Пространство модуляции

Пространства модуляции представляют собой семейство банаховых пространств , определяемых поведением кратковременного преобразования Фурье с относительно пробной функции из пространства Шварца . Первоначально они были предложены Гансом Георгом Файхтингером и признаны подходящим типом функциональных пространств для частотно-временного анализа . Алгебра Файхтингера , первоначально представленная как новая алгебра Сигала , идентично определенному пространству модуляции и стало широко используемым пространством тестовых функций для частотно-временного анализа.

Пространства модуляции определяются следующим образом. Для $1\leq p,q\leq \infty$, неотрицательная функция $m(x,\omega )$ на $\mathbb {R} ^{2d}$ и тестовая функция $g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$, пространство модуляции $M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})$ определяется

$M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})\ :\ \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}|V_{g}f(x,\omega )|^{p}m(x,\omega )^{p}dx\right)^{q/p}d\omega \right)^{1/q}<\infty \right\}.$

В приведенном выше уравнении $V_{g}f$ обозначает кратковременное преобразование Фурье $f$ относительно $g$ оценивается в $(x,\omega )$, а именно

$V_{g}f(x,\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(t){\overline {g(t-x)}}e^{-2\pi it\cdot \omega }dt={\mathcal {F}}_{\xi }^{-1}({\overline {{\hat {g}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi +\omega ))(x).$

Другими словами, $f\in M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})$ эквивалентно $V_{g}f\in L_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{2d})$. Пространство $M_{m}^{p,q}(\mathbb {R} ^{d})$ то же самое, независимо от тестовой функции $g\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ выбран. Канонический выбор — гауссиан .

У нас также есть следующее определение пространств модуляции типа Бесова.

$M_{p,q}^{s}(\mathbb {R} ^{d})=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})\ :\ \left(\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{d}}\langle k\rangle ^{sq}\|\psi _{k}(D)f\|_{p}^{q}\right)^{1/q}<\infty \right\},\langle x\rangle :=|x|+1$,

где $\{\psi _{k}\}$ является подходящим единым разделом. Если $m(x,\omega )=\langle \omega \rangle ^{s}$, затем $M_{p,q}^{s}=M_{m}^{p,q}$.

Алгебра Файхтингера

Для $p=q=1$ и $m(x,\omega )=1$, пространство модуляции $M_{m}^{1,1}(\mathbb {R} ^{d})=M^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ известна под названием алгебра Фейхтингера и часто обозначается $S_{0}$ за то, что она является минимальной алгеброй Сигала, инвариантной относительно частотно-временных сдвигов, т.е. комбинированных операторов перевода и модуляции. $M^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ является банаховым пространством, вложенным в $L^{1}(\mathbb {R} ^{d})\cap C_{0}(\mathbb {R} ^{d})$, и инвариантен относительно преобразования Фурье. Именно для этих и других свойств $M^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ является естественным выбором пространства тестовых функций для частотно-временного анализа. Преобразование Фурье ${\mathcal {F}}$ является автоморфизмом на $M^{1,1}$.