Звездная динамика

Звездная динамика — раздел астрофизики , который статистически описывает коллективные движения звезд под действием их взаимной гравитации . Существенное отличие от небесной механики состоит в том, что число тел $N\gg 10.$

Рогатка пробного тела в потенциале двух тел

N-частицы в квазипериодическом движении в фазовом пространстве (x, mv) существенно статического потенциала

Типичные галактики содержат свыше миллионов макроскопических гравитирующих тел и бесчисленное количество нейтрино и, возможно, других темных микроскопических тел. Кроме того, каждая звезда вносит более или менее равный вклад в общее гравитационное поле, тогда как в небесной механике притяжение массивного тела доминирует над любыми орбитами спутников.

Связь с гидродинамикой

Звездная динамика также связана с физикой плазмы. Эти две области претерпели значительное развитие в один и тот же период времени в начале 20-го века, и обе заимствуют математический формализм, первоначально разработанный в области механики жидкости .

В аккреционных дисках и на поверхностях звезд плотные частицы плазмы или газа очень часто сталкиваются, и столкновения приводят к равнораспределению и, возможно, вязкости в магнитном поле. Мы видим разные размеры аккреционных дисков и звездной атмосферы, состоящих из огромного количества микроскопических частиц. $(L/V,M/N)$

• $\sim (10^{-8}{\text{pc}}/500{\text{km/s}},1M_{\odot }/10^{55}=m_{p})$ на звездных поверхностях,
• $\sim (10^{-4}{\text{pc}}/10{\text{km/s}},0.1M_{\odot }/10^{54}\sim m_{p})$ вокруг звезд типа Солнца или звездных черных дыр размером в км,
• $\sim (10^{-1}{\text{pc}}/100{\text{km/s}},10M_{\odot }/10^{56}\sim m_{p})$ около миллиона черных дыр солнечной массы (размером около астрономической единицы) в центрах галактик.

В звездной динамике время пересечения системы велико, поэтому удобно отметить, что

$1000{\text{pc}}/1{\text{km/s}}=1000{\text{Myr}}={\text{HubbleTime}}/14.$

Длительный временной масштаб означает, что, в отличие от частиц газа в аккреционных дисках, звезды в галактических дисках очень редко сталкиваются с столкновениями за свою звездную жизнь. Однако галактики иногда сталкиваются в скоплениях галактик, а звезды иногда встречаются в звездных скоплениях.

Как показывает практика, типичные масштабы (см. верхнюю часть «Логарифмической карты Вселенной» П.К. Будасси) таковы: $(L/V,M/N)$

• $\sim (\mathrm {10pc/10km/s} ,1000M_{\odot }/1000)$ для звездного скопления M13,
• $\sim (\mathrm {100kpc/100km/s} ,10^{11}M_{\odot }/10^{11})$ для дисковой галактики M31,
• $\sim (\mathrm {10Mpc/1000km/s} ,10^{14}M_{\odot }/10^{77}=m_{\nu })$ для нейтрино в скоплениях Пули, представляющих собой сливающуюся систему из N = 1000 галактик.

Связь с задачей Кеплера и задачей трех тел.

На поверхностном уровне всю звездную динамику можно сформулировать как задачу N тел.по второму закону Ньютона , где уравнение движения (ЭОМ) для внутренних взаимодействий изолированной звездной системы из N членов можно записать как: $$m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}=\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{N}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right\|^{3}}}.$$Здесь, в системе N тел, любой отдельный член, $m_{i}$ находится под влиянием гравитационных потенциалов остальных $m_{j}$ члены.

На практике, за исключением высокопроизводительного компьютерного моделирования, таким образом невозможно точно рассчитать будущее большой N-системы. Кроме того, этот EOM дает очень мало интуиции. Исторически методы, используемые в звездной динамике, возникли из областей как классической, так и статистической механики . По сути, фундаментальной проблемой звездной динамики является проблема N тел , где N членов относятся к членам данной звездной системы. Учитывая большое количество объектов в звездной системе, звездная динамика может учитывать как глобальные статистические свойства многих орбит, так и конкретные данные о положениях и скоростях отдельных орбит.

Концепция гравитационного потенциального поля

Звездная динамика предполагает определение гравитационного потенциала значительного числа звезд. Звезды можно моделировать как точечные массы, орбиты которых определяются совокупным взаимодействием друг с другом. Обычно эти точечные массы представляют звезды в различных скоплениях или галактиках, таких как скопление галактик или шаровое скопление . Не получая гравитационного потенциала системы путем ежесекундного сложения всех потенциалов точечной массы в системе, специалисты по звездной динамике разрабатывают потенциальные модели, которые могут точно моделировать систему, оставаясь при этом недорогими в вычислительном отношении. Гравитационный потенциал, $\Phi$, системы связано с ускорением и гравитационным полем, $\mathbf {g}$ к: $${\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}}=\mathbf {\vec {g}} =-\nabla _{\mathbf {r_{i}} }\Phi (\mathbf {r_{i}} ),~~\Phi (\mathbf {r} _{i})=-\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{N}{{\frac {Gm_{k}}{\left\|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{k}\right\|}},$$тогда как потенциал связан с (сглаженной) плотностью массы, $\rho$, через уравнение Пуассона в интегральной форме $$\Phi (\mathbf {r} )=-\int {G\rho (\mathbf {R} )d^{3}\mathbf {R} \over \left\|\mathbf {r} -\mathbf {R} \right\|}$$или более распространенная дифференциальная форма $$\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho .$$

Пример уравнения Пуассона и скорости убегания на однородной сфере.

Рассмотрим аналитически гладкий сферический потенциал $${\begin{aligned}\Phi (r)&\equiv \left(-V_{0}^{2}\right)+\left[{r^{2}-r_{0}^{2} \over 2r_{0}^{2}},~~1-{r_{0} \over r}\right]_{\max }\!\!\!\!V_{0}^{2}\equiv \Phi (r_{0})-{V_{e}^{2}(r) \over 2},~~\Phi (r_{0})=-V_{0}^{2},\\\mathbf {g} &=-\mathbf {\nabla } \Phi (r)=-\Omega ^{2}rH(r_{0}-r)-{GM_{0} \over r^{2}}H(r-r_{0}),~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}},~~M_{0}={V_{0}^{2}r_{0} \over G},\end{aligned}}$$где $V_{e}(r)$ принимает смысл скорости, чтобы «убежать к краю» $r_{0}$, и ${\sqrt {2}}V_{0}$ это скорость «убегания от края в бесконечность». Гравитация подобна восстанавливающей силе гармонического осциллятора внутри сферы и кеплеровской силы снаружи, что описывается функциями Хевисайда.

Мы можем исправить нормализацию $V_{0}$ путем вычисления соответствующей плотности с использованием сферического уравнения Пуассона $$G\rho ={d \over 4\pi r^{2}dr}{r^{2}d\Phi \over dr}={d(GM) \over 4\pi r^{2}dr}={3V_{0}^{2} \over 4\pi r_{0}^{2}}H(r_{0}-r),$$где заключенная масса $$M(r)={r^{2}d\Phi \over Gdr}=\int _{0}^{r}dr\int _{0}^{\pi }(rd\theta )\int _{0}^{2\pi }(r\sin \theta d\varphi )\rho _{0}H(r_{0}-r)=\left.M_{0}x^{3}\right|_{x={r \over r_{0}}}.$$

Следовательно, потенциальная модель соответствует однородной сфере радиуса $r_{0}$, общая масса $M_{0}$ с $${V_{0} \over r_{0}}\equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}={\sqrt {GM_{0} \over r_{0}^{3}}}.$$

Ключевые понятия

Хотя и уравнения движения, и уравнение Пуассона также могут принимать несферические формы, в зависимости от системы координат и симметрии физической системы, суть одна и та же: Движения звезд в галактике или шаровом скоплении в основном определяются средним распределением других, далеких звезд. Нечастые встречи звезд включают такие процессы, как релаксация, сегрегация масс , приливные силы и динамическое трение , которые влияют на траектории членов системы.

Релятивистские приближения

Есть три связанных аппроксимации, сделанные в ньютоновском EOM и уравнении Пуассона, приведенном выше.

СР и ГР

Во-первых, в приведенных выше уравнениях не учитываются релятивистские поправки, которые имеют порядок $$(v/c)^{2}\ll 10^{-4}$$ как типичная звездная трехмерная скорость, $v\sim 3-3000$ км/с, что значительно ниже скорости света.

Эддингтонский лимит

Во-вторых, негравитационная сила в звездных системах обычно незначительна. Например, вблизи типичной звезды отношение силы излучения к силе гравитации, действующей на атом или ион водорода, $$Q^{\text{Eddington}}={{\sigma _{e} \over 4\pi m_{H}c}{L\odot \over r^{2}} \over {GM_{\odot } \over r^{2}}}={1 \over 30,000},$$следовательно, сила излучения в целом незначительна, за исключением, возможно, вокруг светящейся звезды О-типа с массой $30M_{\odot }$, или вокруг черной дыры, аккрецирующей газ на пределе Эддингтона, так что ее отношение светимости к массе $L_{\bullet }/M_{\bullet }$ определяется $Q^{\text{Eddington}}=1$.

Конус потерь

В-третьих, звезду можно проглотить, если она окажется на расстоянии нескольких радиусов Шварцшильда от черной дыры. Этот радиус потерь определяется выражением $$s\leq s_{\text{Loss}}={\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}$$

Конус потерь можно визуализировать, рассматривая падающие частицы, стремящиеся к черной дыре в пределах небольшого телесного угла (конуса скорости). Эти частицы с небольшим $\theta \ll 1$ имеют малый угловой момент на единицу массы $$J\equiv rv\sin \theta \leq J_{\text{loss}}={\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.$$ Их малый угловой момент (из-за ) не создает достаточно высокого барьера вблизи $s_{\text{Loss}}$ заставить частицу повернуться.

Эффективный потенциал $$\Phi _{\text{eff}}(r)\equiv E-{{\dot {r}}^{2} \over 2}={J^{2} \over 2r^{2}}+\Phi (r),$$ всегда положительная бесконечность в ньютоновской гравитации. Однако в ОТО это пике до минус бесконечности вблизи ${\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}$ если $J\leq {\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.$

Не прибегая к строгому рассмотрению ОТО, можно убедиться в этом. $s_{\text{loss}},J_{\text{loss}}$ путем вычисления последней стабильной круговой орбиты, где эффективный потенциал находится в точке перегиба $\Phi ''_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=\Phi '_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=0$ используя приближенный классический потенциал черной дыры Шварцшильда $$\Phi (r)=-{(4GM_{\bullet }/c)^{2} \over 2r^{2}}\left[1+{3(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over 8r^{2}}\right]-{\frac {GM_{\bullet }}{r}}\left[1-{(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over r^{2}}\right].$$

Радиус приливного разрушения

Звезда может быть приливно разорвана более тяжелой черной дырой, когда она окажется в пределах так называемого радиуса Хилла черной дыры, внутри которого поверхностная гравитация звезды уступает приливной силе черной дыры. то есть,

$$(1-1.5)\geq Q^{\text{tide}}\equiv {GM_{\odot }/R_{\odot }^{2} \over [GM_{\bullet }/s_{\text{Hill}}^{2}-GM_{\bullet }/(s_{\text{Hill}}+R_{\odot })^{2}]},~~~s_{\text{Hill}}\rightarrow R_{\odot }\left({(2-3)GM_{\bullet } \over GM_{\odot }}\right)^{1 \over 3},$$

Для типичных черных дыр $M_{\bullet }=(10^{0}-10^{8.5})M_{\odot }$ радиус разрушения $$\max[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]=400R_{\odot }\max \left[\left({M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right)^{1/3},{M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right]=(1-4000)R_{\odot }\ll 0.001\mathrm {pc} ,$$ где 0,001пк — расстояние между звездами в наиболее плотных звездных системах (например, ядерном звездном скоплении в центре Млечного Пути). Следовательно, звезды (главной последовательности) обычно слишком компактны внутри и расположены слишком далеко друг от друга, чтобы их могли разрушить даже самые сильные приливы черных дыр в среде галактики или скопления.

Радиус сферы влияния

Частица массы $m$ с относительной скоростью V будет отклоняться при входе в (гораздо большее) сечение $\pi s_{\bullet }^{2}$ черной дыры. Эта так называемая сфера влияния в общих чертах определяется с точностью до Q-подобного коэффициента выдумки. ${\sqrt {\ln \Lambda }}$, $$1\sim {\sqrt {\ln \Lambda }}\equiv {\frac {V^{2}/2}{G(M_{\bullet }+m)/s_{\bullet }}},$$следовательно, для звезды, подобной Солнцу, мы имеем: $$s_{\bullet }={G(M_{\bullet }+M_{\odot }){\sqrt {\ln \Lambda }} \over V^{2}/2}\approx {M_{\bullet } \over M_{\odot }}{V_{\odot }^{2} \over V^{2}}R_{\odot }>[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]_{max}=(1-4000)R_{\odot },$$т. е. звезды не будут ни разрушены приливом, ни физически поражены/проглочены при типичном столкновении с черной дырой благодаря высокой скорости выхода с поверхности. $$V_{\odot }={\sqrt {2GM_{\odot }/R_{\odot }}}=615\mathrm {km/s}$$ от любой звезды солнечной массы, сравнимой с внутренней скоростью между галактиками в скоплении галактик Пуля и превышающей типичную внутреннюю скорость $$V\sim {\sqrt {2G(NM_{\odot })/R}}\ll \mathrm {300km/s}$$ внутри всех звездных скоплений и в галактиках.

Связь между конусом звездных потерь и физикой гравитационной газовой аккреции

Сначала рассмотрим тяжелую черную дыру массой $M_{\bullet }$ движется через диссипативный газ с (пересчитанной) тепловой звуковой скоростью ${\text{ς'}}$ и плотность $\rho _{\text{gas}}$, то каждая частица газа массы m, скорее всего, передаст свой относительный импульс $mV_{\bullet }$ к ЧД при приближении к поперечному сечению радиуса $$s_{\bullet }\equiv {(GM_{\bullet }+Gm){\sqrt {\ln \Lambda }} \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},$$ В масштабе времени $t_{\text{fric}}$ что черная дыра теряет половину своей скорости потока, ее масса может удвоиться за счет аккреции Бонди - процесса захвата большинства частиц газа, попадающих в сферу ее влияния. $s_{\bullet }$, рассеивают кинетическую энергию за счет столкновений газов и попадают в черную дыру. Скорость улавливания газа $${M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}(\pi s_{\bullet }^{2})\rho _{\text{gas}}=4\pi \rho _{\text{gas}}\left[{(GM_{\bullet })^{2} \over ({\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2})^{3 \over 2}}\right]\ln \Lambda ,~~{\text{ς'}}\equiv \sigma {\sqrt {1+\gamma ^{3} \over 2(9/8)^{2/3}}}\approx [{\text{ς}},\gamma \sigma ]_{\text{max}},$$ где индекс политропы $\gamma$ - скорость звука в единицах дисперсии скорости, возведенная в квадрат, и приведенная в масштабе скорость звука ${\text{ς'}}$ позволяет нам соответствовать скорости сферической аккреции Бонди, ${\dot {M}}_{\bullet }\approx \pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}$ для адиабатического газа $\gamma =5/3$, по сравнению с ${\dot {M}}_{\bullet }\approx 4\pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}$ изотермического случая $\gamma =1$.

Возвращаясь к приливному разрушению звезды и захвату звезды (движущейся) черной дырой, установка $\ln \Lambda =1$, мы могли бы суммировать скорость роста ЧД по газу и звездам, ${M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}+{M_{\bullet } \over t_{\text{loss}}^{*}}$ с, $${\dot {M}}_{\bullet }={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}mn(\pi s_{\bullet }^{2},\pi s_{\text{Hill}}^{2},\pi s_{\text{Loss}}^{2})_{\text{max}},~~s_{\bullet }\approx {(GM_{\bullet }+Gm) \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},$$ потому что черная дыра поглощает дробную/большую часть частиц звезды/газа, проходящих через сферу ее влияния.

Гравитационное динамическое трение

Рассмотрим случай, когда тяжелая черная дыра массой $M_{\bullet }$ движется относительно фона звезд в хаотическом движении в кластер общей массы $(NM_{\odot })$ со средней плотностью $$n\sim (N-1)/(4\pi R^{3}/3)$$ в пределах типичного размера $R$.

Интуиция подсказывает, что гравитация заставляет легкие тела ускоряться и набирать импульс и кинетическую энергию (см. эффект рогатки). Учитывая сохранение энергии и импульса, мы можем заключить, что более тяжелое тело будет замедляться на величину, необходимую для компенсации. Поскольку рассматриваемым телом происходит потеря импульса и кинетической энергии, этот эффект называется динамическим трением.

После определенного времени релаксации кинетическая энергия тяжелой черной дыры должна оказаться в равной степени с менее массивными фоновыми объектами. Замедление черной дыры можно описать как $$-{M_{\bullet }{\dot {V}}_{\bullet }}={M_{\bullet }V_{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}},$$где $t_{\text{fric}}^{\text{star}}$ называется динамическим временем трения.

Время динамического трения и время пересечения в вириализованной системе

Рассмотрим ЧД со скоростью 1 Маха, которая первоначально движется со скоростью звука. ${\text{ς}}=V_{0}$, отсюда и его радиус Бонди $s_{\bullet }$ удовлетворяет $${GM_{\bullet }{\sqrt {\ln \Lambda }} \over s_{\bullet }}=V_{0}^{2}={\text{ς}}^{2}={0.4053GM_{\odot }(N-1) \over R},$$где скорость звука ${\text{ς}}={\sqrt {4GM_{\odot }(N-1) \over \pi ^{2}R}}$ с префактором ${4 \over \pi ^{2}}\approx {4 \over 10}=0.4$ фиксируется тем, что для однородного сферического кластера с массовой плотностью $\rho =nM_{\odot }\approx {M_{\odot }(N-1) \over 4.19R^{3}}$половина кругового периода — это время, в течение которого «звук» совершает одностороннее пересечение в самом длинном измерении, т. е. $$2t_{\text{ς}}\equiv 2t_{\text{cross}}\equiv {2R \over {\text{ς}}}=\pi {\sqrt {R^{3} \over GM_{\odot }(N-1)}}\approx (0.4244G\rho )^{-1/2}.$$Время пересечения принято называть «половинным» диаметром. $t_{\text{cross}}$ динамическая шкала времени.

Предположим, что ЧД останавливается, пройдя расстояние $l_{\text{fric}}\equiv {\text{ς}}t_{\text{fric}}$ с его импульсом $M_{\bullet }V_{0}=M_{\bullet }{\text{ς}}$ депонировано в ${M_{\bullet } \over M_{\odot }}$ звезды на своем пути над $l_{\text{fric}}/(2R)$ переправы, затем количество звезд, отклоненных поперечным сечением Бонди Ч.Д. за время прохождения «диаметра» равно $$N^{\text{defl}}={({M_{\bullet } \over M_{\odot }})}{2R \over l_{\text{fric}}}=N{\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}}=N\left({M_{\bullet } \over 0.4053M_{\odot }N}\right)^{2}\ln \Lambda .$$

В более общем смысле, уравнение движения ЧД с общей скоростью $\mathbf {V} _{\bullet }$ в потенциале $\Phi$ моря звезд можно записать как $$-{d \over dt}(M_{\bullet }V_{\bullet })-M_{\bullet }\nabla \Phi \equiv {(M_{\bullet }V_{\bullet }) \over t_{\text{fric}}}=\overbrace {N\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}} ^{N^{\text{defl}}}{(M_{\odot }V_{\bullet }) \over 2t_{\text{ς}}}={8\ln \Lambda ' \over Nt_{\text{ς}}}M_{\bullet }V_{\bullet },$$${\pi ^{2} \over 8}\approx 1$ и модифицирующий множитель кулоновского логарифма ${\ln \Lambda ' \over \ln \Lambda }\equiv \left[{\pi ^{2} \over 8}\right]^{2}\left[(1+{V_{\bullet }^{2} \over {\text{ς'}}^{2}})\right]^{-2}(1+{M_{\odot } \over M_{\bullet }})\leq \left[{{\text{ς'}} \over V_{\bullet }}\right]^{4}\leq 1$ учитывает трение на сверхзвуковой движущейся ЧД с массой $M_{\bullet }\geq M_{\odot }$. Как правило, требуется звуковое пересечение $t_{\text{ς'}}$ время "потопить" дозвуковые ЧД, от края к центру, не пролетая мимо, если они весят более 1/8 общей массы скопления. Более легкие и быстрые лунки могут оставаться на плаву гораздо дольше.

Более строгая формулировка динамического трения.

Полная формула динамического трения Чандрасекара для изменения скорости объекта включает интегрирование по плотности фазового пространства поля материи и далеко не прозрачна.

Это читается как $${M_{\bullet }d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over dt}=-{M_{\bullet }\mathbf {V} _{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}}=-{m\mathbf {V} _{\bullet }~n(\mathbf {x} )d\mathbf {x} ^{3} \over dt}\ln \Lambda _{\text{lag}},$$где $$~~n(\mathbf {x} )dx^{3}=dtV_{\bullet }(\pi s_{\bullet }^{2})n(\mathbf {x} )=dtn(\mathbf {x} )|V_{\bullet }|\pi \left[{G(m+M_{\bullet }) \over |V_{\bullet }|^{2}/2}\right]^{2}$$- число частиц в бесконечно малом цилиндрическом объеме длиной $|V_{\bullet }dt|$ и поперечное сечение $\pi s_{\bullet }^{2}$ в сфере влияния черной дыры.

Как «логарифм Кулона». $\ln \Lambda$ факторы вклада далеких фоновых частиц, здесь фактор $\ln(\Lambda _{\text{lag}})$ также Факторы вероятности обнаружения фоновой частицы, более медленной, чем BH, которая будет способствовать сопротивлению. Чем больше частиц догоняет ЧД, тем больше частиц тянет ЧД и тем больше $\ln(\Lambda _{\text{beaten}})$. Кроме того, чем больше система, тем больше $\ln \Lambda$.

Фон элементарных (газовых или темных) частиц также может вызывать динамическое трение, которое зависит от массовой плотности окружающей среды. $m~n$; меньшая масса частицы m компенсируется более высокой плотностью n. Чем массивнее объект, тем больше материи будет втянуто в след.

Суммируя гравитационное сопротивление как столкновительного газа, так и бесстолкновительных звезд, мы имеем $$M_{\bullet }{d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over M_{\bullet }dt}=-4\pi \left[{GM_{\bullet } \over |V_{\bullet }|}\right]^{2}\mathbf {\hat {V}} _{\bullet }(\rho _{\text{gas}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}+mn_{\text{*}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*}).~~$$Здесь «отстающая» фракция по газу а для звезд даются выражениями $${\begin{aligned}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}(u)&=\ln ~{\left[{1+u \over \lambda }\right]^{1 \over 2}\left[{|1-u| \over \lambda }\right]^{H[u-\lambda -1]-H[1-\lambda -u] \over 2} \over \exp {[u+\lambda ,1]_{\min }^{2}-[u-\lambda ,1]_{\min }^{2} \over 4\lambda }},\\&\approx \ln \left[{{\sqrt {(u^{3}-1)^{2}+\lambda ^{3}}}+u^{3}-1 \over {\sqrt {1+\lambda ^{3}}}-1}\right]^{1 \over 3},~~u\equiv {|V_{\bullet }|t \over {\text{ς'}}t},~~\lambda \equiv ({s_{\bullet } \over {\text{ς'}}t})\\{\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*} \over \ln \Lambda }&\equiv \int _{0}^{|mV_{\bullet }|}\!\!\!\!{(4\pi p^{2}dp)e^{-{p^{2} \over 2(m\sigma )^{2}}} \over ({\sqrt {2\pi }}m\sigma )^{3}}\left.\right|_{p=m|v|}\approx {|\mathbf {V} _{\bullet }|^{3} \over |\mathbf {V} _{\bullet }|^{3}+3.45\sigma ^{3}},\\\ln \Lambda &=\int {d\mathbf {x_{1}} ^{3}~2Heaviside[{n(\mathbf {x_{1}} ) \over n(\mathbf {x} )}-1-{M_{\bullet } \over NM_{\odot }}] \over (s_{\bullet }^{2}+|\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x} |^{2})^{3 \over 2}}\approx \ln {\sqrt {1+\left({0.123NM_{\odot } \over M_{\bullet }}\right)^{2}}},\end{aligned}}$$ где мы далее предположили, что ЧД начинает двигаться от времени $t=0$; газ изотермичен со скоростью звука ${\text{ς}}$; фоновые звезды имеют (массовую) плотность $mn(\mathbf {x} )$ в Максвелла распределении импульса $p=mv$ с гауссовским распределением разброса скоростей $\sigma$ (так называемая дисперсия скорости, обычно $\sigma \leq {\text{ς}}$).

Интересно, $G^{2}(m+M_{\bullet })(mn(\mathbf {x} ))$ Зависимость предполагает, что динамическое трение происходит из-за гравитационного притяжения следа, который вызван гравитационной фокусировкой массивного тела при его двухчастичных столкновениях с фоновыми объектами.

Мы видим, что сила также пропорциональна обратному квадрату скорости на верхнем конце, следовательно, относительная скорость потери энергии быстро падает при высоких скоростях.Поэтому динамическое трение не имеет значения для объектов, которые движутся релятивистски, таких как фотоны. Это можно объяснить, осознав, что чем быстрее объект движется через среду, тем меньше времени остается на то, чтобы за ним образовался след. Трение имеет тенденцию быть самым высоким у звукового барьера, где $\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}\left.\right|_{u=1}=\ln {{\text{ς'}}t \over s_{\bullet }}$.

Гравитационные встречи и релаксация

Звезды в звездной системе будут влиять на траектории друг друга из-за сильных и слабых гравитационных столкновений. Встреча двух звезд считается сильной/слабой, если их взаимная потенциальная энергия при ближайшем прохождении сравнима/незначительна с их начальной кинетической энергией. Сильные столкновения редки, и обычно они считаются важными только в плотных звездных системах, например, пролетающая звезда может быть сбита двойной звездой в ядре шарового скопления. Это означает, что две звезды должны находиться на расстоянии друг от друга. $$s_{*}={GM_{\odot }+GM_{\odot } \over V^{2}/2}={2 \over 1.5}{GM_{\odot } \over {\text{ς}}^{2}}={3.29R \over N-1},$$где мы использовали теорему Вириала, «взаимная потенциальная энергия уравновешивает в среднем удвоенную кинетическую энергию», т. е. «парная потенциальная энергия звезды уравновешивается удвоенной кинетической энергией, связанной со скоростью звука в трех направлениях», $$1\sim Q^{\text{virial}}\equiv {\overbrace {2K} ^{(NM_{\odot })V^{2}} \over |W|}={NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2} \over {N(N-1) \over 2}{GM_{\odot }^{2} \over R_{pair}}},$$где фактор $N(N-1)/2$ — количество рукопожатий между парой звезд без двойного счета, среднее расстояние между парами $R_{\text{pair}}={\pi ^{2} \over 24}R\approx 0.411234R$ составляет всего около 40\% радиуса однородной сферы.Обратите также внимание на сходство $Q^{\text{virial}}\leftarrow \rightarrow {\sqrt {\ln \Lambda }}.$

Средний свободный путь

Средний свободный путь сильных столкновений в типичном $(N-1)=4.19nR^{3}\gg 100$ звездная система тогда $$l_{\text{strong}}={1 \over (\pi s_{*}^{2})n}\approx {(N-1) \over 8.117}R\gg R,$$то есть, это занимает около $0.123N$ радиус пересечения типичной звезды, попадающей в поперечное сечение $\pi s_{*}^{2}$ полностью сойти со своего пути. Следовательно, среднее свободное время сильного столкновения намного больше, чем время пересечения. $R/V$.

Слабые встречи

Слабые столкновения оказывают более глубокое влияние на эволюцию звездной системы на протяжении многих проходов. Эффекты гравитационных столкновений можно изучать с помощью концепции времени релаксации . Простым примером, иллюстрирующим релаксацию, является релаксация двух тел, когда орбита звезды изменяется из-за гравитационного взаимодействия с другой звездой.

Первоначально исследуемая звезда движется по орбите с начальной скоростью $\mathbf {v}$, то есть перпендикулярно прицельному параметру , расстоянию наибольшего сближения со звездой поля, гравитационное поле которой будет влиять на исходную орбиту. Используя законы Ньютона, изменение скорости рассматриваемой звезды, $\delta \mathbf {v}$, примерно равно ускорению при прицельном параметре, умноженному на длительность ускорения.

Время релаксации можно рассматривать как время, необходимое для $\delta \mathbf {v}$ равняться $\mathbf {v}$, или время, необходимое для того, чтобы небольшие отклонения скорости сравнялись с начальной скоростью звезды. Число пересечений «половины диаметра», позволяющее средней звезде релаксировать в звездной системе $N$ объекты примерно $${t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\backsimeq {\frac {0.123(N-1)}{\ln(N-1)}}\gg 1$$из более строгого расчета, чем приведенные выше оценки среднего свободного времени для сильного отклонения.

Ответ имеет смысл, поскольку не существует релаксации для одного тела или системы двух тел. Лучшее приближение соотношения временных масштабов: $\left.{\frac {N'}{\ln {\sqrt {1+N'^{2}}}}}\right|_{N'=0.123(N-2)}$, следовательно, время релаксации для 3 тел, 4 тел, 5 тел, 7 тел, 10 тел, ..., 42 тел, 72 тел, 140 тел, 210 тел, 550 тел около 16, 8, 6, 4, 3, ..., 3, 4, 6, 8, 16 пересечений. Для изолированной двойной системы релаксация отсутствует, а релаксация самая быстрая для системы из 16 тел; для того, чтобы орбиты разлетелись друг о друга, требуется около 2,5 пересечений. Система с $N\sim 10^{2}-10^{10}$ имеют гораздо более плавный потенциал, обычно требуется $\sim \ln N'\approx (2-20)$ слабые столкновения для создания сильного отклонения и значительного изменения орбитальной энергии.

Связь между трением и релаксацией

Очевидно, что динамическое трение черной дыры намного быстрее времени релаксации примерно в раз. $M_{\odot }/M_{\bullet }$, но эти два очень похожи для скопления черных дыр, $$N^{\text{fric}}={t_{\text{fric}} \over t_{\text{ς}}}\rightarrow {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\sim {(N-1) \over 10-100},~{\text{when}}~{M_{\bullet }\rightarrow m\leftarrow M_{\odot }}.$$

Для звездного скопления или скопления галактик, скажем, $N=10^{3},~R=\mathrm {1pc-10^{5}pc} ,~V=\mathrm {1km/s-10^{3}km/s}$, у нас есть $t_{\text{relax}}\sim 100t_{\text{ς}}\approx 100\mathrm {Myr} -10\mathrm {Gyr}$. Следовательно, встречи членов этих звездных или галактических скоплений значительны в течение типичного времени жизни в 10 миллиардов лет.

С другой стороны, типичная галактика, скажем, $N=10^{6}-10^{11}$ звезды, будет время пересечения $t_{\text{ς}}\sim {1\mathrm {kpc} -100\mathrm {kpc} \over 1\mathrm {km/s} -100\mathrm {km/s} }\sim 100\mathrm {Myr}$ и время их релаксации намного превышает возраст Вселенной. Это оправдывает моделирование потенциалов галактик с помощью математически гладких функций, игнорируя встречи двух тел на протяжении всей жизни типичных галактик. А внутри такой типичной галактики динамическое трение и аккреция на звездных черных дырах в течение 10 миллиардов лет Хаббла изменяют скорость и массу черной дыры лишь на незначительную долю. $$\Delta \sim {M_{\bullet } \over 0.1NM_{\odot }}{t \over t_{\text{ς}}}\leq {M_{\bullet } \over 0.1\%NM_{\odot }}$$

если черная дыра составляет менее 0,1% от общей массы галактики $NM_{\odot }\sim 10^{6-11}M_{\odot }$. Особенно когда $M_{\bullet }\sim M_{\odot }$, мы видим, что типичная звезда никогда не сталкивается с ней и, следовательно, остается на своей орбите в гладком галактическом потенциале.

Динамическое трение или время релаксации определяет бесстолкновительные и столкновительные системы частиц. Динамика на временных масштабах, намного меньших, чем время релаксации, фактически бесстолкновительна, поскольку типичная звезда будет отклоняться от своего первоначального размера орбиты на крошечную долю. $t/t_{\text{relax}}\ll 1$. Их также идентифицируют как системы, в которых соответствующие звезды взаимодействуют с плавным гравитационным потенциалом, а не с суммой потенциалов точечных масс. Накопленные эффекты двухчастичной релаксации в галактике могут привести к так называемой сегрегации масс , когда более массивные звезды собираются вблизи центра скоплений, а менее массивные оттесняются к внешним частям скопления.

Краткое изложение уравнения непрерывности для сферической коровы. в столкновительных и бесстолкновительных процессах

Изучив детали довольно сложных взаимодействий частиц в гравитационной системе, всегда полезно уменьшить масштаб и извлечь какую-то общую тему по доступной цене строгости, поэтому продолжайте с более легкой нагрузкой.

Первым важным понятием является «гравитационное балансирующее движение» вблизи возмутителя и для фона в целом. $${\text{Perturber Virial}}\approx {GM_{\bullet } \over s_{\bullet }}\approx V_{\text{cir}}^{2}\approx \langle V\rangle ^{2}\approx {\overline {\langle V^{2}\rangle }}\approx \sigma ^{2}\approx \left({R \over t_{\text{ς}}}\right)^{2}\approx c_{\text{ς}}^{2}\approx {G(Nm) \over R}\approx {\text{Background Virial}},$$ последовательно опуская все факторы единства $4\pi$, $\pi$, $\ln {\text{Λ}}$ и т. д. для ясности, аппроксимируя объединенную массу $M_{\bullet }+m\approx M_{\bullet }$ и неоднозначность того , является ли геометрия системы тонким/толстым газом/звездным диском или (не)однородной звездной/темной сферой с границей или без нее, а также о тонких различиях между кинетическими энергиями и локальной круговой скоростью вращения. $V_{\text{cir}}$, радиальная скорость падения $\langle V\rangle$, глобально изотропное или анизотропное случайное движение $\sigma$ в одном или трех направлениях, или (не)однородная изотропная скорость звука $c_{\text{ς}}$ чтобы подчеркнуть логику порядка величины шкалы времени трения.

Во-вторых, мы можем очень кратко резюмировать различные процессы, происходящие на данный момент со столкновительными и бесстолкновительными газом/звездой или темной материей с помощью сферической коровы стиле уравнения непрерывности в для любой общей величины Q системы: $${dQ \over dt}\approx {\pm Q \over ({l \over c_{\text{ς}}})},~{\text{Q being mass M, energy E, momentum (M V), Phase density f, size R, density}}{Nm \over {4\pi \over 3}R^{3}}...,$$ где $\pm$ знак обычно отрицательный, за исключением (аккрецирующей) массы M и среднего свободного пробега. $l=c_{\text{ς}}t_{\text{fric}}$ или время трения $t_{\text{fric}}$ может быть вызвано прямой молекулярной вязкостью в результате физического столкновения Поперечное сечение или гравитационным рассеянием (изгиб/фокусировка/ Выстрел из рогатки ) частиц; как правило, область влияния представляет собой наибольший из конкурирующих процессов аккреции Бонди , приливного разрушения и конуса потерь захвата , $$s^{2}\approx \max \left[{\text{Bondi radius}}~s_{\bullet },{\text{Tidal radius}}~s_{\text{Hill}},{\text{physical size}}~s_{\text{Loss cone}}\right]^{2}.$$

Например, в случае, когда Q — масса возмутителя $Q=M_{\bullet }$, то мы можем оценить время динамического трения через скорость аккреции (газ/звезда) $${\begin{aligned}{\dot {M}}_{\bullet }=&{M_{\bullet } \over t_{\text{fric}}}\approx \int _{0}^{s^{2}}d({\text{area}})~({\text{background mean flux}})\approx s^{2}(\rho c_{\text{ς}})\\\approx &{\frac {{\text{Perturber influenced cross section}}~(s^{2})}{{\text{background system cross section}}~(R^{2})}}\times {\frac {{\text{background mass}}~(Nm)}{{\text{crossing time}}~t_{\text{ς}}\approx {R \over c_{\text{ς}}}\approx {1 \over {\sqrt {G(Nm) \over R^{3}}}\sim {\sqrt {G\rho }}\sim \kappa }}}\\\approx &{GM_{\bullet } \over Gt_{\text{ς}}}{GM_{\bullet } \over G(Nm)}\approx (\rho c_{\text{ς}})\left({GM_{\bullet } \over c_{\text{ς}}^{2}}\right)^{2},~~{\text{if consider only gravitationally focusing,}}\\\approx &{M_{\bullet } \over Nt_{\text{ς}}},~~{\text{if for a light perturber}}M_{\bullet }\rightarrow m=M_{\odot }\\\rightarrow &0,~~{\text{if practically collisionless}}~~N\rightarrow \infty ,\end{aligned}}$$ где мы применили отношения движение-балансировка-гравитация.

В пределе возмущающим фактором является всего лишь одна из N фоновых частиц, $M_{\bullet }\rightarrow m$, это время трения отождествляется с (гравитационным) временем релаксации . И снова все кулоновские логарифмы и т. д. подавляются без изменения оценок из этих качественных уравнений.

Что касается остальной звездной динамики, мы будем последовательно работать над точными расчетами с помощью, в первую очередь, рабочих примеров , пренебрегая гравитационным трением и релаксацией возмущающего фактора, работая в пределе $N\rightarrow \infty$ как приблизительно верно для большинства галактик во временной шкале Хаббла 14 млрд лет, хотя это иногда нарушается для некоторых скоплений звезд или скоплений галактик в скоплении.

Здесь показано краткое одностраничное изложение некоторых основных уравнений звездной динамики и физики аккреционных дисков , где можно попытаться быть более строгим к приведенным выше качественным уравнениям.

Звездная динамика Ключевые понятия и уравнения

Связь со статистической механикой и физикой плазмы.

Статистическая природа звездной динамики возникла в результате применения кинетической теории газов к звездным системам такими физиками, как Джеймс Джинс , в начале 20 века. Уравнения Джинса , которые описывают эволюцию во времени системы звезд в гравитационном поле, аналогичны уравнениям Эйлера для идеальной жидкости и были выведены из бесстолкновительного уравнения Больцмана . Первоначально он был разработан Людвигом Больцманом для описания неравновесного поведения термодинамической системы. Подобно статистической механике, звездная динамика использует функции распределения, которые вероятностным образом инкапсулируют информацию о звездной системе. Функция распределения одной частицы в фазовом пространстве, $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)$, определяется таким образом, что $$f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {v} =dN$$где $dN/N$ представляет вероятность найти данную звезду с положением $\mathbf {x}$ вокруг дифференциального объема $d\mathbf {x}$ и скорость ${\text{v}}$ вокруг объема пространства с дифференциальной скоростью $d\mathbf {v}$. Функция распределения нормируется (иногда) так, что ее интегрирование по всем положениям и скоростям будет равно N — общему числу тел системы. В случае столкновительных систем теорема Лиувилля применяется для изучения микросостояния звездной системы, а также широко используется для изучения различных статистических ансамблей статистической механики.

Условные обозначения и обозначения в случае теплового распределения

В большей части литературы по звездной динамике удобно принять соглашение, согласно которому масса частицы равна единице в единицах солнечной массы. $M_{\odot }$, следовательно, импульс и скорость частицы одинаковы, т. е. $$\mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {v} ,~m=1,~N_{\text{total}}=M_{\text{total}},$$

$${dM \over dx^{3}dv^{3}}=f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)=f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\equiv {dN \over dx^{3}dp^{3}}$$

Например, распределение тепловой скорости молекул воздуха (обычно в 15 раз превышающей массу протона на молекулу) в помещении с постоянной температурой. $T_{0}\sim \mathrm {300K}$ будет иметь распределение Максвелла $$f^{\text{Max}}(x,y,z,mV_{x},mV_{y},mV_{z})={1 \over (2\pi \hbar )^{3}}{1 \over \exp \left({E(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})-\mu \over kT_{0}}\right)+1}$$$$f^{\text{Max}}\sim {1 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}e^{\mu \over kT_{0}}e^{-E \over m\sigma _{1}^{2}},$$

где энергия единицы массы $$E/m=\Phi (x,y,z)+(V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2})/2,$$ где $\Phi (x,y,z)\equiv g_{0}z=0$

и ${\textstyle \sigma _{1}={\sqrt {kT_{0}/m}}\sim \mathrm {0.3km/s} }$ — ширина распределения Максвелла скорости, одинаковая в каждом направлении и повсюду в помещении, и константа нормировки $e^{\mu \over kT_{0}}$ (предположим, что химический потенциал ${\textstyle \mu \sim (m\sigma _{1}^{2})\ln \left[n_{0}\left({{\sqrt {2\pi }}\hbar \over m\sigma _{1}}\right)^{3}\right]\ll 0}$ такое, что распределение Ферми-Дирака сводится к распределению скоростей Максвелла) фиксируется постоянной плотностью газа $n_{0}=n(x,y,0)$ на уровне пола, где $$n(x,y,0)=\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{x}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{y}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{z}f(x,y,0,mV_{x},mV_{y},mV_{z})$$$$n\approx {(2\pi )^{3/2}(m\sigma _{1})^{3} \over (2\pi \hbar )^{3}}e^{\mu \over m\sigma _{1}^{2}}.$$

CBE

В физике плазмы бесстолкновительное уравнение Больцмана называется уравнением Власова и используется для изучения временной эволюции функции распределения плазмы.

Уравнение Больцмана часто записывают в более общем виде с помощью оператора Лиувилля. ${\mathcal {L}}$ как $${\mathcal {L}}f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )={f_{\text{fit}}^{\text{Max}}-f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} ) \over t_{\text{relax}}},$$$${\mathcal {L}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.$$где $\mathbf {F} \equiv \mathbf {\dot {p}} =-m\nabla \Phi$ это сила гравитации и $f_{\text{fit}}^{\text{Max}}$ - это распределение Максвелла (равнораспределение) (чтобы соответствовать той же плотности, той же средней и среднеквадратичной скорости, что и $f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )$). Уравнение означает, что негауссовость будет затухать в масштабе времени (релаксации) $t_{\text{relax}}$, и система в конечном итоге перейдет к распределению Максвелла (равнораспределенному).

В то время как Джинс применил бесстолкновительное уравнение Больцмана вместе с уравнением Пуассона к системе звезд, взаимодействующих посредством дальнодействующей силы гравитации, Анатолий Власов применил уравнение Больцмана с уравнениями Максвелла к системе частиц, взаимодействующих посредством кулоновской силы . Оба подхода отделяются от кинетической теории газов введением дальнодействующих сил для изучения долгосрочной эволюции системы многих частиц. Помимо уравнения Власова, концепция затухания Ландау в плазме была применена к гравитационным системам Дональдом Линден-Беллом для описания эффектов затухания в сферических звездных системах.

Приятным свойством f(t,x,v) является то, что из его моментов могут быть образованы многие другие динамические величины , например полная масса, локальная плотность, давление и средняя скорость. Применяя бесстолкновительное уравнение Больцмана , эти моменты затем связываются различными формами уравнений непрерывности, наиболее известными из которых являются уравнения Джинса и теорема Вириала .

Вероятностно-взвешенные моменты и гидростатическое равновесие

Джинс вычислил взвешенную скорость уравнения Больцмана после интегрирования по пространству скоростей. $${1 \over \rho _{p}}\int \!\left\{\mathbf {v} _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}-\langle {\mathbf {v} }\rangle _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}\right\}d^{3}\mathbf {v} =0,$$ и получить уравнения импульса (Джинса). из $^{p}$население (например, газ, звезды, темная материя):

$${\begin{aligned}\overbrace {\left({\partial \over \partial t}+\sum _{j=1}^{3}\langle {v_{j}^{p}}\rangle {\partial \over \partial x_{j}}\right)\langle {v_{i}^{p}}\rangle } ^{{\dot {\langle {v}\rangle }}_{i}^{p}}&\underbrace {=} _{EoM}\overbrace {-\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}} ^{g_{i}\sim O(-GM/R^{2})}~~\underbrace {-} _{\text{balance}}^{\text{pressure}}~~\sum _{j=1}^{3}{\partial \over \rho ^{p}\partial x_{j}}\overbrace {[\underbrace {\rho ^{p}(t,\mathbf {x} )} _{\int _{\infty }\!\!\!\!m_{p}f_{p}d^{3}\mathbf {v} }\underbrace {\sigma _{ji}^{p}(t,\mathbf {x} )} _{O(c_{s}^{2})}]} ^{\int \limits _{\infty }\!\!d\mathbf {v} ^{3}(\mathbf {v} _{j}-\langle {v}\rangle _{j}^{p})(\mathbf {v} _{i}-\langle {v}\rangle _{i}^{p})m_{p}f_{p}}-{\underbrace {\langle {v_{i}^{p}}\rangle \overbrace {[{\dot {m}}_{p}/m_{p}]} ^{1/t|_{{\text{visc}}~m_{p}=M_{\text{gas}}}^{\text{fric}}}} _{\text{snow.plough}}},\\0&=-{\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}}-{\partial (n\sigma ^{2}) \over n\partial x_{i}},~~{\text{hydrostatic isotropic velocity, no flow and friction }}.\end{aligned}}$$

Общая версия уравнения Джинса, включающая моменты скорости (3 x 3), громоздка. Это станет полезным или разрешимым только в том случае, если мы сможем отказаться от некоторых из этих моментов, особенно от недиагональных перекрестных членов для систем с высокой симметрией, а также повсюду исключить чистое вращение или чистую скорость притока.

Изотропную версию еще называют Уравнение гидростатического равновесия , в котором уравновешивается градиент давления с гравитацией; изотропная версия работает и для осесимметричных дисков, после замены производной dr на вертикальную координату dz. Это означает, что мы могли бы измерить гравитацию (темной материи), наблюдая градиенты дисперсии скоростей и плотности числа звезд.

Приложения и примеры

Звездная динамика в основном используется для изучения распределения масс внутри звездных систем и галактик. Ранние примеры применения звездной динамики к скоплениям включают статью Альберта Эйнштейна 1921 года, в которой теорема вириала применялась к сферическим звездным скоплениям, и статью Фрица Цвики 1933 года, в которой теорема вириала применялась конкретно к скоплению Комы , которая была одним из первоначальных предвестников этой идеи. темной материи во Вселенной. Уравнения Джинса использовались для понимания различных данных наблюдений за движением звезд в галактике Млечный Путь. Например, Ян Оорт использовал уравнения Джинса для определения средней плотности материи в окрестностях Солнца, тогда как концепция асимметричного дрейфа возникла в результате изучения уравнений Джинса в цилиндрических координатах.

Звездная динамика также дает представление о структуре формирования и эволюции галактик. Динамические модели и наблюдения используются для изучения трехосной структуры эллиптических галактик и позволяют предположить, что известные спиральные галактики образуются в результате слияния галактик. Звездные динамические модели также используются для изучения эволюции активных ядер галактик и их черных дыр, а также для оценки массового распределения темной материи в галактиках.

Обратите внимание на несколько заостренный конец равного потенциала в меридиональной плоскости (R,z) этой модели R0=5z0=1.

Единый потенциал толстого диска

Рассмотрим сжатый потенциал в цилиндрических координатах $${\begin{aligned}\Phi (R,z)&={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!Q-\sinh ^{-1}\!\!Q_{+}-\sinh ^{-1}\!\!Q_{-}\right]\\&={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {({\sqrt {1+Q^{2}}}+Q)^{2} \over \left[{\sqrt {1+Q_{+}^{2}}}+Q_{+}\right]\left[{\sqrt {1+Q_{-}^{2}}}+Q_{-}\right]},\\Q_{\pm }&\equiv {R_{0}+\left|~|z|\pm z_{0}~\right| \over R},\\Q&\equiv {R_{0}+[0,|z|-z_{0}]_{\max } \over R},\\\end{aligned}}$$где $z_{0},R_{0}$ являются (положительными) вертикальными и радиальными масштабами длины. Несмотря на ее сложность, мы легко можем увидеть некоторые ограничивающие свойства модели.

Сначала мы видим, что общая масса системы равна $M_{0}$ потому что $$\Phi (R,z)\rightarrow {GM_{0} \over 2z_{0}}(2Q_{-}-Q_{-}-Q_{+})=-{GM_{0} \over R},$$когда мы принимаем предел больших радиусов $R\rightarrow \infty ,~|z|\geq z_{0},$, так что $Q=Q_{-}=Q_{+}-{2z_{0} \over R}={|z|+(R_{0}-z_{0}) \over R}\rightarrow 0.$

Мы также можем показать, что некоторые частные случаи этого единого потенциала становятся потенциалом тонкого как бритва диска Кузьмина, потенциалом Точечной массы. $M_{0}$и равномерного распределения массы «Игла»: $$\Phi _{KM}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(|z|+R_{0})^{2}}}},~~z_{0}=0,$$$$\Phi _{PT}(R,z)=-{GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+z^{2}}}},~~z_{0}=R_{0}=0,$$$$\Phi _{UN}^{R_{0}=0}(R,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\left[2\sinh ^{-1}\!\!{(0,|z|-z_{0})_{\max } \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{z_{0}+|z| \over R}-\sinh ^{-1}\!\!{\left|~z_{0}-|z|~\right| \over R}\right].$$

Проработанный пример векторного поля силы тяжести в толстом диске.

Сначала рассмотрим вертикальную гравитацию на границе: $$g_{z}(R,z)=-\partial _{z}\Phi (R,z)=-{GM_{0}z \over 2z_{0}^{2}}\left[{1 \over {\sqrt {R_{0}^{2}+R^{2}}}}-{1 \over {\sqrt {(R_{0}+2z_{0})^{2}+R^{2}}}}\right],~~z=\pm z_{0},$$

Обратите внимание, что и потенциал, и вертикальная гравитация непрерывны по границам, следовательно, на границах нет бритвенного диска.Благодаря тому, что на границе, $\partial _{|z|}(2Q)-\partial _{|z|}Q_{-}=\partial _{|z|}\left(Q_{+}-{\frac {2z_{0}}{R}}\right)={1 \over R}$ является непрерывным. Применим теорему Гаусса, проинтегрировав вертикальную силу по всей верхней и нижней границам диска, получим $$2\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)|g_{z}(R,z_{0})|=4\pi GM_{0},$$подтверждая это $M_{0}$ принимает значение общей массы диска.

Вертикальная сила тяжести падает с $$-g_{z}\rightarrow GM_{0}z(1+R_{0}/z_{0})/R^{3}$$ на больших радиусах, что усиливается по сравнению с вертикальной гравитацией точечной массы $GM_{0}z/R^{3}$ из-за самогравитации толстого диска.

Плотность толстого диска по уравнению Пуассона

Подставим в цилиндрическое уравнение Пуассона. $$\rho (R,z)={\partial _{z}\partial _{z}\Phi \over 4\pi G}+{\partial _{R}(R\partial _{R}\Phi ) \over 4\pi GR}={M_{0}R_{0}/z_{0} \over 4\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}H(z_{0}-|z|),$$который падает с радиусом и равен нулю за пределами $|z|>z_{0}$ и однороден по направлению z внутри границы.

Обратите внимание на вертикально однородный контур плотности толстого диска в этой модели R0=5z0=1.

Поверхностная плотность и масса толстого диска

Интеграция по всему толстому диску одинаковой толщины $2z_{0}$, находим поверхностную плотность и общую массу как $$\Sigma (R)=(2z_{0})\rho (R,0),~~M_{0}=\int _{0}^{\infty }(2\pi RdR)\Sigma (R).$$

Это подтверждает отсутствие сверхтонких дисков на границах. В пределе, $z_{0}\rightarrow 0$, этот потенциал толстого диска сводится к потенциалу очень тонкого диска Кузмина, для которого мы можем проверить ${|g_{z}(R,0+)| \over 2\pi G}\rightarrow \Sigma (R)\rightarrow {M_{0}R_{0} \over 2\pi (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}$.

Частоты колебаний в толстом диске

Чтобы найти частоты вертикальных и радиальных колебаний, мы выполняем разложение потенциала Тейлора вокруг средней плоскости. $$\Phi (R_{1},z)\approx \Phi (R,0)+{\omega ^{2}R}(R_{1}-R)+{\kappa ^{2} \over 2}(R_{1}-R)^{2}+{\nu ^{2} \over 2}z^{2}$$и находим круговую скорость $V_{\text{cir}}$ а вертикальные и радиальные частоты эпицикла будут определяться выражением $$(R\omega )^{2}\equiv V_{\text{cir}}^{2}=\left[{(1+R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2}}}}-{(R_{0}/z_{0})GM_{0} \over {\sqrt {R^{2}+R_{0}^{2}}}}\right],$$$$\nu ^{2}={GM_{0}(R_{0}/z_{0}+1) \over (R^{2}+(R_{0}+z_{0})^{2})^{3/2}},$$$$\kappa ^{2}+\nu ^{2}-2\omega ^{2}=4\pi G\rho (R,0)={GM_{0}R_{0}/z_{0} \over (R^{2}+R_{0}^{2})^{3/2}}.$$Интересно кривая вращения $V_{\text{cir}}$ вблизи центра похож на твердое тело $R\ll R_{0}$, и находится ли Кеплер далеко.

На больших радиусах удовлетворяют три частоты ${\textstyle \left.\left[\omega ,\nu ,\kappa ,{\sqrt {4\pi G\rho }}\right]\right|_{R\to \infty }\to [1,1+R_{0}/z_{0},1,R_{0}/z_{0}]^{1 \over 2}{\sqrt {GM_{0} \over R^{3}}}}$.Например, в случае, когда $R\to \infty$ и $R_{0}/z_{0}=3$, колебания $\omega :\nu :\kappa =1:2:1$ образует резонанс.

В случае, если $R_{0}=0$, плотность равна нулю везде, кроме однородной иглы между $|z|\leq z_{0}$ вдоль оси z.

Если нам еще потребуется $z_{0}=0$, то мы восстанавливаем известное свойство замкнутых эллиптических орбит в потенциале точечной массы: $$\omega :\nu :\kappa =1:1:1.$$

Проработанный пример нейтрино в галактиках

Например, функция распределения нерелятивистских нейтрино массы m в фазовом пространстве нигде не превысит максимального значения, установленного формулой $$f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)={dN \over dx^{3}dv^{3}}\leq {6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}},~~~$$где статистика Ферми-Дирака говорит, что в объеме содержится не более 6 разновидностей нейтрино. $dx^{3}$ и скоростной объем $$dv^{3}=(dp/m)^{3}=[(2\pi \hbar /dx)/m]^{3},$$.

Аппроксимируем распределение максимальное, т.е. $$f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z})={6 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}q^{\alpha \over 2},~~0\leq q(E)={\Phi _{\max }-E \over V_{0}^{2}/2}\leq 1,$$где $0\geq \Phi _{\max }\geq E=\Phi (x,y,z)+{V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2} \over 2}\geq \Phi _{\min }\equiv \Phi _{\max }-{V_{0}^{2} \over 2}$ такой, что $E_{\min },E_{\max }$соответственно — потенциальная энергия в центре или на краю гравитационно-связанной системы. Соответствующая массовая плотность нейтрино, если предположить, что она сферическая, будет равна $$\rho (r)=n(x,y,z)m=\int dV_{x}\int dV_{y}\int dV_{z}~m~f(x,y,z,V_{x},V_{y},V_{z}),$$что сводится к $$\rho (r)={C(\Phi _{\max }-\Phi (r))^{3+\alpha \over 2} \over (\Phi _{\max }-\Phi _{\min })^{\alpha \over 2}},~~~C={6m\pi 2^{5/2}B\left(1+{\alpha \over 2},{3 \over 2}\right) \over (2\pi \hbar /m)^{3}}$$

Возьмем простой случай $\alpha \to 0$, и оценим плотность в центре $r=0$ со скоростью убегания $V_{0}$, у нас есть $$\rho (r)\leq \rho (0)\rightarrow {m^{4}V_{0}^{3} \over \pi ^{2}\hbar ^{3}}\approx m_{\mathrm {eV} }^{4}V_{200}^{3}\times {\text{[Cosmic Critical Density]}}.$$

Очевидно, нейтрино в масштабе эВ с $m_{eV}\sim 0.1-1$ слишком легкий, чтобы компенсировать избыточную плотность в 100–10 000 галактик со скоростью убегания. $V_{200}\equiv V/(\mathrm {200km/s} )\sim 0.1-3.4$, пока нейтрино в кластерах с $V\sim \mathrm {2000km/s}$ мог бы помириться $100-1000$ раз плотность космического фона.

Кстати, замерзшие космические нейтрино в вашей комнате имеют нетепловой случайный импульс. ${\textstyle \sim {(\mathrm {2.7K} )k \over c}\sim (1~\mathrm {eV} /c^{2})(\mathrm {70km/s} )}$, не подчиняются распределению Максвелла и не находятся в тепловом равновесии с молекулами воздуха из-за чрезвычайно низкого сечения нейтрино-барионного взаимодействия.

Обзор гармонических движений в однородном сферном потенциале

Рассмотрим построение стационарной модели вышеупомянутой однородной сферы плотности. $\rho _{0}$ и потенциал $\Phi (r)$$${\begin{aligned}\rho (|\mathbf {r} |)&=\rho _{0}\equiv M_{\odot }n_{0},~~|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r_{0}^{2},~~\Omega \equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}\equiv {V_{0} \over r_{0}}\\\Phi (|\mathbf {r} |)&={\Omega ^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3V_{0}^{2} \over 2}={V_{e}(r)^{2} \over 2}-\Phi (r_{0}),\end{aligned}}$$где $V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}={\sqrt {2\Phi (r_{0})-2\Phi (r)}}$ это скорость, чтобы убежать к краю $r_{0}$.

Сначала кратко о движении «внутри» однородного потенциала сферы.Внутри этой области ядра с постоянной плотностью отдельные звезды совершают резонансные гармонические колебания угловой частоты. $\Omega$ с $${\begin{aligned}{\ddot {x}}=&-\Omega ^{2}x=-\partial _{x}\Phi ,\\{\ddot {y}}=&-\Omega ^{2}y,~~~{{\dot {y}}(t)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(t)^{2} \over 2}\equiv I_{y}(y,{\dot {y}})={{\dot {y}}(0)^{2} \over 2}+{\Omega ^{2}y(0)^{2} \over 2}\leq {(\Omega r_{0})^{2} \over 2}\\{\ddot {z}}=&-\Omega ^{2}z,\rightarrow {\dot {z}}(t)={\dot {z}}(0)\cos(\Omega t)+\Omega z(0)\sin(\Omega t).\end{aligned}}$$Грубо говоря, наша цель — поместить звезды на взвешенное распределение орбит с различными энергиями. $f\left(I_{x}(x,{\dot {x}}),I_{y}(y,{\dot {y}}),I_{z}(z,{\dot {z}}\right)=DF(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )$, то есть плотность фазового пространства или функция распределения, такая, что их общая плотность звездного числа воспроизводит постоянное ядро, следовательно, их коллективный «стационарный» потенциал. Как только это достигается, мы называем систему самосогласованным равновесием.

Пример теоремы Джинса и CBE о однородном сферном потенциале

Как правило, для независимой от времени системы теорема Джинса предсказывает, что $f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )$ является неявной функцией положения и скорости через функциональную зависимость от «констант движения».

Для однородной сферы решение уравнения Больцмана, записанное в сферических координатах $(r,\theta ,\phi )$ и его компоненты скорости $(V_{r},V_{\theta },V_{\phi })$ является $$f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}{\sqrt {V_{0}^{2} \over 2Q}},$$где $C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}$ – константа нормализации, имеющая размерность (массовой) плотности. И мы определяем (положительное энтальпийное измерение ${\text{km}}^{2}/{\text{s}}^{2}$) Количество $$Q[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]\equiv \left[0,\left(-V_{0}^{2}-E\right)+{J^{2} \over 2r_{0}^{2}}\right]_{\max }\left[{J_{z} \over |J_{z}|},0\right]_{\max }.$$Звезды, вращающиеся явно против часовой стрелки, с $J_{z}\leq 0,~~Q=0$ исключены.

В сферических координатах легко увидеть, что

$J^{2}=r^{2}V_{t}^{2}=r^{2}(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}),$

$J_{z}=V_{\varphi }r\sin \theta ,$

$E={V_{r}^{2}+V_{t}^{2} \over 2}+\Phi (r),~V_{t}\equiv {\sqrt {V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}}}$

Подставим потенциал и эти определения орбитальной энергии E и углового момента J и его z-компоненты Jz вдоль каждой звездной орбиты, получим $$2Q={\text{Heaviside}}\left({V_{\varphi } \over |V_{\varphi }|}\right)\times \left[V_{0}^{2}\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right)-V_{r}^{2}-\left(1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}\right){\left(V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\right)},0\right]_{\max },$$ что подразумевает $|V_{r}|\leq V_{e}(r)$, и $|V_{\theta }|,V_{\varphi }$ между нулем и $V_{0}$.

Чтобы убедиться в вышесказанном $E,~J_{z}$ будучи константами движения в нашем сферическом потенциале, мы отмечаем $$dE/dt={\partial E \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial E \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } ){\partial E \over \partial \mathbf {v} }$$

$$dE/dt={\partial \Phi \over \partial t}+\mathbf {v} {\partial \Phi \over \partial \mathbf {x} }+(\mathbf {-\nabla \Phi } )\mathbf {v} ={\partial \Phi \over \partial t}=0$$ для любого потенциала «стационарного состояния».

$$dJ_{z}/dt={\partial J_{z} \over \partial t}+{\partial J_{z} \over \partial \mathbf {x} }\cdot \mathbf {v} -(\mathbf {\nabla \Phi } )\cdot {\partial J_{z} \over \partial \mathbf {v} },$$ что сводится к $dJ_{z}/dt=0+[(V_{y})V_{x}+(-V_{x})V_{y}]-\left[(-y){x \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}+(x){y \over R}{\partial \Phi (R,z) \over \partial R}\right]=0$ вокруг оси z любого осесимметричного потенциала, где ${\textstyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

Аналогично, компоненты углового момента x и y сохраняются и для сферического потенциала. Следовательно $dJ/dt=0$.

Итак, для любого независимого от времени сферического потенциала (включая нашу модель однородной сферы) орбитальная энергия E, угловой момент J и его z-компонента Jz вдоль каждой звездной орбиты удовлетворяют условиям $$dE[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=dJ_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ]/dt=0.$$

Следовательно, используя правило цепочки, мы имеем $${d \over dt}Q(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])={\partial Q \over \partial E}{dE \over dt}+{\partial Q \over \partial J_{z}}{dJ_{z} \over dt}+{\partial Q \over \partial J}{dJ \over dt}=0,$$то есть, ${\textstyle {d \over dt}f=f'(Q){dQ[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ] \over dt}=0}$, так что CBE удовлетворяется, т. е. наше $$f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )=f(E[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ],J_{z}[\mathbf {x} ,\mathbf {v} ])$$является решением бесстолкновительного уравнения Больцмана для нашего статического сферического потенциала.

Проработанный пример моментов функций распределения в однородном сферическом кластере.

Мы можем найти различные моменты приведенной выше функции распределения, переформатированной с помощью трех функций Хевисайда: $$f(|\mathbf {r} |,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })={C_{0} \over V_{0}^{3}}\left.{{\text{H}}(1-x) \over \left(1-x^{2}\right)^{1 \over 2}}\right|_{x\equiv {|\mathbf {r} | \over r_{0}}}{{\text{H}}(V_{\varphi }){\text{H}}(1-q) \over (1-q)^{1 \over 2}},~~q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{e}(|\mathbf {r} |)^{2}}+{V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}},$$ как только мы введем выражение для более раннего потенциала $\Phi (r)$ внутри $r\leq r_{0}$, а еще лучше скорость "убегания из г на край" $r_{0}$ однородной сферы $V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}.$ Очевидно, что фактор ${V_{e}(|\mathbf {r} |) \over {\sqrt {2Q}}}={\sqrt {\max[0,{1 \over 1-q}]}}$ в ДФ (функция распределения) корректно определена только в том случае, если $Q\geq 0\rightarrow q\leq 1$, что подразумевает узкий диапазон радиуса $0\leq |\mathbf {r} |<r_{0}$ и исключает частицы с высокой скоростью, например, $V_{t}>V_{0}>V_{e}(r)$, от функции распределения (DF, т. е. фазовой пространственной плотности).

Фактически, позитивность вырезает ( $V_{\varphi }\geq 0$) левая половина эллипсоида в $[V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]$ пространство скоростей («эллипсоид скоростей»), $$q(\mathbf {r} ,\mathbf {V} )\equiv {V_{r}^{2} \over V_{0}^{2}(1-r^{2}/r_{0}^{2})}+\left({V_{\theta }^{2} \over V_{0}^{2}}+{V_{\varphi }^{2} \over V_{0}^{2}}\right)\equiv u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}\leq 1,$$где $(u_{r},u_{\theta },u_{\varphi })$ является $(V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })$ масштабируется функцией $V_{e}(r)=V_{0}{\sqrt {1-r^{2}/r_{0}^{2}}}$ или $V_{0}$ соответственно.

Эллипсоид скорости (в данном случае) имеет вращательную симметрию вокруг оси r или $V_{r}$ ось. Он более сжат (в данном случае) от радиального направления и, следовательно, более тангенциально анизотропен, потому что везде $V_{e}(r)<V_{0}$, за исключением начала координат, где эллипсоид выглядит изотропным. Теперь вычислим моменты фазового пространства.

Например, результирующая плотность (момент) равна $${\begin{aligned}\rho (r,\theta ,\varphi )&=\int _{-V_{e}(r)}^{V_{e}(r)}dV_{r}\int _{-V_{0}}^{V_{0}}dV_{\theta }\int _{0}^{V_{0}}dV_{\varphi }{C_{0} \over V_{0}^{3}}\left({2Q \over V_{0}^{2}}\right)^{-1/2}\\&=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\int _{0}^{1}{(V_{e}du_{r})(V_{0}du_{\theta })(V_{0}du_{\varphi })C_{0} \over V_{0}^{3}(1-r^{2}/r_{0}^{2})^{1/2}(1-q)^{1/2}}\left.\right|_{q=u_{r}^{2}+u_{\theta }^{2}+u_{\varphi }^{2}}\\&=C_{0}{\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{-1/2}(2\pi u^{2}du)}=\rho _{0}\end{aligned}}$$действительно является сферической (независимой от угла) и однородной (независимой от радиуса) плотностью внутри края, где константа нормализации $C_{0}=2\pi ^{-2}\rho _{0}$.

Скорость потока рассчитывается как средневзвешенное значение вектора скорости. $${\begin{aligned}\langle \mathbf {V} \rangle (\mathbf {x} )&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}\mathbf {V} \over \int fd\mathbf {V} ^{3}}\\&={1 \over \rho }\int fd\mathbf {V} ^{3}[V_{r},V_{\theta },V_{\varphi }]{C_{0}V_{0}^{2}(2Q)^{-1/2}}\\&=\left[{\int _{-1}^{1}\!\!u_{r}...du_{r},~~\int _{-1}^{1}\!\!u_{\theta }...du_{\theta },~~\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{du_{\varphi }u_{\varphi }V_{0} \over (1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}-u_{\varphi }^{2})^{1/2}} \over \int _{0}^{1}(2\pi UdU)\int _{0}^{\sqrt {1-U^{2}}}du_{\varphi }(1-U^{2}-u_{\varphi }^{2})^{-1/2}}\right]\\&=\left[0,0,{4V_{0} \over 3\pi }\right]={\overline {\mathbf {V} (\mathbf {x} )}},\end{aligned}}$$где глобальное среднее значение потока (обозначенное вертикальной чертой) подразумевает равномерную картину плоского азимутального вращения, но нулевое чистое течение повсюду в меридиональном направлении. $(r,\theta )$ самолет.

Между прочим, глобальное среднее значение углового момента этой сферы плоского вращения равно $${\overline {\mathbf {r} \times \langle \mathbf {V} \rangle }}=\int _{0}^{r_{0}}{(\rho 4\pi r^{2}dr) \over M_{0}}[0,0,r\langle V_{\varphi }\rangle ]=[0,0,{3r_{0} \over 4}{\overline {V_{\varphi }}}].$$Обратите внимание, что глобальное среднее значение центра масс не меняется, поэтому ${\overline {\mathbf {V} _{i}(\mathbf {x} )}}=0$ из-за сохранения глобального импульса в каждом прямоугольном направлении $i=x,y,z$, и это не противоречит глобальному ненулевому вращению.

Аналогично, благодаря симметрии $f(r,\theta ,\varphi ,V_{r},V_{\theta },V_{\varphi })=f(r,\theta ,\pm \varphi ,\pm V_{r},\pm V_{\theta },V_{\varphi })$, у нас есть $\langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\varphi }} \rangle =0$, $~\langle \mathbf {(\pm V_{\theta })V_{\varphi }} \rangle =0$, $~\langle \mathbf {(\pm V_{r})V_{\theta }} \rangle =0$ повсюду}.

Аналогично, среднеквадратичная скорость в направлении вращения вычисляется с помощью средневзвешенного значения следующим образом: например, $${\begin{aligned}\langle \mathbf {V} _{\varphi }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |)&\equiv {\int fd\mathbf {V} ^{3}V_{\varphi }^{2} \over \rho (|\mathbf {r} |)}\\&={\int _{0}^{1}(2du_{r})\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\theta })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\theta }^{2}}}du_{\varphi }{(u_{\varphi }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=0.25V_{0}^{2}=0.5\langle V_{t}^{2}\rangle \\&={\!\!\int _{0}^{1}(2du_{r})\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}}}(2du_{\varphi })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{r}^{2}-u_{\varphi }^{2}}}du_{\theta }{(u_{\theta }V_{0})^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}\\&=\langle \mathbf {V} _{\theta }^{2}\rangle (|\mathbf {x} |),\\\end{aligned}}$$

Здесь $\langle V_{t}^{2}\rangle =\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}\rangle =0.5V_{0}^{2}.$

Так же $$\langle \mathbf {V} _{r}^{2}\rangle (\mathbf {x} )={\!\!\int _{0}^{1}(du_{\varphi })\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}}}\!\!(2du_{\theta })\!\!\int _{0}^{\sqrt {1-u_{\varphi }^{2}-u_{\theta }^{2}}}\!\!\!{(2du_{r})(u_{r}V_{e}(r))^{2} \over (1-q)^{1/2}} \over \int _{0}^{1}{(2\pi u^{2}du)(1-u^{2})^{-1/2}}}=\left({V_{0} \over 2}{\sqrt {1-{r^{2} \over r_{0}^{2}}}}\right)^{2}.$$

Таким образом, тензор давления или тензор дисперсии равен $${\begin{aligned}\sigma _{ij}^{2}(\mathbf {r} )=&{P_{ij}(\mathbf {r} ) \over \rho (\mathbf {r} )}\\=&\langle \mathbf {V} _{i}\mathbf {V} _{j}\rangle -\langle \mathbf {V} _{i}\rangle \langle \mathbf {V} _{j}\rangle \\=&{\begin{bmatrix}\left[1-({r \over r_{0}})^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0&0\\0&\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}&0\\0&0&\left[1-({8 \over 3\pi })^{2}\right]\left({V_{0} \over 2}\right)^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$с нулевыми недиагональными членами из-за симметричного распределения скорости. Обратите внимание: хотя в создании предыдущей плоской кривой вращения нет Темной Материи, цена указана с понижающим коэффициентом ${8 \over 3\pi }=0.8488$ в случайном разбросе скоростей в азимутальном направлении. Среди моментов диагонального тензора дисперсии $\sigma _{\theta }\equiv {\sqrt {\sigma _{\theta \theta }^{2}}}=0.5V_{0}$ является самым большим среди трех по всем радиусам, и $\sigma _{\varphi }\equiv {\sqrt {\sigma _{\varphi \varphi }^{2}}}\geq \sigma _{r}\equiv {\sqrt {\sigma _{rr}^{2}}}$ только на границе между $0.8488r_{0}\leq r\leq r_{0}$.

Большую тангенциальную кинетическую энергию, чем у радиального движения, наблюдаемую в диагональных дисперсиях, часто выражают параметром анизотропии. $$\beta (r)\equiv 1-{0.5\langle {\mathbf {V} _{t}}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=1-{\langle {\mathbf {V} _{\theta }}^{2}(|\mathbf {r} |)\rangle \over \langle {\mathbf {V} _{r}}^{2}\rangle (|\mathbf {r} |)}=-{r^{2} \over r_{0}^{2}-r^{2}}\leq 0;$$положительная анизотропия означала бы, что доминирует радиальное движение, а отрицательная анизотропия означает, что доминирует тангенциальное движение (как в этой однородной сфере).

Проработанный пример теоремы вириала

Двойная кинетическая энергия на единицу массы вышеуказанной однородной сферы равна

$${\begin{aligned}{2K \over M_{0}}&={\overline {\langle V^{2}\rangle }}\equiv \langle {\overline {V^{2}}}\rangle \\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}\langle V_{\theta }^{2}+V_{\varphi }^{2}+V_{r}^{2}\rangle dM\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{1}\left({V_{0}^{2} \over 4}+{V_{0}^{2} \over 4}+{(1-x^{2})V_{0}^{2} \over 4}\right)d(x^{3}M_{0})=0.6V_{0}^{2},~~x\equiv {r \over r_{0}}=\left({M \over M_{0}}\right)^{1 \over 3},\end{aligned}}$$которая уравновешивает потенциальную энергию единицы массы однородной сферы, внутри которой $M\propto r^{3}\propto x^{3}$.

Средний вириал на единицу массы можно рассчитать путем усреднения его локального значения. $\mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )$, что дает $${\begin{aligned}{W \over M_{0}}&={\overline {\mathbf {r} \cdot (-\mathbf {\nabla } \Phi )}}\\&=M_{0}^{-1}\int _{0}^{r_{0}}\mathbf {r} \cdot {-GM\mathbf {r} \over |\mathbf {r} |^{3}}(\rho d\mathbf {r} ^{3})=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM \over |\mathbf {r} |}dM\\&=-M_{0}^{-1}\int _{0}^{M_{0}}{GM~dM \over r_{0}~(M/M_{0})^{1 \over 3}}=-{3GM_{0} \over 5r_{0}}=-0.6V_{0}^{2},\end{aligned}}$$как того требует теорема Вириала. Для этой самогравитирующей сферы мы также можем убедиться, что вириал на единицу массы равен среднему значению половины потенциала $${\begin{aligned}{E_{\text{pot}} \over M_{0}}&={\overline {\langle {\Phi \over 2}\rangle }}\\&=M_{0}^{-1}\int _{x>0}^{x<1}{\Phi (r_{0}x) \over 2}d(M_{0}x^{3})\\&={W \over M_{0}}={-2K \over M_{0}}.\end{aligned}}$$Таким образом, мы подтвердили справедливость теоремы Вириала для однородной сферы в условиях самогравитации, т. е. гравитация, обусловленная плотностью массы звезд, является также гравитацией, в которой звезды движутся самосогласованно; например, никакое дополнительное гало темной материи не способствует ее потенциалу.

Проработанный пример уравнения Джинса в однородной сфере.

Уравнение Джинса — это соотношение того, как градиент давления в системе должен уравновешивать градиент потенциала для равновесной галактики. В нашей однородной сфере потенциальный градиент или гравитация равен $$\nabla \Phi ={d\Phi \over dr}={\Omega ^{2}r}\geq 0,~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}}.$$

Радиальный градиент давления $$-{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}=-{d\sigma _{r}^{2} \over dr}-{\sigma _{r}^{2} \over r}{d\log \rho \over d\log r}={\Omega ^{2}r \over 2}+0\geq 0.$$

Причина расхождения частично связана с центробежной силой. $${{\bar {V}}_{\varphi }^{2} \over r}={(0.8488V_{0})^{2} \over r}>0,$$и частично из-за анизотропного давления $${\begin{aligned}{(\sigma _{\theta }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r\geq 0\\{(\sigma _{\varphi }^{2}-\sigma _{r}^{2}) \over r}&=0.25\Omega ^{2}r-{0.1801V_{0}^{2} \over r}=\pm ,\end{aligned}}$$так $0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }<\sigma _{r}=0.5V_{0}$ в самом центре, но эти двое балансируют в радиусе $r=0.8488r_{0}$, а потом повернуть вспять $0.2643V_{0}=\sigma _{\varphi }>\sigma _{r}=0$ на самом краю.

Теперь мы можем убедиться в этом $${\begin{aligned}{\partial \langle V_{r}\rangle \over \partial t}&=(-\sum _{i=x,y,z}V_{i}\partial _{i}\langle V_{r}\rangle )-{\cancel {\langle V_{r}\rangle \over t_{\text{fric}}}}-\nabla _{r}\Phi +\sum _{i=x,y,z}{-\partial _{i}(n\sigma _{ir}^{2}) \over n}\\&={{\bar {V}}_{\theta }^{2}+{\bar {V}}_{\varphi }^{2}-2{\bar {V}}_{r}^{2} \over r}-0-{\partial \Phi \over \partial r}+\left[-{d(\rho \sigma _{r}^{2}) \over \rho dr}+{\sigma _{\theta }^{2}+\sigma _{\varphi }^{2}-2\sigma _{r}^{2} \over r}\right]\\&={0+(0.4244V_{0})^{2}-2\times 0 \over r}-(\Omega ^{2}r)+\\&\left[{\Omega ^{2}r \over 2}+{(0.5V_{0})^{2}+(0.2643V_{0})^{2}-2\times 0.25\Omega ^{2}(r_{0}^{2}-r^{2}) \over r}\right]\\&=0.\end{aligned}}$$Здесь 1-я строка выше — это, по сути, уравнение Джинса в направлении r, которое сводится ко 2-й строке, уравнению Джинса в анизотропном (также известном как $\beta \neq 0$) ротационный (он же $\langle V_{\varphi }\rangle \neq 0$) осесимметричный ( $\partial _{\varphi }\Phi (\mathbf {x} ,t)=0$ ) сфера (она же $\partial _{\theta }n(\mathbf {x} ,t)=0$) после долгих манипуляций с координатами тензора дисперсии; аналогичное уравнение движения можно получить для двух тангенциальных направлений, например, ${\partial \langle V_{\varphi }\rangle \over \partial t}$, которые полезны при моделировании океанских течений на вращающейся земной поверхности или передачи углового момента в аккреционных дисках, где коэффициент трения $-{\langle V_{\varphi }\rangle \over t_{\text{fric}}}$ важно. Тот факт, что левая ${\partial V_{r} \over \partial t}=0$ означает, что для этой униформы сила сбалансирована по правой стороне (также известная как $\nabla _{\mathbf {x} }mn(\mathbf {x} ,t)=0$) сферическая модель галактики (скопления) для пребывания в устойчивом состоянии (так называемое независимое от времени равновесие ${\partial n(\mathbf {x} ,t) \over \partial t}=0$ везде) статически (т.е. с нулевым потоком $\langle \mathbf {V} (\mathbf {x} ,t)\rangle =0$ повсюду). Обратите внимание, что такие системы, как аккреционный диск, могут иметь постоянный чистый радиальный приток. $\langle \mathbf {V} (\mathbf {x} )\rangle <0$ везде и всегда.

Проработанный пример уравнения Джинса в толстом диске

Рассмотрим еще раз потенциал толстого диска в приведенном выше примере. Если плотность равна плотности газовой жидкости, то давление на границе будет равно нулю. $z=\pm z_{0}$. Чтобы найти пик давления, заметим, что $$P(R,z)=\int _{z}^{z_{0}}\partial _{z}\Phi \rho (R)dz=\rho (R)[\Phi (R,z_{0})-\Phi (R,z)].$$

Таким образом, температура жидкости на единицу массы, т. е. квадрат одномерной дисперсии скорости, будет равна $$\sigma ^{2}(R,z)={P(R,z) \over \rho (R)},~~|z|\leq z_{0}$$

$$\sigma ^{2}={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {Q(z)Q(-z) \over Q(z_{0})Q(-z_{0})},~~Q(z)\equiv R_{0}+z_{0}+z+{\sqrt {R^{2}+(R_{0}+z_{0}+z)^{2}}}.$$

Вдоль оси вращения z $$\sigma ^{2}(0,z)={GM_{0} \over 2z_{0}}\log {4(R_{0}+z_{0}+z)(R_{0}+z_{0}-z) \over 4R_{0}(R_{0}+2z_{0})}$$$$\sigma (0,z)={\sqrt {GM_{0} \over 2z_{0}}}{\sqrt {\log {(R_{0}+z_{0})^{2}-z^{2} \over (R_{0}+z_{0})^{2}-z_{0}^{2}}}},$$который явно является самым высоким в центре и нулевым на границах $z=\pm z_{0}$. И давление, и пик дисперсии в средней плоскости $z=0$. На самом деле самая горячая и плотная точка — это центр, где $P(0,0)={M_{0} \over 4\pi R_{0}^{2}z_{0}}{-GM_{0}\log[1-(1+R_{0}/z_{0})^{-2}] \over 2z_{0}}.$

Резюме проработанных примеров по уравнению Джинса, вириальной и фазовой плотности пространства.

Рассмотрев несколько применений уравнения Пуассона. и плотность фазового пространства и особенно уравнение Джинса, мы можем выделить общую тему, снова используя подход сферической коровы.

Уравнение Джинса связывает гравитацию с градиентом давления. Это обобщение уравнения. Движения одиночных частиц. Хотя уравнение Джинса можно решить в дисковых системах, наиболее удобная для пользователя версия уравнения Джинса. представляет собой сферическую анизотропную версию статического $\langle {v_{j}}\rangle =0$ система без трения $t_{\text{fric}}\rightarrow \infty$, следовательно, местная скорость скорость $\sigma _{j}^{2}(r)=\langle {v_{j}^{2}}\rangle (r)-\underbrace {\langle {v_{j}}\rangle ^{2}(r)} _{=0}={\int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }({v}_{j}-\overbrace {\langle {v}\rangle _{j}^{p}} ^{=0})^{2}f_{p} \over \int \limits _{\infty }\!\!dv_{r}dv_{\theta }dv_{\varphi }f_{p}},$ везде для каждого из трёх направлений $~_{j}=~_{r},~_{\theta },~_{\varphi }$.На эти моменты можно спроецировать фазовое пространство, что легко сделать в сильно сферической системе, допускающей сохранение энергии. $E=$ и угловой момент J. Граница системы задает область интегрирования связанной скорости в системе.

Таким образом, в сферическом уравнении Джинса: $${\begin{aligned}{d\Phi \over dr}=&{GM(r) \over r^{2}}\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr}+{\langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle -2\langle {v_{r}^{2}}\rangle \over r},\\=&-{d(n\langle {v_{r}^{2}}\rangle ) \over n(r)dr},~~{\text{hydrostatic equilibrium if isotropic velocity }}\\=&{\langle v_{t}^{2}\rangle \over r},~~{\text{if purely centrifugal balancing of gravity with no radial motion}},\langle v_{t}^{2}\rangle \equiv \langle {v_{\theta }^{2}}\rangle +\langle {v_{\phi }^{2}}\rangle \end{aligned}}$$что соответствует ожиданию теоремы Вириала ${\overline {r\partial _{r}\Phi }}={\overline {v_{\text{cir}}^{2}}}={\overline {GM \over r}}={\overline {\langle v_{t}^{2}\rangle }}$, или, другими словами, ${\overline {\text{global average}}}$ кинетическая энергия равновесия равна средней кинетической энергии на круговых орбитах с чисто поперечным движением.

См. также

• Звездная классификация
• Уравнение Больцмана
• Динамическое трение
• Уравнения джинсов
• Массовая сегрегация (астрономия)
• Проблема N-тела
• Теорема Вириала
• Звездная кинематика
• Уравнение Пуассона
• Векторное исчисление
• Аккреционный диск
• Релаксация (физика)

Дальнейшее чтение

• Динамика и эволюция галактических ядер , Д. Мерритт (2013). Издательство Принстонского университета .
• Галактическая динамика , Дж. Бинни и С. Тремейн (2008). Издательство Принстонского университета.
• Гравитационное моделирование N-тел: инструменты и алгоритмы , С. Орсет (2003). Издательство Кембриджского университета.
• Принципы звездной динамики , С. Чандрасекхар (1960). Дувр.