; все это падежи собирательных существительных . Под именем величины понимается то, что непрерывно, едино и делится только на меньшие делимые части, как-то: материя, масса, энергия, жидкость, материал — все случаи несобирательных существительных.

Наряду с анализом ее сущности и классификации , вопросы количества затрагивают такие тесно связанные темы, как размерность, равенство, пропорция, измерения величин, единицы измерения, число и системы счисления, виды чисел и их отношения друг к другу, как числовые соотношения.

Фон

В математике понятие количества является древним, восходящим ко временам Аристотеля и ранее. Аристотель считал количество фундаментальной онтологической и научной категорией. Аристотеля В онтологии количество или квант было разделено на два разных типа, которые он охарактеризовал следующим образом:

Квант означает то, что делится на две или более составные части, каждая из которых по своей природе является единицей и этим . Квант является множеством, если он исчислим, величиной, если он измерим. Множественность означает то, что потенциально делится на несплошные части, величина — то, что делится на непрерывные части; по величине то, что непрерывно в одном измерении, — это длина; в две ширины, в три глубины. Из них ограниченное множество — это число, ограниченная длина — линия, ширина — поверхность, глубина — твердое тело.
— Аристотель, «Метафизика» , книга V, гл. 11-14

В своих «Началах » Евклид развил теорию отношений величин, не изучая природу величин, как Архимед, но дав следующие существенные определения:

Величина есть часть величины, меньшая из большей, когда она измеряет большую; Отношение — это своего рода соотношение размеров между двумя величинами одного и того же вида.
— Евклид, Элементы

Для Аристотеля и Евклида отношения понимались как целые числа (Michell, 1993). Позже Джон Уоллис представил отношения величин как действительные числа :

Когда производится сравнение в терминах отношения, результирующее отношение часто (а именно, за исключением самого «числового рода») выходит из рода сравниваемых величин и переходит в числовой род, каким бы родом сравниваемых величин ни был .
— Джон Уоллис, Universal Mathematics

То есть отношение величин любой величины, будь то объём, масса, теплота и так далее, есть число. После этого Ньютон определил число и связь между количеством и числом в следующих терминах:

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-либо величины к другой величине того же рода, которую мы принимаем за единицу.
- Ньютон, 1728 г.

Структура

Непрерывные величины обладают особой структурой, которая впервые была явно охарактеризована Гельдером (1901) как набор аксиом, определяющих такие особенности, как тождества и отношения между величинами. В науке количественная структура является предметом эмпирического исследования и не может предполагаться априорно существующим для какого-либо данного свойства. Линейный континуум представляет собой прототип непрерывной количественной структуры, описанной Гельдером (1901) (перевод в Michell & Ernst, 1996). Фундаментальной особенностью любого вида величин является то, что отношения равенства или неравенства в принципе могут быть установлены в сравнении между отдельными величинами, в отличие от качества, которое характеризуется сходством, сходством и различием, разнообразием. Еще одной фундаментальной особенностью является аддитивность. Аддитивность может включать в себя конкатенацию, например, добавление двух длин A и B для получения третьей A + B. Аддитивность, однако, не ограничивается обширными величинами, но может также влечь за собой отношения между величинами, которые могут быть установлены посредством экспериментов, которые позволяют проверить гипотетические величины. наблюдаемые проявления аддитивных отношений величин. Другой особенностью является непрерывность, о которой Мичелл (1999, стр. 51) говорит о длине как о типе количественного атрибута: «Непрерывность означает, что если любая произвольная длина а выбрана в качестве единицы, то для каждой положительной реальной длины числа r , существует длина b такая, что b = r a". Дальнейшее обобщение даёт теория совместного измерения , независимо разработанная французским экономистом Жераром Дебре (1960) и американским математическим психологом Р. Дунканом Люсом и статистиком Джоном Тьюки (1964).

По математике

Величина (сколько) и множество (сколько), два основных типа величин, далее делятся на математические и физические. Формально величины — их отношения, пропорции, порядок и формальные отношения равенства и неравенства — изучаются математикой. Существенная часть математических величин состоит из набора переменных , каждая из которых принимает набор значений. Это может быть набор одной величины, называемой скаляром , когда она представлена действительными числами, или иметь несколько величин, как векторы и тензоры , два вида геометрических объектов.

Математическое использование величины может тогда варьироваться и поэтому зависит от ситуации. Величины могут использоваться как бесконечно малые , аргументы функции , переменные в выражении (независимые или зависимые) или вероятностные, как в случайных и стохастических величинах. В математике величины и множества также являются не только двумя разными видами величин, но, кроме того, связаны друг с другом.

Теория чисел охватывает темы дискретных величин как чисел: системы счисления с их видами и отношениями. Геометрия изучает проблемы пространственных величин: прямые линии, изогнутые линии, поверхности и твердые тела, все с соответствующими измерениями и отношениями.

Традиционная реалистическая философия математики Аристотеля , берущая свое начало от Аристотеля и остававшаяся популярной до восемнадцатого века, утверждала, что математика — это «наука о количестве». Считалось, что количество делится на дискретное (изучаемое арифметикой) и непрерывное (изучаемое геометрией, а затем и исчислением ). Теория достаточно хорошо соответствует элементарной или школьной математике, но хуже соответствует абстрактным топологическим и алгебраическим структурам современной математики. ^[1]

В науке

Установление количественной структуры и отношений между различными величинами является краеугольным камнем современной науки, особенно, но не ограничиваясь физическими науками. Физика по своей сути является количественной наукой; химия, биология и другие становятся все более актуальными. Их прогресс достигается главным образом за счет перевода абстрактных качеств материальных сущностей в физические величины, постулируя, что все материальные тела, отмеченные количественными свойствами или физическими размерами, подлежат некоторым измерениям и наблюдениям. Устанавливая единицы измерения, физика охватывает такие фундаментальные величины, как пространство (длина, ширина и глубина) и время, масса и сила, температура, энергия и кванты .

Также было проведено различие между интенсивным количеством и экстенсивным количеством как двумя типами количественного свойства, состояния или отношения. Величина интенсивной величины не зависит от размера или протяженности объекта или системы, свойством которой является величина, тогда как величины экстенсивной величины аддитивны для частей объекта или подсистемы. Таким образом, в случае обширного количества величина действительно зависит от размера объекта или системы. Примерами интенсивных величин являются плотность и давление , а примерами экстенсивных величин — энергия , объём и масса .

На естественном языке

В человеческих языках, включая английский , число является синтаксической категорией наряду с лицом и полом . Количество выражается определителями, определенными и неопределенными, и кванторами , определенными и неопределенными, а также тремя видами существительных : 1. счетными единицами существительными или исчисляемыми; 2. массовые существительные , неисчисляемые, обозначающие неопределенные, неопознанные суммы; 3. существительные множества ( собирательные существительные ). Слово «число» принадлежит существительному множеству, обозначающему либо одну сущность, либо отдельных лиц, составляющих целое. Сумма вообще выражается специальным классом слов, называемых идентификаторами, неопределенными и определенными, и кванторами, определенными и неопределенными. ^{[ нужны разъяснения ]} Сумма может выражаться: формой единственного числа и множественного числа, порядковыми числительными перед счетным существительным в единственном числе (первый, второй, третий...), указательным падежом; определенные и неопределенные числа и измерения (сто/сотни, миллион/миллионы) или количественные числа перед счетными существительными. Набор языковых кванторов охватывает «несколько, большое количество, много, несколько (для счетных названий); немного, немного, меньше, много (количество), много (для массовых названий); все, много». из, много, достаточно, больше, большинство, некоторые, любой, оба, каждый, либо, ни, всякий, нет». В сложном случае неидентифицированных количеств части и примеры массы указываются относительно следующего: мера массы (два килограмма риса и двадцать бутылок молока или десять листов бумаги); кусок или часть массы (часть, элемент, атом, предмет, предмет, капля); или форма емкости (корзина, коробочка, футляр, чашка, бутылка, сосуд, банка).

Дальнейшие примеры

Еще несколько примеров величин:

1,76 литра ( литра ) молока, непрерывное количество
2 πr метра, где r — длина радиуса круга , выраженная в метрах (или метрах), также непрерывная величина
одно яблоко, два яблока, три яблока, где число представляет собой целое число, обозначающее количество счетной коллекции объектов (яблок)
500 человек (также разновидность данных подсчета )
пара . условно относится к двум объектам
«немногие» обычно относятся к неопределенному, но обычно небольшому числу, больше одного.
довольно много также относится к неопределенному, но удивительно (по отношению к контексту) большому числу.
«несколько» относится к неопределенному, но обычно небольшому числу – обычно неопределенно больше, чем «несколько».

Безразмерная величина

Безразмерные величины , или величины размерности один, ^[2] – это величины, неявно определенные таким образом, чтобы предотвратить их агрегирование в единицы измерения . ^[3]^[4] Обычно эти величины выражаются в виде соотношений , соответствующих другой системе, и не требуют явно определенных единиц измерения . Например, объем алкоголя (ABV) представляет собой объемное соотношение ; его значение остается независимым от конкретных используемых единиц объема , например, в миллилитрах на миллилитр (мл/мл).

Единица величиной признается безразмерной базовой . ^[5] Радианы служат безразмерными единицами измерения углов , полученными из универсального отношения 2π, умноженного на радиус круга, равный его длине. ^[6]

Безразмерные величины играют решающую роль, выступая в качестве параметров в дифференциальных уравнениях в различных технических дисциплинах. В исчислении такие понятия, как безразмерные отношения в пределах или производные, часто включают безразмерные величины. В дифференциальной геометрии использование безразмерных параметров проявляется в геометрических соотношениях и преобразованиях. Физика опирается на безразмерные числа, такие как число Рейнольдса в гидродинамике . ^[7] постоянная тонкой структуры в квантовой механике , ^[8] и фактор Лоренца в теории относительности . ^[9] В химии , свойства и соотношения состояний такие как мольных долей, соотношения концентраций являются безразмерными. ^[10]

См. также

Ссылки

^ Франклин, Джеймс (2014). Аристотелевская реалистическая философия математики . Бейзингсток: Пэлгрейв Макмиллан. п. 31-2. ISBN 9781137400734 .
^ «1,8 (1,6) количество размерности одной безразмерной величины» . Международный словарь по метрологии — Основные и общие понятия и связанные с ними термины (ВИМ) . ИСО . 2008 год . Проверено 22 марта 2011 г.
^ «Брошюра СИ: Международная система единиц, 9-е издание» . БИПМ . ISBN 978-92-822-2272-0.
^ Мор, Питер Дж.; Филлипс, Уильям Дэниел (01 июня 2015 г.). «Безразмерные единицы в системе СИ» . Метрология . 52 .
^ Миллс, IM (май 1995 г.). «Единство как единое целое» . Метрология . 31 (6): 537–541. Бибкод : 1995Метро..31..537М . дои : 10.1088/0026-1394/31/6/013 . ISSN 0026-1394 .
^ Зебровский, Эрнест (1999). История круга: математические рассуждения и физическая вселенная . Издательство Университета Рутгерса. ISBN 978-0-8135-2898-4 .
^ Ценгель, Юнус; Цимбала, Джон (16 октября 2013 г.). ЭЛЕКТРОННАЯ КНИГА: Основы и приложения механики жидкостей (единицы СИ) . МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-717359-3 .
^ Уэбб, Дж. К.; Кинг, Дж.А.; Мерфи, Монтана; Фламбаум, В.В.; Карсуэлл, РФ; Бейнбридж, МБ (31 октября 2011 г.). «Признаки пространственного изменения постоянной тонкой структуры» . Письма о физических отзывах . 107 (19): 191101. arXiv : 1008.3907 . Бибкод : 2011PhRvL.107s1101W . doi : 10.1103/PhysRevLett.107.191101 . ПМИД 22181590 .
^ Эйнштейн, А. (23 февраля 2005 г.). «К электродинамике движущихся тел [АдП 17, 891 (1905)]» . Анналы физики . 14 (С1): 194–224. дои : 10.1002/andp.200590006 .
^ Гош, Сумьядип; Джонс, Рассел Т. (6 сентября 2016 г.). «Безразмерное уравнение состояния для прогнозирования фазового поведения микроэмульсии» . Ленгмюр . 32 (35): 8969–8979. doi : 10.1021/acs.langmuir.6b02666 . ISSN 0743-7463 . ПМИД 27504666 .

Аристотель, Логика (Органон): Категории, в великих книгах западного мира, Т.1. ред. Адлер, MJ, Британская энциклопедия , Inc., Чикаго (1990)
Аристотель, Физические трактаты: физика, в «Великих книгах западного мира», т.1, изд. Адлер, MJ, Британская энциклопедия, Inc., Чикаго (1990)
Аристотель, «Метафизика», в «Великих книгах западного мира», т.1, изд. Адлер, MJ, Британская энциклопедия, Inc., Чикаго (1990)
Франклин, Дж. (2014). Количество и число , в Неоаристотелевских перспективах метафизики , изд. Д. Д. Новотный и Л. Новак, Нью-Йорк: Routledge, 221–44.
Гёльдер, О. (1901). Аксиомы количества и учение о мере. Отчеты о переговорах Королевского саксонского общества наук в Лейпциге , Mathematical Physicke Class, 53, 1–64.
Кляйн, Дж. (1968). Греческая математическая мысль и происхождение алгебры. Кембридж . Масса: MIT Press .
Лэйкок, Х. (2006). Слова без объектов: Оксфорд, Clarendon Press. Oxfordscholarship.com
Мичелл, Дж. (1993). Истоки репрезентативной теории измерения: Гельмгольц, Гёльдер и Рассел. Исследования по истории и философии науки , 24, 185–206.
Мичелл, Дж. (1999). Измерение в психологии . Кембридж: Издательство Кембриджского университета .
Мичелл Дж. и Эрнст К. (1996). Аксиомы количества и теория измерения: перевод части I немецкого текста Отто Гёльдера «Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass». Журнал математической психологии , 40, 235–252.
Ньютон, И. (1728/1967). Универсальная арифметика: или трактат об арифметической композиции и разрешении. В Д. Т. Уайтсайде (ред.), Математические труды Исаака Ньютона , Vol. 2 (стр. 3–134). Нью-Йорк: Johnson Reprint Corp.
Уоллис, Дж. Mathesis Universalis (цитируется по Кляйну, 1968).

Внешние ссылки

[1] Франклин, Джеймс (2014). Аристотелевская реалистическая философия математики . Бейзингсток: Пэлгрейв Макмиллан. п. 31-2. ISBN 9781137400734 .

[2] «1,8 (1,6) количество размерности одной безразмерной величины» . Международный словарь по метрологии — Основные и общие понятия и связанные с ними термины (ВИМ) . ИСО . 2008 год . Проверено 22 марта 2011 г.

[Dimensionless_quantity_SI_Brochure-3] «Брошюра СИ: Международная система единиц, 9-е издание» . БИПМ . ISBN 978-92-822-2272-0.

[4] Мор, Питер Дж.; Филлипс, Уильям Дэниел (01 июня 2015 г.). «Безразмерные единицы в системе СИ» . Метрология . 52 .

[5] Миллс, IM (май 1995 г.). «Единство как единое целое» . Метрология . 31 (6): 537–541. Бибкод : 1995Метро..31..537М . дои : 10.1088/0026-1394/31/6/013 . ISSN 0026-1394 .

[6] Зебровский, Эрнест (1999). История круга: математические рассуждения и физическая вселенная . Издательство Университета Рутгерса. ISBN 978-0-8135-2898-4 .

[7] Ценгель, Юнус; Цимбала, Джон (16 октября 2013 г.). ЭЛЕКТРОННАЯ КНИГА: Основы и приложения механики жидкостей (единицы СИ) . МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-717359-3 .

[8] Уэбб, Дж. К.; Кинг, Дж.А.; Мерфи, Монтана; Фламбаум, В.В.; Карсуэлл, РФ; Бейнбридж, МБ (31 октября 2011 г.). «Признаки пространственного изменения постоянной тонкой структуры» . Письма о физических отзывах . 107 (19): 191101. arXiv : 1008.3907 . Бибкод : 2011PhRvL.107s1101W . doi : 10.1103/PhysRevLett.107.191101 . ПМИД 22181590 .

[9] Эйнштейн, А. (23 февраля 2005 г.). «К электродинамике движущихся тел [АдП 17, 891 (1905)]» . Анналы физики . 14 (С1): 194–224. дои : 10.1002/andp.200590006 .

[10] Гош, Сумьядип; Джонс, Рассел Т. (6 сентября 2016 г.). «Безразмерное уравнение состояния для прогнозирования фазового поведения микроэмульсии» . Ленгмюр . 32 (35): 8969–8979. doi : 10.1021/acs.langmuir.6b02666 . ISSN 0743-7463 . ПМИД 27504666 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]