Метод ближайшей точки

Метод ближайшей точки (CPM) — это метод встраивания для решения уравнений в частных производных на поверхностях. Метод ближайшей точки использует стандартные численные подходы, такие как методы конечных разностей, метод конечных элементов или спектральные методы, для решения встраиваемого уравнения в частных производных (УЧП), которое равно исходному УЧП на поверхности. Решение вычисляется в полосе, окружающей поверхность, чтобы обеспечить эффективность вычислений. Чтобы расширить данные за пределы поверхности, метод ближайшей точки использует представление ближайшей точки. Это представление расширяет значения функции, делая их постоянными вдоль направлений, нормальных к поверхности.

Определения

Функция «Ближайшая точка»: задана поверхность ${\mathcal {S}},cp(\mathbf {x} )$ относится к (возможно, неуникальной) точке, принадлежащей ${\mathcal {S}}$ , который ближе всего к $\mathbf {x}$ [ЗЭ] .

Расширение ближайшей точки: Пусть ${\mathcal {S}}$ , быть гладкой поверхностью в $\mathbb {R} ^{d}$ . Расширение функции в ближайшей точке $u:{\mathcal {S}}\rightarrow \mathbb {R}$ , в район $\Omega$ из ${\mathcal {S}}$ , является функцией $v:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ , определяемый $v(\mathbf {x} )=u(cp(\mathbf {x} ))$ .

Метод ближайшей точки

Инициализация состоит из следующих шагов [EW] :

Если оно еще не задано, строится ближайшее точечное представление поверхности.
Выбрана расчетная область. Обычно это полоса вокруг поверхности.
Замените градиенты поверхности стандартными градиентами в $\mathbb {R} ^{3}$ .
Решение инициализируется путем расширения исходных данных о поверхности на расчетную область с использованием функции ближайшей точки.

После инициализации чередуйте следующие два шага:

Используя функцию ближайшей точки, расширьте решение от поверхности до вычислительной области.
Вычислите решение встраивания УЧП на декартовой сетке в вычислительной области за один временной шаг.

Бандинг

Поверхность PDE расширяется в $\mathbb {R} ^{3}$ однако решать эту новую УЧП необходимо только вблизи поверхности. Следовательно, мы решаем УЧП в полосе, окружающей поверхность, для эффективных вычислительных целей. $\Omega _{c}{x:\|x-cp(x)\|_{2}\leq \lambda }$ где $\lambda$ это полоса пропускания.

Пример: уравнение теплопроводности на круге.

Использование начального профиля $u_{S}(\theta ,t)=\sin(\theta )$ приводит к решению $u_{S}(\theta ,t)=\exp(-t)\sin(\theta )$ для уравнения теплопроводности. Прямой временной шаг Эйлера используется с отношением $\Delta t=0.1\Delta x^{2}$ и интерполяционные полиномы четвертой степени для интерполяций. Центрированные разности второго порядка используются для пространственной дискретизации. CPM приводит к ожидаемой ошибке второго порядка в решении. $u$ .

Приложения

Метод ближайшей точки можно применять к различным PDE на поверхностях. задачи реакции-диффузии в облаках точек [RD] , проблемы собственных значений [EV] и уравнения множества уровней [LS] Несколько примеров — .

См. также

Ссылки

[Э.М.] Руут, С.Дж., и Мерриман, Б. (2008). Простой метод встраивания для решения уравнений в частных производных на поверхностях. Журнал вычислительной физики, 227 (3), 1943–1961 здесь.
[RD] Макдональд, CB, Мерриман, Б., и Руут, С.Дж. (2013). Простой расчет реакционно-диффузионных процессов на облаках точек. Proceedings of the National Academy of Sciences, 110(23), 9209–9214 здесь.
[EV] Макдональд, CB, Брандман, Дж., и Руут, С.Дж. (2011). Решение задач на собственные значения на криволинейных поверхностях методом ближайшей точки. Журнал вычислительной физики, 230 (22), 7944–7956. здесь
[LS] Макдональд, CB, и Руут, SJ (2008). Уравнения установки уровня на поверхностях с помощью метода ближайшей точки. Журнал научных вычислений, 35 (2–3), 219–240. здесь