Конечно сгенерированный модуль

В математике — конечно порожденный модуль это модуль , имеющий конечный порождающий набор . Конечно порожденный модуль над кольцом R можно также назвать конечным R модулем , конечным над R. - или модуль конечного типа .

Связанные понятия включают конечно-когенерированные модули , конечно-представленные модули , конечно-связанные модули и когерентные модули, все из которых определены ниже. Над нетеровым кольцом понятия конечно порожденных, конечно представленных и когерентных модулей совпадают.

Конечно порожденный модуль над полем — это просто конечномерное векторное пространство , а конечно порожденный модуль над целыми числами — это просто конечно порожденная абелева группа .

Определение

Левый R -модуль M если существуют 1 _{конечно порождён ,} , a ₂ , ..., M _такие n в , что для любого x в M существуют r ₁ , r ₂ , ..., r _n в R с Икс знак равно р ₁ а ₁ + р ₂ а ₂ + ... + р _п а _п .

{ набор a 1 _, a 2 _, ..., } _an называется набором M. порождающим В этом случае Конечный порождающий набор не обязательно должен быть базисом, поскольку он не обязательно должен быть линейно независимым над R . Верно то, что M конечно порождено тогда и только тогда, когда существует сюръективное R -линейное отображение :

$R^{n}\to M$

для некоторого n ( M — фактор свободного модуля конечного ранга).

Если набор S порождает модуль, который конечно порожден, то существует конечный порождающий набор, который включен в S , поскольку только конечное число элементов в S необходимо для выражения генераторов в любом конечном порождающем наборе, и это конечное число элементов образуют генераторная установка. Однако может случиться так, что S не содержит никакого конечного порождающего множества минимальной мощности . Например, набор простых чисел является порождающим набором $\mathbb {Z}$ рассматривается как $\mathbb {Z}$-модуль, а порождающий набор, сформированный из простых чисел, имеет как минимум два элемента, а синглтон {1} также является порождающим набором.

В случае, когда модуль M представляет собой векторное пространство над полем R порождающий набор линейно независим , n и четко определено называется размерностью M ( , а точность определения означает, что любой линейно независимый порождающий набор имеет n элементов: это теорема о размерности векторных пространств ).

Любой модуль представляет собой объединение ориентированного множества своих конечно порожденных подмодулей.

Модуль M конечно порождён тогда и только тогда, когда любая возрастающая цепочка с _Mi объединением M стабилизируется: т. е. существует такой i что Mi _, = M. подмодулей Из этого факта вместе с леммой Цорна следует, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальные подмодули . Если любая возрастающая цепочка подмодулей стабилизируется (т. е. любой подмодуль конечно порожден), то модуль M называется нетеровым модулем .

Примеры

• Если модуль порождается одним элементом, он называется циклическим модулем .
• Пусть R — область целостности, а K — это поле частных. Тогда каждый конечно порожденный R -подмодуль I модуля K является дробным идеалом : т. е. существует некоторый ненулевой r в R такой, что rI содержится в R . Действительно, можно взять r как произведение знаменателей образующих I . Если R нётерово, то таким образом возникает всякий дробный идеал.
• Конечно порожденные модули над кольцом целых Z совпадают с конечно порожденными абелевыми группами . Они полностью классифицируются структурной теоремой , принимая Z в качестве области главного идеала.
• Конечно порожденные (скажем, левые) модули над телом представляют собой в точности конечномерные векторные пространства (над телом).

Некоторые факты

Всякий гомоморфный образ конечно порожденного модуля конечно порожден. В общем, подмодули конечно порожденных модулей не обязательно должны быть конечно порожденными. В качестве примера рассмотрим кольцо R = Z [ X ₁ , X ₂ , ...] всех многочленов от счетного числа переменных. R сам по себе является конечно порожденным R -модулем (с {1} в качестве порождающего набора). Рассмотрим подмодуль K, состоящий из всех этих многочленов с нулевым постоянным членом. Поскольку каждый многочлен содержит лишь конечное число членов, коэффициенты которых отличны от нуля, R -модуль K не является конечно порожденным.

В общем, модуль называется нетеровым, если каждый подмодуль конечно порожден. Конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом является нётеровым модулем (и это свойство действительно характеризует нётерово кольцо): модуль над нётеровым кольцом конечно порождён тогда и только тогда, когда он является нётеровым модулем. Это похоже, но не совсем на базисную теорему Гильберта , которая утверждает, что кольцо многочленов R [ X ] над нетеровым кольцом R является нетеровым. Из обоих фактов следует, что конечно порожденная коммутативная алгебра над нётеровым кольцом снова является нётеровым кольцом.

В более общем смысле, алгебра (например, кольцо), которая является конечно порожденным модулем, является конечно порожденной алгеброй . И наоборот, если конечно порожденная алгебра является целой (над кольцом коэффициентов), то она является конечно порожденным модулем. (Подробнее см . в разделе «Интегральный элемент» .)

Пусть 0 → M ′ → M → M ” → 0 — точная последовательность модулей. Тогда M конечно порождено, если M ', M ' конечно порождены. Есть некоторые частичные противоположности этому. Если M конечно порождено и M ' конечно порождено (что сильнее, чем конечно порождено; см. ниже), то M ' конечно порождено. Кроме того, M нётерово (соответственно артиново) тогда и только тогда, когда M ', M ' нётерово (соответственно артиново).

Пусть B — кольцо и A — его подкольцо такое, что B — точно плоский правый A -модуль. Тогда левый A -модуль F конечно порождён (соответственно конечно определён) тогда и только тогда, когда B -модуль B ⊗ _AF . конечно порождён (соответственно конечно определён)

Конечно порожденные модули над коммутативным кольцом

кольцом R Для конечно порожденных модулей над коммутативным лемма Накаямы является фундаментальной. Иногда лемма позволяет доказать явления конечномерных векторных пространств для конечно порожденных модулей. Например, если f : M → M — сюръективный R конечно порожденного модуля M , то f также инъективен и, следовательно, автоморфизмом M. - эндоморфизм является Это просто говорит о том, что M — модуль Хопфа . Аналогично, артинов модуль M является кохопфовым : любой инъективный эндоморфизм f также является сюръективным эндоморфизмом.

Любой R -модуль является индуктивным пределом конечно порожденных R -подмодулей. Это полезно для ослабления предположения до конечного случая (например, характеризация плоскостности с помощью функтора Tor ).

Пример связи между конечным поколением и целыми элементами можно найти в коммутативных алгебрах. Сказать, что коммутативная алгебра A является конечно порожденным кольцом над R, означает, что существует набор элементов G = { x ₁ , ..., x _n } кольца A такой, что наименьшее подкольцо A , содержащее G и R, есть A сам. не просто R -линейные комбинации элементов G. Поскольку кольцевое произведение можно использовать для объединения элементов, генерируются Например, кольцо полиномов R [ x ] конечно порождается {1, x } как кольцо, но не как модуль . Если A — коммутативная алгебра (с единицей) над R , то следующие два утверждения эквивалентны:

• A — конечно порожденный R- модуль.
• A кольцом над R и целочисленным расширением R является одновременно конечно порожденным .

Общий ранг

Пусть M — конечно порожденный модуль над областью целостности A с полем K. частных Тогда размерность $\operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)$ называется общим M . над A рангом Это число совпадает с числом максимальных A -линейно независимых векторов в M или, что то же самое, с рангом максимального свободного подмодуля M ( ср. Ранг абелевой группы ). С $(M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{(0)}=0$, $M/F$ это торсионный модуль . Когда A нётерово, в силу родовой свободы существует элемент f (зависящий от M ) такой, что $M[f^{-1}]$ это бесплатно $A[f^{-1}]$-модуль. Тогда ранг этого свободного модуля является общим рангом M .

Теперь предположим, что область целостности A порождается как алгебра над полем k конечным числом однородных элементов степеней $d_{i}$. Предположим, что M также градуировано, и пусть $P_{M}(t)=\sum (\operatorname {dim} _{k}M_{n})t^{n}$ быть Пуанкаре M . рядом По теореме Гильберта–Серра существует многочлен F такой, что $P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}$. Затем $F(1)$ является родовым рангом M .

Конечно порожденный модуль над областью главных идеалов не имеет кручения тогда и только тогда, когда он свободен. Это следствие структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов , основная форма которой гласит, что конечно порожденный модуль над PID является прямой суммой торсионного модуля и свободного модуля. Но это также можно показать непосредственно следующим образом: пусть M — конечно порожденный модуль без кручения над PID A , а F — максимальный свободный подмодуль. Пусть f находится в A так, что $fM\subset F$. Затем $fM$ свободен, поскольку является подмодулем свободного модуля, а A — это PID. Но сейчас $f:M\to fM$ является изоморфизмом, поскольку M не имеет кручения.

По тем же аргументам, что и выше, конечно порожденный модуль над дедекиндовой областью A (или, в более общем случае, полунаследственным кольцом ) не имеет кручения тогда и только тогда, когда он проективен ; следовательно, конечно порожденный модуль над A является прямой суммой периодического и проективного модулей. Конечно порожденный проективный модуль над нетеровой областью целостности имеет постоянный ранг, поэтому общий ранг конечно порожденного модуля над A является рангом его проективной части.

Эквивалентные определения и конечно-копорожденные модули

Следующие условия эквивалентны тому, что M конечно порождено (fg):

• Для любого семейства подмодулей { N _i | i ∈ I } в M , если $\sum _{i\in I}N_{i}=M\,$, затем $\sum _{i\in F}N_{i}=M\,$ для некоторого конечного подмножества F из I .
• Для любой цепочки подмодулей { N _i | i ∈ I } в M , если $\bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,$, то N _i = M для некоторого i из I .
• Если $\phi :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,$ является эпиморфизмом , то ограничение $\phi :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,$ является эпиморфизмом некоторого конечного подмножества F из I .

Из этих условий легко увидеть, что конечность порождения — это свойство, сохраняемое эквивалентностью Морита . Условия удобны также для определения двойственного понятия конечно-копорожденного модуля M . Следующие условия эквивалентны конечно-копорожденному модулю (f.cog.):

• Для любого семейства подмодулей { N _i | i ∈ I } в M , если $\bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,$, затем $\bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,$ для некоторого конечного подмножества F из I .
• Для любой цепочки подмодулей { N _i | i ∈ I } в M , если $\bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,$, то N _i = {0} для некоторого i из I .
• Если $\phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,$ является мономорфизмом , где каждый $N_{i}$ является R -модулем, то $\phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,$ является мономорфизмом некоторого конечного подмножества F из I .

Оба модуля fg и f.cog. Модули имеют интересные отношения с нётеровыми и артиновыми модулями, а также с радикалом Джейкобсона J ( M ) и цоколем soc( M ) модуля. Следующие факты иллюстрируют двойственность этих двух состояний. Для модуля М :

• M нётерово тогда и только тогда, когда каждый подмодуль N модуля M является fg
• M артинов тогда и только тогда, когда каждый фактор-модуль M / N является f.cog.
• M является fg тогда и только тогда, когда J ( M ) — лишний подмодуль M M , а / J ( M ) — это fg
• М — это f.cog. когда soc( M ) является существенным подмодулем M тогда и только тогда , и soc( M ) является fg
• Если M — полупростой модуль (такой как soc( N ) для любого модуля N ), он является fg тогда и только тогда, когда f.cog.
• Если M равен fg и не равен нулю, то M имеет максимальный подмодуль и любой фактор-модуль M / N равен fg.
• Если M является f.cog. и ненулевой, то имеет минимальный подмодуль и любой подмодуль N M M является f.cog.
• Если N и M / N равны fg, то и M тоже . То же самое верно, если «fg» заменить на «f.cog».

Конечно-копорожденные модули должны иметь конечную равномерную размерность . В этом легко убедиться, применив характеристику с использованием конечно порожденного существенного цоколя. Несколько асимметрично: конечно порожденные модули не обязательно имеют конечную однородную размерность. Например, бесконечное прямое произведение ненулевых колец является конечно порожденным (циклическим!) модулем над собой, однако оно, очевидно, содержит бесконечную прямую сумму ненулевых подмодулей. Конечно порожденные модули также не обязательно имеют конечную коравномерную размерность : любое кольцо R с единицей такое, что R / J ( R ) не является полупростым кольцом, является контрпримером.

Конечно представленные, конечно связанные и когерентные модули

Другая формулировка такова: конечно порожденный модуль M — это модуль, для которого существует эпиморфизма отображение R ^к на М :

ж: Р ^к → М .

Предположим, что теперь существует эпиморфизм,

φ : Ж → М .

для модуля M и свободного F. модуля

• Если ядро ​​φ называется конечно порождено, то M конечно связанным модулем . Поскольку M изоморфно F /ker( φ ), это по сути означает, что M получается путем взятия свободного модуля и введения конечного числа отношений внутри F (генераторов ker( φ )).
• Если ядро ​​φ конечно порождено и F имеет конечный ранг (т. е. F = R ^к ), то M называется конечно-представленным модулем . Здесь M задается с использованием конечного числа генераторов (образов k генераторов F = R ^к ) и конечное число отношений (генераторы ker( φ )). См. также: бесплатная презентация . Конечно-представленные модули могут быть охарактеризованы абстрактным свойством внутри категории R -модулей : они являются именно компактными объектами в этой категории.
• M Когерентный модуль — это конечно порожденный модуль, конечно порожденные подмодули которого конечно определены.

Над любым кольцом R когерентные модули конечно представимы, а конечно представимые модули являются как конечно порожденными, так и конечно связанными. Для нетерова кольца R конечно порожденная, конечно определенная и когерентная являются эквивалентными условиями на модуле.

Некоторое пересечение происходит для проективных или плоских модулей. Конечно порожденный проективный модуль конечно представим, а конечно связанный плоский модуль проективен.

Верно также, что для кольца R следующие условия эквивалентны :

1. R — правокогерентное кольцо .
2. Модуль R _R является когерентным модулем.
3. Каждый конечно определенный правый модуль R когерентен.

Хотя когерентность кажется более громоздким условием, чем конечно порожденные или конечно представленные, она лучше их, поскольку категория когерентных модулей является абелевой категорией , в то время как, вообще говоря, ни конечно порожденные, ни конечно представленные модули не образуют абелеву категорию.

См. также

• Интегральный элемент
• Лемма Артина–Риса
• Счетно генерируемый модуль
• Конечная алгебра

Учебники

• Атья, МФ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co., Ридинг, Массачусетс-Лондон-Дон Миллс, Онтарио, стр. ix+128, MR   0242802
• Бурбаки, Николя (1998), Коммутативная алгебра. Главы 1-7. Перевод с французского. Перепечатка английского перевода 1989 года , Elements of Mathematics, Берлин: Springer-Verlag, ISBN.  3-540-64239-0
• Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. x+180, MR   0254021.
• Лам, Тай (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98428-5
• Ланг, Серж (1997), Алгебра (3-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN  978-0-201-55540-0
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8, Перевод с японского М. Рида (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, стр. xiv+320, ISBN  0-521-36764-6 , МР   1011461
• Спрингер, Тонни А. (1977), Теория инвариантов , Конспект лекций по математике, том. 585, Спрингер, номер домена : 10.1007/BFb0095644 , ISBN.  978-3-540-08242-2 .