Лемма Обена – Лайонса

В математике лемма Обена–Лайонса (или теорема ) является результатом теории пространств Соболева банаховых пространственнозначных функций, который обеспечивает критерий компактности , полезный при изучении нелинейных эволюционных уравнений в частных производных . Обычно для доказательства существования решений сначала строят приближенные решения (например, методом Галеркина или путем смягчения уравнения), затем с помощью леммы о компактности показывают, что существует сходящаяся подпоследовательность приближенных решений, пределом которой является решение .

Результат назван в честь французских математиков Жана-Пьера Обена и Жака-Луи Лионса . В оригинальном доказательстве Обена пространства X0 _но и X1 _в формулировке леммы предполагались рефлексивными , это предположение было снято Саймоном, поэтому результат также называют леммой Обена-Лайонса-Саймона .

Утверждение леммы

Пусть X ₀ , X и X ₁ — три банаховых пространства, причем X ₀ ⊆ X ⊆ X ₁ . Предположим, X0 _что вложено компактно в X и X непрерывно вложено в X1 _что . Для $1\leq p,q\leq \infty$, позволять

$W=\{u\in L^{p}([0,T];X_{0})\mid {\dot {u}}\in L^{q}([0,T];X_{1})\}.$

(i) Если $p<\infty$ тогда вложение W в $L^{p}([0,T];X)$ компактен.

(ii) Если $p=\infty$ и $q>1$ тогда вложение W в $C([0,T];X)$ компактен.

См. также

• Лемма Льва – Магене

Ссылки

• Обен, Жан-Пьер (1963). «Теорема о компактности. (Французский)». ЧР акад. наук. Париж . Полет. 256.стр. 5042–5044. МР   0152860 .
• Барретт, Джон В.; Сюли, Эндре (2012). «Размышления о нелинейной теореме компактного вложения Дубинского». Публикации Института математики (Белград) . Новая серия. 91 (105): 95–110. arXiv : 1101.1990 . дои : 10.2298/PIM1205095B . МР   2963813 . S2CID   12240189 .
• Бойер, Франк; Фабри, Пьер (2013). Математические инструменты для исследования уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости и связанных с ними моделей . Прикладные математические науки 183. Нью-Йорк: Springer. стр. 102–106. ISBN  978-1-4614-5975-0 . (Теорема II.5.16)
• Лайонс, Дж. Л. (1969). Некоторые методы решения нелинейных краевых задач . Париж: Дюно-Гаут. Город. МР   0259693 .
• Рубичек, Т. (2013). Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных с приложениями (2-е изд.). Базель: Биркхойзер. ISBN  978-3-0348-0512-4 . (Раздел 7.3)
• Шоуолтер, Ральф Э. (1997). Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных . Математические обзоры и монографии 49. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 106. ИСБН  0-8218-0500-2 . МР   1422252 . (Предложение III.1.3)
• Саймон, Дж. (1986). «Компактные множества в пространстве L ^п (O,T;B)» . Анналы чистой и прикладной математики . 146 : 65–96. : 10.1007 /BF01762360 . MR   0916688. . S2CID   123568207 doi
• Чен, X.; Юнгель, А.; Лю, Ж.-Г. (2014). «Заметка о леммах Обена-Льонса-Дубинского». Действующее приложение. Математика . Том. 133. С. 33–43. МР   3255076 .