Теория Ньютона – Картана

Теория Ньютона-Картана (или геометризованная ньютоновская гравитация ) представляет собой геометрическую переформулировку, а также обобщение ньютоновской гравитации , впервые введенной Эли Картаном. и Курт Фридрихс и позже разработанный Докуром, Диксон, Домбровский и Хорнеффер, Элерс, Гавас, Кюнцле, Лоттермозер, Траутман , и другие. В этой переформулировке легко увидеть структурное сходство между теорией Ньютона и Альберта Эйнштейна , общей теорией относительности и Картан и Фридрихс использовали ее, чтобы дать строгую формулировку того, как ньютоновскую гравитацию можно рассматривать как конкретный предел общей теории относительности, а Юрген Элерс распространил это соответствие на конкретные решения общей теории относительности.

Классическое пространство-время

В теории Ньютона – Картана все начинается с гладкого четырехмерного многообразия. $M$ и определяет две (вырожденные) метрики. Временная метрика $t_{ab}$ с подписью $(1,0,0,0)$, используемый для присвоения временных длин векторам на $M$ и пространственная метрика $h^{ab}$ с подписью $(0,1,1,1)$. Также требуется, чтобы эти две метрики удовлетворяли условию трансверсальности (или «ортогональности»): $h^{ab}t_{bc}=0$. определяется Таким образом, классическое пространство-время как упорядоченная четверка $(M,t_{ab},h^{ab},\nabla )$, где $t_{ab}$ и $h^{ab}$ как описано, $\nabla$ – ковариантный оператор производной, совместимый с метрикой; и метрики удовлетворяют условию ортогональности. Можно сказать, что классическое пространство-время является аналогом релятивистского пространства-времени. $(M,g_{ab})$, где $g_{ab}$ — гладкая лоренцева метрика на многообразии $M$.

Пуассона

В теории гравитации Ньютона уравнение Пуассона гласит:

$\Delta U=4\pi G\rho \,$

где $U$ гравитационный потенциал, $G$ гравитационная постоянная и $\rho$ это массовая плотность. Принцип слабой эквивалентности мотивирует геометрическую версию уравнения движения точечной частицы в потенциале $U$

$m_{t}\,{\ddot {\vec {x}}}=-m_{g}{\vec {\nabla }}U$

где $m_{t}$ - инертная масса и $m_{g}$ гравитационная масса. Поскольку согласно слабому принципу эквивалентности $m_{t}=m_{g}$, соответствующее уравнение движения

${\ddot {\vec {x}}}=-{\vec {\nabla }}U$

больше не содержит ссылки на массу частицы. Следуя идее, что тогда решение уравнения является свойством кривизны пространства, строится связь так, что уравнение геодезических

${\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0$

представляет собой уравнение движения точечной частицы в потенциале $U$. Полученное соединение

$\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }=\gamma ^{\lambda \rho }U_{,\rho }\Psi _{\mu }\Psi _{\nu }$

с $\Psi _{\mu }=\delta _{\mu }^{0}$ и $\gamma ^{\mu \nu }=\delta _{A}^{\mu }\delta _{B}^{\nu }\delta ^{AB}$ ( $A,B=1,2,3$). Связь была построена в одной инерциальной системе, но ее справедливость можно доказать в любой инерциальной системе, показав инвариантность $\Psi _{\mu }$ и $\gamma ^{\mu \nu }$ при преобразованиях Галилея. Тогда тензор кривизны Римана в инерциальной системе координат этой связи имеет вид

$R_{\kappa \mu \nu }^{\lambda }=2\gamma ^{\lambda \sigma }U_{,\sigma [\mu }\Psi _{\nu ]}\Psi _{\kappa }$

где скобки $A_{[\mu \nu ]}={\frac {1}{2!}}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]$ означают антисимметричную комбинацию тензора $A_{\mu \nu }$. Тензор Риччи имеет вид

$R_{\kappa \nu }=\Delta U\Psi _{\kappa }\Psi _{\nu }\,$

что приводит к следующей геометрической формулировке уравнения Пуассона

$R_{\mu \nu }=4\pi G\rho \Psi _{\mu }\Psi _{\nu }$

Более явно, если римские индексы i и j варьируются в пространственных координатах 1, 2, 3, то связь определяется выражением

$\Gamma _{00}^{i}=U_{,i}$

тензор кривизны Римана по

$R_{0j0}^{i}=-R_{00j}^{i}=U_{,ij}$

а тензор Риччи и скаляр Риччи -

$R=R_{00}=\Delta U$

где все не перечисленные компоненты равны нулю.

Обратите внимание, что эта формулировка не требует введения понятия метрики: сама связь дает всю физическую информацию.

Лифт Баргманн

Было показано, что четырехмерную теорию гравитации Ньютона-Картана можно переформулировать как редукцию Калуцы-Клейна пятимерной гравитации Эйнштейна вдоль нулевого направления. Считается, что этот подъем полезен для нерелятивистских голографических моделей.

Библиография

• Картан, Эли (1923), «О многообразиях с аффинной связностью и теории обобщенной относительности (первая часть)» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325, doi : 10.24033/asens.751
• Картан, Эли (1924), «О многообразиях с аффинной связностью и теории обобщенной относительности (Первая часть) (Продолжение)» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1, doi : 10.24033 /asens .753
• Картан, Эли (1955), Полное собрание сочинений , том. III/1, Готье-Виллар, стр. 659, 799
• Ренн, Юрген; Шеммель, Матиас, ред. (2007), Генезис общей теории относительности , том. 4, Спрингер, стр. 1107–1129 (английский перевод статьи Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. # 40)
• Глава 1 Элерс, Юрген (1973), «Обзор общей теории относительности», в Израиле, Вернер (редактор), «Относительность, астрофизика и космология» , Д. Рейдель, стр. 1–125, ISBN  90-277-0369-8