Теорема Качуровского

В математике — теорема Качуровского теорема, связывающая выпуклость функции в банаховом пространстве с монотонностью ее производной Фреше .

Формулировка теоремы

Пусть K — выпуклое подмножество банахова пространства V , и пусть f : K → R ∪ {+∞} — расширенная функция с действительным знаком , дифференцируемая по Фреше с производной d f ( x ) : V → R в каждой точке x в К. ​(На самом деле d f ( x ) является элементом непрерывного дуального пространства V ^∗ .) Тогда следующие условия эквивалентны:

• f — выпуклая функция;
• для всех x и y в K ,

$\mathrm {d} f(x)(y-x)\leq f(y)-f(x);$

• d f — (возрастающий) монотонный оператор, т. е. для всех x и y в K ,

${\big (}\mathrm {d} f(x)-\mathrm {d} f(y){\big )}(x-y)\geq 0.$

Ссылки

• Качуровский, Р.И. (1960). «О монотонных операторах и выпуклых функционалах». Успехи мат. Наук . 15 (4): 213–215.
• Шоуолтер, Ральф Э. (1997). Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных . Математические обзоры и монографии 49. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 80 . ISBN  0-8218-0500-2 . МИСТЕР 1422252 (Предложение 7.4)