Гиперболические функции

«Гиперболическая кривая» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о геометрической кривой, см. Гиперболу .

В математике а гиперболические функции являются аналогами обычных тригонометрических функций , но определяются с помощью гиперболы, не круга . Точно так же, как точки (cost t , sin t ) образуют круг с единичным радиусом , точки (cosh t , sinh t ) образуют правую половину единичной гиперболы . Кроме того, аналогично тому, как производные sin( t ) и cos( t ) являются cos( t ) и –sin( t ) соответственно, производные sinh( t ) и cosh( t ) являются cosh( t ) и +sinh ( т ) соответственно.

Гиперболические функции встречаются при вычислении углов и расстояний в гиперболической геометрии . Они также встречаются в решениях многих линейных дифференциальных уравнений (таких как уравнение, определяющее цепную линию ), кубических уравнений и уравнения Лапласа в декартовых координатах . Уравнения Лапласа важны во многих областях физики , включая теорию электромагнетизма , теплообмен , гидродинамику и специальную теорию относительности .

Основные гиперболические функции:

• гиперболический синус « sinh » ( / ˈ s ɪ ŋ , ˈ s ɪ n tʃ , ˈ ʃ aɪ n / ),
• гиперболический косинус " кош " ( / ˈ k ɒ ʃ , ˈ k oʊ ʃ / ),

из которых получены:

• гиперболический тангенс " tanh " ( / ˈ t æ ŋ , ˈ t æ n tʃ , ˈ θ æ n / ),
• гиперболический котангенс " coth " ( / ˈ k ɒ θ , ˈ k oʊ θ / ),
• гиперболический секанс " сам " ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / ),
• гиперболический косеканс " csch " или " cosech " ( / ˈ k oʊ s ɛ tʃ , ˈ k oʊ ʃ ɛ k / )

соответствующие производным тригонометрическим функциям.

Обратные гиперболические функции :

• гиперболический синус площади « арсинх » (также обозначается « синх » ⁻¹ ", " асинх " или иногда " арксинь ")
• площадной гиперболический косинус « аркош » (также обозначается « кош ⁻¹ ", " акош " или иногда " арккош ")
• гиперболический тангенс площади « артань » (также обозначается « тань » ⁻¹ ", " атан " или иногда " арктан ")
• гиперболический котангенс площади " arcoth " (также обозначается " coth" ⁻¹ ", " acoth " или иногда " arcoth ")
• гиперболический секанс площади " arsech " (также обозначается " sech " ⁻¹ ", " асеч " или иногда " арксеч ")
• гиперболический косеканс площади " arcsch " (также обозначается " arcosch ", " csch" ⁻¹ ", " кошеч ⁻¹ "," acsch "," acosech " или иногда " arccsch " или " arccosech ")

Луч , проходящий через единичную гиперболу x ² − и ² = 1 в точке (cosh a , sinh a ) , где a — удвоенная площадь между лучом, гиперболой и осью x . Для точек на гиперболе ниже оси x площадь считается отрицательной (см. анимационную версию со сравнением с тригонометрическими (круговыми) функциями).

Гиперболические функции принимают вещественный аргумент, называемый гиперболическим углом . Размер гиперболического угла в два раза больше площади его гиперболического сектора . Гиперболические функции можно определить через катеты прямоугольного треугольника, охватывающего этот сектор.

В комплексном анализе гиперболические функции возникают при применении обычных функций синуса и косинуса к мнимому углу. Гиперболический синус и гиперболический косинус — целые функции . В результате остальные гиперболические функции мероморфны во всей комплексной плоскости.

По теореме Линдеманна-Вейерштрасса гиперболические функции имеют трансцендентное значение для каждого ненулевого алгебраического значения аргумента.

Гиперболические функции были введены в 1760-х годах независимо Винченцо Риккати и Иоганном Генрихом Ламбертом . Риккати использовал Sc. и Кц. ( sinus/cosinus rounde ) для обозначения круговых функций и Sh. и Ч. ( sinus/cosinus Hyperbolico ) для обозначения гиперболических функций. Ламберт принял эти имена, но изменил сокращения на те, которые используются сегодня. Аббревиатуры sh , ch , th , cth также используются в настоящее время, в зависимости от личных предпочтений.

Обозначения

Основная статья: Тригонометрические функции § Обозначения

Определения

родился , крутой и рыбный

csch , sech и coth

Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.

Экспоненциальные определения

sinh x это половина разницы e — ^х и е ^{− х}

cosh x — среднее значение e ^х и е ^{− х}

В терминах показательной функции :

• Гиперболический синус: нечетная часть показательной функции, то есть $$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$$
• Гиперболический косинус: четная часть показательной функции, т. е. $$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$$
• Гиперболический тангенс: $$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.$$
• Гиперболический котангенс: для x ≠ 0 , $$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.$$
• Гиперболический секанс: $$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.$$
• Гиперболический косеканс: для x ≠ 0 , $$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.$$

Определения дифференциальных уравнений

Гиперболические функции могут быть определены как решения дифференциальных уравнений : Гиперболические синус и косинус являются решением ( s , c ) системы. $${\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}$$с начальными условиями $s(0)=0,c(0)=1.$ Начальные условия делают решение единственным; без них ни одна пара функций $(ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})$ было бы решение.

sinh( x ) и cosh( x ) также являются уникальным решением уравнения f ″( x ) = f ( x ) ,такой, что f (0) = 1 , f ′(0) = 0 для гиперболического косинуса и f (0) = 0 , f ′(0) = 1 для гиперболического синуса.

Сложные тригонометрические определения

Гиперболические функции также можно вывести из тригонометрических функций со сложными аргументами:

• Гиперболический синус: $$\sinh x=-i\sin(ix).$$
• Гиперболический косинус: $$\cosh x=\cos(ix).$$
• Гиперболический тангенс: $$\tanh x=-i\tan(ix).$$
• Гиперболический котангенс: $$\coth x=i\cot(ix).$$
• Гиперболический секанс: $$\operatorname {sech} x=\sec(ix).$$
• Гиперболический косеканс: $$\operatorname {csch} x=i\csc(ix).$$

где я - мнимая единица с i ² = −1 .

Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).

Характеристика свойств

Гиперболический косинус

Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу: $${\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}$$

Гиперболический тангенс

Гиперболический тангенс — это (единственное) решение дифференциального уравнения f ′ = 1 − f  ² , при этом f (0) = 0 .

Полезные отношения

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все из которых по форме аналогичны тригонометрическим тождествам . Фактически, правило Осборна утверждает, что можно преобразовать любое тригонометрическое тождество (вплоть до синхов или подразумеваемых синхов 4-й степени, но не включая их) в $\theta$, $2\theta$, $3\theta$ или $\theta$ и $\varphi$ в гиперболическую идентичность, полностью расширив ее с точки зрения целых степеней синусов и косинусов, заменив синус на sinh и косинус на cosh, а также поменяв знак каждого члена, содержащего произведение двух sinh.

Нечетные и четные функции: $${\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}$$

Следовательно: $${\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}$$

Таким образом, cosh x и sech x — четные функции ; остальные являются нечетными функциями .

$${\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}$$

Гиперболический синус и косинус удовлетворяют: $${\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}$$

последнее из которых аналогично тригонометрическому тождеству Пифагора .

У одного также есть $${\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}$$

для остальных функций.

Суммы аргументов

$${\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}$$особенно $${\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}$$

Также: $${\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}$$

Формулы вычитания

$${\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}$$

Также: $${\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}$$

Формулы с половинным аргументом

$${\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}$$

где sn — знаковая функция .

Если x ≠ 0 , то

$$\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x$$

Формулы квадратов

$${\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}$$

Неравенства

Следующее неравенство полезно в статистике: $\operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}$

Это можно доказать, сравнивая почленно ряды Тейлора двух функций.

Обратные функции как логарифмы

Основная статья: Обратная гиперболическая функция

$${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}$$

Производные

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}$$$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}$$

Вторые производные

Каждая из функций sinh и cosh равна своей второй производной , то есть: $${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x$$$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.$$

Все функции с этим свойством представляют собой комбинации sinh cosh и линейные , в частности показательные функции $e^{x}$ и $e^{-x}$.

Стандартные интегралы

Полный список см. в списке интегралов гиперболических функций .

$${\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}$$

Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической замены : $${\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}$$

где C — константа интегрирования .

Выражения ряда Тейлора

Можно явно выразить ряд Тейлора в нуле (или ряд Лорана , если функция не определена в нуле) вышеуказанных функций.

$$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$Этот ряд сходится для любого комплексного значения x . Поскольку функция sinh x нечетна , только нечетные показатели степени для x в ее ряду Тейлора встречаются .

$$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$$Этот ряд сходится для любого комплексного значения x . Поскольку функция ch x четная , только четные показатели степени для x в ее ряду Тейлора встречаются .

Сумма рядов sinh и cosh представляет собой в виде бесконечного ряда выражение экспоненциальной функции .

За следующими рядами следует описание подмножества их области сходимости , где ряд сходится, а его сумма равна функции. $${\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}$$

где:

• $B_{n}$ это n -е число Бернулли
• $E_{n}$ число — n- е Эйлера

Бесконечные произведения и цепные дроби

Следующие разложения справедливы во всей комплексной плоскости:

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

$\tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}$

Сравнение с круговыми функциями

Окружность и касательная гиперболы в точке (1,1) отображают геометрию круговых функций в терминах кругового сектора площади u и гиперболических функций, зависящих от гиперболического сектора площади u .

Гиперболические функции представляют собой расширение тригонометрии за пределы круговых функций . Оба типа зависят от аргумента : кругового угла или гиперболического угла .

Поскольку площадь кругового сектора радиусом r и углом u (в радианах) равна r ² u /2 , оно будет равно u , когда r = √ 2 . На схеме такая окружность касается гиперболы xy = 1 в точке (1,1). Желтый сектор отображает площадь и величину угла. Аналогично, желтая и красная области вместе изображают гиперболический сектор , площадь которого соответствует величине гиперболического угла.

Длина катетов двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, в √ 2 раза больше круговой и гиперболической функции.

Гиперболический угол является инвариантной мерой относительно отображения сжатия , точно так же, как круговой угол инвариантен относительно вращения.

Функция Гудермана устанавливает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, которая не включает комплексные числа.

График функции a cosh( x / a ) представляет собой цепную линию , кривую, образованную однородной гибкой цепью, свободно висящей между двумя фиксированными точками под действием равномерной силы тяжести.

Связь с показательной функцией

Разложение показательной функции на четную и нечетную части дает тождества $$e^{x}=\cosh x+\sinh x,$$и $$e^{-x}=\cosh x-\sinh x.$$В сочетании с формулой Эйлера $$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$$это дает $$e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)$$для общей комплексной показательной функции .

Кроме того, $$e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}$$

Гиперболические функции для комплексных чисел

Гиперболические функции в комплексной плоскости

$\sinh(z)$	$\cosh(z)$	$\tanh(z)$	$\coth(z)$	$\operatorname {sech} (z)$	$\operatorname {csch} (z)$

Поскольку показательную функцию можно определить для любого комплексного аргумента, мы также можем распространить определения гиперболических функций на комплексные аргументы. функции sinh z и ch z Тогда голоморфны .

Связь с обычными тригонометрическими функциями дает формула Эйлера для комплексных чисел: $${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}$$так: $${\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}$$

Таким образом, гиперболические функции периодичны по мнимой составляющей с периодом $2\pi i$ ( $\pi i$ для гиперболического тангенса и котангенса).

См. также

• е (математическая константа)
• Теорема о равенстве вписанных окружностей , основанная на sinh
• Гиперболатические функции
• Гиперболический рост
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов от гиперболических функций
• Спирали Пуансо
• Сигмовидная функция
• Soboleva modified hyperbolic tangent
• Тригонометрические функции

Внешние ссылки

• «Гиперболические функции» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Гиперболические функции в PlanetMath
• GonioLab : Визуализация единичного круга, тригонометрических и гиперболических функций ( Java Web Start )
• Веб-калькулятор гиперболических функций