Тетромино
Тетромино — это геометрическая фигура, состоящая из четырех квадратов , соединенных ортогонально (то есть по краям, а не по углам). [ 1 ] [ 2 ] Тетромино, как домино и пентамино , представляют собой особый тип полимино . Соответствующий поликуб , называемый тетракубом , представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из четырех кубов, соединенных ортогонально.
Тетромино популярно используется в видеоигре «Тетрис», созданной советским игровым дизайнером Алексеем Пажитновым , в которой они называются тетримино . [ 3 ] Тетромино, используемые в игре, представляют собой односторонние тетромино.
Виды тетромино
[ редактировать ]Бесплатные тетромино
[ редактировать ]Полимино образуются путем соединения единичных квадратов по их краям. — Свободное полимино это полимино, рассматриваемое с точностью до конгруэнтности . То есть два свободных полимино одинаковы, если существует комбинация перемещений , вращений и отражений , превращающая одно в другое. Свободное тетромино — это свободное полимино, составленное из четырех квадратов. Есть пять бесплатных тетромино.
Свободные тетромино имеют следующую симметрию:
- Прямой: вертикальная и горизонтальная симметрия отражения, а также двойная вращательная симметрия.
- Квадрат: вертикальная и горизонтальная симметрия отражения и четырехкратная вращательная симметрия.
- T: только симметрия вертикального отражения
- Л: нет симметрии
- S: только двукратная вращательная симметрия
Односторонние тетромино
[ редактировать ]Односторонние тетромино — это тетромино, которые можно перемещать и вращать, но не отражать. Они используются и в подавляющем большинстве связаны с Тетрисом . Существует семь различных односторонних тетромино. Эти тетромино названы по буквам алфавита, на которые они наиболее похожи. Тетромино «I», «O» и «T» обладают отражательной симметрией, поэтому не имеет значения, считаются ли они свободными или односторонними тетромино. Остальные четыре тетромино, «J», «L», «S» и «Z», демонстрируют явление, называемое киративностью . J и L — отражения друг друга, а S и Z — отражения друг друга.
В качестве свободного тетромино J эквивалентен L, а S эквивалентен Z, но в двух измерениях и без отражений невозможно преобразовать J в L или S в Z.
Исправлены тетромино
[ редактировать ]Фиксированные тетромино допускают только перемещение, но не вращение или отражение. Существует два отдельных фиксированных I-тетромино: четыре J, четыре L, один O, два S, четыре T и два Z, всего 19 фиксированных тетромино.
Укладка прямоугольника плиткой
[ редактировать ]Заполнение прямоугольника одним набором тетромино
[ редактировать ]Один набор свободных тетромино или односторонних тетромино не может поместиться в прямоугольник. Это можно показать с помощью доказательства, подобного рассуждению об изуродованной шахматной доске . Прямоугольник 5х4 с шахматным рисунком имеет 20 квадратов, содержащих 10 светлых и 10 темных квадратов, но полный набор свободных тетромино имеет либо 11 темных квадратов и 9 светлых квадратов, либо 11 светлых квадратов и 9 темных квадратов. Это связано с тем, что тетромино Т имеет либо 3 темных квадрата и один светлый квадрат, либо 3 светлых квадрата и один темный квадрат, в то время как все остальные тетромино имеют по 2 темных квадрата и 2 светлых квадрата. Аналогично, прямоугольник 7х4 имеет 28 квадратов, содержащих по 14 квадратов каждого оттенка, но набор односторонних тетромино имеет либо 15 темных квадратов и 13 светлых квадратов, либо 15 светлых квадратов и 13 темных квадратов. В более широком смысле, любое нечетное количество наборов любого типа не может поместиться в прямоугольник. Кроме того, 19 фиксированных тетромино не могут поместиться в прямоугольник 4×19. Это было обнаружено путем исчерпания всех возможностей компьютерного поиска.
Односторонние тетромино (все семь показаны выше) состоят из 15 темных и 13 светлых квадратов.
На доске 7×4 по 14 клеток каждого цвета.
Заполнение модифицированного прямоугольника одним набором тетромино
[ редактировать ]Все три набора тетромино подходят к прямоугольникам с отверстиями:
- Все 5 бесплатных тетромино помещаются в прямоугольник 7×3 с отверстием.
- Все 7 односторонних тетромино укладываются в прямоугольник 6х5 с двумя отверстиями одного «шахматного цвета».
- Все 19 фиксированных тетромино помещаются в прямоугольник 11х7 с отверстием.
Заполнение прямоугольника двумя наборами тетромино
[ редактировать ]Два набора свободных или односторонних тетромино могут по-разному вписаться в прямоугольник, как показано ниже:
Этимология
[ редактировать ]Название «тетромино» представляет собой комбинацию приставки тетра- «четыре» (от древнегреческого τετρα- ) и « домино ». Название было введено Соломоном В. Голомбом в 1953 году вместе с другой номенклатурой, связанной с полимино. [ 4 ] [ 1 ]
Наполнение коробки тетракубами
[ редактировать ]Каждому из пяти свободных тетромино соответствует соответствующий тетракуб, представляющий собой тетромино, выдавленное на одну единицу. J и L представляют собой тот же тетракуб, что и S и Z, поскольку один из них можно вращать вокруг оси, параллельной плоскости тетромино, образуя другой. Возможны еще три тетракуба, все они создаются путем размещения единичного куба на изогнутом трикубе :
«прямой тетракуб»
«квадратный тетракуб»
«Т-тетракуб»
«L-тетракуб»
«косой тетракуб»
"Ветвь"
«Правильный винт»
«Левый винт»
Тетракубы можно упаковать в двухслойные 3D-коробки несколькими различными способами, в зависимости от размеров коробки и критериев включения. Они показаны как в графической, так и в текстовой диаграмме. Для коробок, в которых используются два набора одинаковых деталей, на графической диаграмме каждый набор изображен как более светлый или темный оттенок одного и того же цвета. На текстовой диаграмме каждый набор обозначен заглавной или строчной буквой. На текстовой диаграмме верхний слой находится слева, а нижний слой — справа.
1.) 2×4×5 box filled with two sets of free tetrominoes: Z Z T t I l T T T i L Z Z t I l l l t i L z z t I o o z z i L L O O I o o O O i 2.) 2×2×10 box filled with two sets of free tetrominoes: L L L z z Z Z T O O o o z z Z Z T T T l L I I I I t t t O O o o i i i i t l l l 3.) 2×4×4 box filled with one set of all tetrominoes: F T T T F Z Z B F F T B Z Z B B O O L D L L L D O O D D I I I I 4.) 2×2×8 box filled with one set of all tetrominoes: D Z Z L O T T T D L L L O B F F D D Z Z O B T F I I I I O B B F 5.) 2×2×7 box filled with tetrominoes, with mirror-image pieces removed: L L L Z Z B B L C O O Z Z B C I I I I T B C C O O T T T
См. также
[ редактировать ]Предыдущий и следующий заказы
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02444-8 .
- ^ Редельмайер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака» . Дискретная математика . 36 (2): 191–203. дои : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
- ^ «О Тетрисе» , Tetris.com. Проверено 19 апреля 2014 г.
- ^ Дорогой, Дэвид. «Полимино» . daviddarling.info . Проверено 23 мая 2020 г.
