Самолет (математика)

В математике плоскость , — это двумерное пространство или плоская поверхность простирающаяся до бесконечности. Плоскость — это двумерный аналог точки ( нулевое измерение), линии (одно измерение) и трехмерного пространства . При работе исключительно в двумерном евклидовом пространстве используется определенный артикль, поэтому евклидова плоскость относится ко всему пространству.

Можно определить несколько понятий плоскости. Евклидова плоскость следует евклидовой геометрии и, в частности, постулату параллельности . Проективная плоскость может быть построена путем добавления «точек на бесконечности» там, где две параллельные прямые в противном случае пересекались бы, так что каждая пара прямых пересекается ровно в одной точке. Эллиптическую плоскость можно дополнительно определить, добавив метрику к реальной проективной плоскости. Можно также представить себе гиперболическую плоскость , которая подчиняется гиперболической геометрии и имеет отрицательную кривизну .

Абстрактно можно забыть всю структуру, кроме топологии, создавая топологическую плоскость, гомеоморфную открытому диску . Если рассматривать плоскость как аффинное пространство, получается аффинная плоскость, в которой отсутствует понятие расстояния, но сохраняется понятие коллинеарности . И наоборот, добавляя больше структуры, можно рассматривать плоскость как одномерное комплексное многообразие , называемое «комплексной линией».

Многие фундаментальные задачи по математике, геометрии , тригонометрии , теории графов и построению графиков выполняются в двумерном или плоском пространстве. ^[1]

Евклидова плоскость

В математике евклидова плоскость — это евклидово пространство размерности два , обозначаемое ${\textbf {E}}^{2}$ или $\mathbb {E} ^{2}$ . Это геометрическое пространство , в котором два действительных числа требуются для определения положения каждой точки . Это аффинное пространство , которое включает в себя, в частности, концепцию параллельных линий . Он также имеет метрические свойства, обусловленные расстоянием , что позволяет определять круги и измерять углы .

Евклидова плоскость с выбранной декартовой системой координат называется декартовой плоскостью .

Набор

\mathbb {R} ^{2}

упорядоченных пар действительных чисел ( действительная координатная плоскость ), снабженная скалярным произведением , часто называют евклидовой плоскостью , поскольку каждая евклидова плоскость изоморфна ей.

Встраивание в трехмерное пространство

В евклидовой геометрии плоскость — это плоская двумерная , поверхность простирающаяся до бесконечности. Евклидовы плоскости часто возникают как подпространства трехмерного пространства. $\mathbb {R} ^{3}$ .Прототипическим примером является одна из стен комнаты, бесконечно протяженная и предполагаемая бесконечно тонкая.

Хотя пара действительных чисел

\mathbb {R} ^{2}

достаточно для описания точек на плоскости, взаимосвязь с точками вне плоскости требует особого рассмотрения для их встраивания в окружающее пространство

\mathbb {R} ^{3}

.

Эллиптическая плоскость

Эллиптическая плоскость — это действительная проективная плоскость, снабженная метрикой . Кеплер и Дезарг использовали гномоническую проекцию , чтобы связать плоскость σ с точками касательного к ней полушария . Когда O является центром полушария, точка P в σ определяет линию OP, пересекающую полусферу, а любая линия L ⊂ σ определяет плоскость OL , которая пересекает полусферу в половине большого круга . Полушарие ограничено плоскостью, проходящей через О и параллельной σ. обычная линия σ Этой плоскости не соответствует ; вместо этого бесконечная линия добавляется к σ . Поскольку любая прямая в этом расширении σ соответствует плоскости, проходящей через O , и поскольку любая пара таких плоскостей пересекается по прямой, проходящей через O , можно заключить, что любая пара прямых в расширении пересекается: точка пересечения лежит там, где плоскость пересечение соответствует σ или бесконечной линии. Таким образом, подтверждается аксиома проективной геометрии, требующая, чтобы все пары прямых на плоскости пересекались. ^[2]

Учитывая P и Q в σ , эллиптическое расстояние между ними является мерой угла POQ , обычно принимаемого в радианах. Артур Кэли положил начало изучению эллиптической геометрии, когда написал «Об определении расстояния». ^[3]^: 82 За этим предприятием абстракции в геометрии последовали Феликс Кляйн и Бернхард Риман, что привело к неевклидовой геометрии и римановой геометрии .

Проекционная плоскость

Кажется, что эти параллельные линии пересекаются в точке схода «в бесконечности». В проективной плоскости это действительно так.

В математике проективная плоскость — это геометрическая структура, расширяющая понятие плоскости . В обычной евклидовой плоскости две прямые обычно пересекаются в одной точке, но есть некоторые пары прямых (а именно параллельные прямые), которые не пересекаются. Проективную плоскость можно рассматривать как обычную плоскость, снабженную дополнительными «бесконечными точками», где пересекаются параллельные прямые. Таким образом, любые две различные прямые на проективной плоскости пересекаются ровно в одной точке.

Художники эпохи Возрождения, разрабатывая приемы рисования в перспективе , заложили основу этой математической темы. Архетипическим примером является реальная проективная плоскость , также известная как расширенная евклидова плоскость. ^[4] Этот пример, в несколько разных вариантах, важен в алгебраической геометрии , топологии и проективной геометрии , где его можно обозначать по-разному: PG(2, R) , RP ², или P ₂ (R), среди других обозначений. Существует множество других проективных плоскостей, как бесконечных, например комплексная проективная плоскость , так и конечных, например плоскость Фано .

Проективная плоскость — это двумерное проективное пространство . Не все проективные плоскости можно вложить в трехмерное проективное пространство; такая вложимость является следствием свойства, известного как теорема Дезарга , которое не присуще всем проективным плоскостям.

Дальнейшие обобщения

В дополнение к знакомой геометрической структуре с изоморфизмами , которые являются изометриями относительно обычного скалярного произведения, плоскость можно рассматривать и на различных других уровнях абстракции . Каждый уровень абстракции соответствует определенной категории .

С одной стороны, все геометрические и метрические концепции могут быть отброшены и покинуть топологическую плоскость, которую можно рассматривать как идеализированный гомотопически тривиальный бесконечный резиновый лист, сохраняющий понятие близости, но не имеющий расстояний. Топологическая плоскость имеет понятие линейного пути, но не имеет понятия прямой линии. Топологическая плоскость или ее эквивалент — открытый диск — это основная топологическая окрестность, используемая для построения поверхностей (или 2-многообразий), классифицируемых в низкомерной топологии . Все изоморфизмы топологической плоскости являются непрерывными биекциями . Топологическая плоскость является естественным контекстом раздела теории графов , который занимается планарными графами и такими результатами, как теорема о четырех цветах .

Плоскость также можно рассматривать как аффинное пространство , изоморфизмы которого представляют собой комбинации сдвигов и неособых линейных отображений. С этой точки зрения расстояний нет, но коллинеарность сохраняются и отношения расстояний на любой прямой.

Дифференциальная геометрия рассматривает плоскость как двумерное вещественное многообразие , топологическую плоскость, имеющую дифференциальную структуру . Опять же, в этом случае нет понятия расстояния, но теперь есть понятие гладкости отображений, например дифференцируемого или гладкого пути (в зависимости от типа применяемой дифференциальной структуры). Изоморфизмами в этом случае являются биекции с выбранной степенью дифференцируемости.

В противоположном направлении абстракции мы можем применить совместимую структуру поля к геометрической плоскости, порождая комплексную плоскость и основную область комплексного анализа . Комплексное поле имеет только два изоморфизма, которые оставляют вещественную прямую фиксированной: тождество и сопряжение .

Как и в реальном случае, плоскость можно рассматривать как простейшее одномерное (над комплексными числами) комплексное многообразие , иногда называемое комплексной линией. Однако эта точка зрения резко контрастирует со случаем плоскости как двумерного вещественного многообразия. Все изоморфизмы являются конформными биекциями комплексной плоскости, но единственными возможными вариантами являются отображения, соответствующие композиции умножения на комплексное число и перевода.

Кроме того, евклидова геометрия (которая всюду имеет нулевую кривизну ) — не единственная геометрия, которую может иметь плоскость. Плоскости можно придать сферическую геометрию с помощью стереографической проекции . Это можно представить как размещение сферы, касательной к плоскости (как мяч на полу), удаление верхней точки и проецирование сферы на плоскость из этой точки. Это одна из проекций, с помощью которой можно составить плоскую карту части поверхности Земли. Результирующая геометрия имеет постоянную положительную кривизну.

В качестве альтернативы плоскости также можно присвоить метрику, которая придает ей постоянную отрицательную кривизну, давая гиперболическую плоскость . Последняя возможность находит применение в специальной теории относительности в упрощенном случае, когда имеются два пространственных измерения и одно временное измерение. (Гиперболическая плоскость — это времениподобная гиперповерхность в трехмерном пространстве Минковского .)

Топологические и дифференциально-геометрические понятия.

Одноточечная компактификация плоскости гомеоморфна сфере ( см. стереографическая проекция ); открытый диск гомеоморфен сфере без «северного полюса»; добавление этой точки завершает (компактную) сферу. Результатом этой компактификации является многообразие, называемое сферой Римана или комплексной проективной прямой . Проекция евклидовой плоскости на сферу без точки есть диффеоморфизм и даже конформное отображение .

Сама плоскость гомеоморфна (и диффеоморфна) открытому диску . Для гиперболической плоскости такой диффеоморфизм конформен, а для евклидовой плоскости — нет.

См. также

Ссылки

^ Янич, П.; Зук, Д. (1992). Наследие Евклида. Пространство трехмерно? . Серия Западного Онтарио по философии науки. Спрингер Нидерланды. п. 50. ISBN 978-0-7923-2025-8 . Проверено 11 марта 2023 г.
^ HSM Coxeter (1965) Введение в геометрию, стр. 92
^ Кэли, Артур (1859), «Шестые мемуары о квантике» , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 149 : 61–90, doi : 10.1098/rstl.1859.0004 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 108690
^ Фразы «проективная плоскость», «расширенная аффинная плоскость» и «расширенная евклидова плоскость» можно различать в зависимости от того, считается ли линия на бесконечности особой (в так называемой «проективной» плоскости это не так, в « в расширенных плоскостях) и от того, считается ли евклидова метрика значимой (в проективной и аффинной плоскостях это не так). Аналогично для проективных или расширенных пространств других измерений.

[Janich_Zook_1992_p._50-1] Янич, П.; Зук, Д. (1992). Наследие Евклида. Пространство трехмерно? . Серия Западного Онтарио по философии науки. Спрингер Нидерланды. п. 50. ISBN 978-0-7923-2025-8 . Проверено 11 марта 2023 г.

[2] HSM Coxeter (1965) Введение в геометрию, стр. 92

[3] Кэли, Артур (1859), «Шестые мемуары о квантике» , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 149 : 61–90, doi : 10.1098/rstl.1859.0004 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 108690

[4] Фразы «проективная плоскость», «расширенная аффинная плоскость» и «расширенная евклидова плоскость» можно различать в зависимости от того, считается ли линия на бесконечности особой (в так называемой «проективной» плоскости это не так, в « в расширенных плоскостях) и от того, считается ли евклидова метрика значимой (в проективной и аффинной плоскостях это не так). Аналогично для проективных или расширенных пространств других измерений.

[1]

[2]

[3]

[4]