Гипотеза Крамера

В чисел теории гипотеза Крамера , сформулированная шведским математиком Харальдом Крамером в 1936 году, — это оценка размера промежутков между последовательными простыми числами : интуитивно понятно, что промежутки между последовательными простыми числами всегда малы, и гипотеза определяет асимптотически , насколько малы они должны быть. В нем говорится, что

$p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2}),\$

где p _n обозначает n- е простое число , O — обозначение большого O , а «log» — натуральный логарифм . Хотя это утверждение явно высказано Крамером, его эвристика на самом деле поддерживает более сильное утверждение.

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1,$

и иногда эту формулировку называют гипотезой Крамера. Однако эта более сильная версия не поддерживается более точными эвристическими моделями, которые, тем не менее, поддерживают первую версию гипотезы Крамера. Ни одна из форм еще не доказана и не опровергнута.

Условно доказанные результаты на простых пробелах

Крамер дал условное доказательство гораздо более слабого утверждения, что

$p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{n})$

в предположении гипотезы Римана . Самая известная безусловная граница — это

$p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})$

благодаря Бейкеру, Харману и Пинцу .

С другой стороны, Э. Вестзинтиус доказал в 1931 г., что разрывы между простыми числами растут более чем логарифмически. То есть,

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .$

Его результат улучшил Р.А. Ранкин , кто это доказал

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0.$

Пол Эрдеш предположил, что левая часть приведенной выше формулы бесконечна, и это было доказано в 2014 году Кевином Фордом , Беном Грином , Сергеем Конягиным и Теренсом Тао . и независимо Джеймсом Мейнардом . Обе группы авторов улучшили результат на $\log \log \log p_{n}$ фактор позже в том же году.

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основана на вероятностной модели (по сути, эвристической ), в которой вероятность того, что число размера x является простым, равна 1/log x . Это известно как случайная модель Крамера или модель Крамера простых чисел.

В случайной модели Крамера

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1$

с вероятностью один . Однако, как отметил Эндрю Грэнвилл , Теорема Майера показывает, что случайная модель Крамера неадекватно описывает распределение простых чисел на коротких интервалах, а уточнение модели Крамера с учетом делимости на малые простые числа предполагает, что $c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots$ ( OEIS : A125313 ), где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони . Янош Пинц предположил, что предел sup может быть бесконечным: и аналогично Леонард Адлеман и Кевин МакКерли пишут

В результате работы Х. Майера о промежутках между последовательными простыми числами точная формулировка гипотезы Крамера была поставлена ​​под сомнение [...] Вероятно, все еще верно, что для каждой постоянной $c>2$, существует константа $d>0$ такое, что между $x$ и $x+d(\log x)^{c}$.

Аналогично, Робин Виссер пишет

Фактически, благодаря работе Гранвилля сейчас широко распространено мнение, что гипотеза Крамера ложна. Действительно, существуют некоторые теоремы о коротких интервалах между простыми числами, такие как теорема Майера, которые противоречат модели Крамера.

(внутренние ссылки удалены).

Связанные гипотезы и эвристики

Функция простого разрыва

Дэниел Шэнкс предположил следующее асимптотическое равенство, более сильное, чем гипотеза Крамера: для рекордных пробелов: $G(x)\sim \log ^{2}x.$

Дж. Х. Кэдвелл предложил формулу максимальных зазоров: $G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x,$что формально идентично гипотезе Шэнкса, но предполагает член более низкого порядка.

Марек Вольф предложил формулу для максимальных зазоров $G(x)$выражается через функцию подсчета простых чисел $\pi (x)$:

$G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),$

где $c=\log(C_{2})=0.2778769...$ и $C_{2}=1.3203236...$ в два раза больше константы простых чисел-близнецов ; см. OEIS : A005597 , OEIS : A114907 . Это снова формально эквивалентно гипотезе Шэнкса, но предполагает члены более низкого порядка.

$G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.$.

Томас Найсли рассчитал множество больших разрывов между простыми числами. Он измеряет качество соответствия гипотезе Крамера, измеряя соотношение

$R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.$

Он пишет: «Для самых больших известных максимальных промежутков $R$ остается около 1,13».

См. также

• Теорема о простых числах
• Гипотеза Лежандра и гипотеза Андрики , гораздо более слабые, но все еще недоказанные верхние оценки пробелов в простых числах.
• Гипотеза Фирузбахта
• Теорема Майера о количестве простых чисел на коротких интервалах, для которых модель предсказывает неверный ответ

Ссылки

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . А8. ISBN  978-0-387-20860-2 . Збл   1058.11001 .
• Пинц, Янош (2007). «Крамер против Крамера. О вероятностной модели Крамера для простых чисел» . Функции и аппроксимация математического комментария . 37 (2): 361–376. дои : 10.7169/facm/1229619660 . ISSN   0208-6573 . МР   2363833 . Збл   1226.11096 .
• Саундарараджан, К. (2007). «Распределение простых чисел». В Гранвилле, Эндрю ; Рудник, Зеев (ред.). Равнораспределение в теории чисел, введение. Труды Института перспективных исследований НАТО по равнораспределению в теории чисел, Монреаль, Канада, 11–22 июля 2005 г. Серия НАТО по науке II: Математика, физика и химия. Том. 237. Дордрехт: Springer-Verlag . стр. 59–83. ISBN  978-1-4020-5403-7 . Збл   1141.11043 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Крамера» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Крамера-Гранвилля» . Математический мир .