n- й корень
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( октябрь 2022 г. ) |
В математике степени n-й корень из числа x — это число r (корень), которое, возведенное в степень положительного целого числа n , дает x :
Целое число n называется индексом или степенью , а число x , корень которого взят, является подкоренным выражением. Корень степени 2 называется квадратным корнем , а корень степени 3 — кубическим корнем . Корни более высокой степени обозначаются с помощью порядковых номеров , например, корень четвертой степени , корень двадцатой степени и т. д. Вычисление корня n- й степени представляет собой извлечение корня .
Например, 3 — это квадратный корень из 9 , поскольку 3 2 = 9 и −3 также является квадратным корнем из 9 , поскольку (−3) 2 = 9 .
Корень n-й степени из x записывается как используя радикальный символ или систему счисления . Квадратный корень обычно записывается без n как просто . Извлечение корня n-й степени из числа является обратной операцией, возведению в степень . [1] и может быть записан в виде дробного показателя:
Для положительного действительного числа x , обозначает положительный квадратный корень из x и обозначает положительный действительный n-й корень степени. Отрицательное действительное число — x не имеет действительных квадратных корней, но когда x рассматривается как комплексное число, оно имеет два мнимых квадратных корня, и , где i — мнимая единица .
В общем, любое ненулевое комплексное число имеет n различных комплексных корней n-й степени , равномерно распределенных по комплексному кругу постоянного абсолютного значения . ( Корень n -й степени из 0 равен нулю с кратностью n , и этот круг вырождается в точку.) Таким образом, извлечение корней n- й степени из комплексного числа x можно считать многозначной функцией . По соглашению главное значение этой функции называется главным корнем и обозначается принимается как корень n-й степени с наибольшей действительной частью, а в особом случае, когда x — отрицательное действительное число, корень с положительной мнимой частью . Таким образом, главный корень положительного действительного числа также является положительным действительным числом. Как функция главный корень непрерывен во всей комплексной плоскости , за исключением отрицательной вещественной оси.
Неразрешенный корень, особенно тот, в котором используется радикальный символ, иногда называют сурдом. [2] или радикал . [3] Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или корень более высокого порядка, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, оно называется алгебраическим выражением .
Арифметические операции | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Корни используются для определения радиуса сходимости степенного ряда с помощью корневого теста . Корни n- й степени из 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, таких как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .
История
[ редактировать ]Архаичный термин для обозначения операции извлечения n- корней го типа — радикация . [4] [5]
Определение и обозначения
[ редактировать ]Корень n-й степени из числа x , где n — целое положительное число, представляет собой любое из n действительных или комплексных чисел r, которого n- я степень равна x :
Каждое положительное действительное число x имеет единственный положительный корень n- й степени, называемый главным n- корнем й степени , который записывается . Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, и n опускается. Корень n-й степени также можно представить с помощью возведения в степень как x 1/н .
Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, а отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n- й степени. Например, −2 имеет действительный корень пятой степени, но −2 не имеет настоящих корней шестой степени.
Каждое ненулевое число x , вещественное или комплексное , имеет n различных комплексного числа n- корней й степени. (В случае, если x вещественный, в это число входят любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 — это 0.
Корни n- й степени почти всех чисел (все целые числа, кроме n -й степени, и все рациональные числа, кроме частных двух n -й степени) иррациональны . Например,
Все корни n-й степени рациональных чисел являются алгебраическими числами , а все n- корни й степени целых чисел являются целыми алгебраическими числами .
Термин «сурд» восходит к Аль-Хорезми ( ок. 825 ), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышимыми соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово أصم ( asamm , что означает «глухой» или «немой»), обозначающее иррациональное число , было переведено на латынь как surdus (что означает «глухой» или «немой»). Жерар Кремонский ( ок. 1150 ), Фибоначчи (1202), а затем Роберт Рекорд (1551) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений формы , в котором и являются целыми числами, и все выражение обозначает иррациональное число. [6] Иррациональные числа вида где рациональна, называются чистыми квадратичными иррационалами ; иррациональные числа вида , где и рациональны, называются смешанными квадратичными иррационалами . [7]
Квадратные корни
[ редактировать ]Квадратный корень из числа x — это число r , которое при возведении в квадрат становится x :
Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: один положительный и один отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком корня:
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицательен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет число, квадрат которого равен −1 .
Кубические корни
[ редактировать ]Кубический корень числа x — это число r которого , куб равен x :
Каждое действительное число x имеет ровно один действительный кубический корень, записанный . Например,
Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.
Личности и свойства
[ редактировать ]Выражая степень корня n-й степени в его показательной форме, как в , облегчает манипулирование силами и корнями. Если является неотрицательным действительным числом ,
Каждое неотрицательное число имеет ровно один неотрицательный действительный корень n-й степени, поэтому правила операций с иррациональными числами, включающими неотрицательные подкоренные числа, и являются прямыми в пределах действительных чисел:
Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n-й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:
но, скорее,
Поскольку правило строго справедливо только для неотрицательных действительных подкоренных чисел, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше.
Упрощенная форма радикального выражения
[ редактировать ]упрощенную форму Говорят, что невложенное радикальное выражение имеет , если ни один фактор подкоренного выражения не может быть записан в виде степени, большей или равной индексу; внутри знака корня нет дробей; и в знаменателе радикалов нет. [8]
Например, чтобы написать радикальное выражение в упрощенном виде можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его:
Далее идет дробь под знаком радикала, которую меняем следующим образом:
Наконец, удалим радикал из знаменателя следующим образом:
Когда есть знаменатель, включающий в себя иррациональные числа, всегда можно найти множитель, на который можно умножить и числитель, и знаменатель, чтобы упростить выражение. [9] [10] Например, используя факторизацию суммы двух кубов :
Упрощение радикальных выражений, включающих вложенные радикалы, может быть довольно трудным. В частности, разделение не всегда возможно, а когда это возможно, оно может включать в себя продвинутую теорию Галуа . Более того, когда полное выравнивание невозможно, не существует общей канонической формы , позволяющей проверить равенство двух чисел, просто глядя на их канонические выражения.
Например, не очевидно, что
Вышеупомянутое можно получить посредством:
Позволять , где p и q взаимно простые и положительные целые числа. Затем рационально тогда и только тогда, когда оба и являются целыми числами, что означает, что и p, и q являются n -ми степенями некоторого целого числа.
Бесконечная серия
[ редактировать ]Радикал или корень может быть представлен бесконечным рядом :
с . Это выражение можно вывести из биномиального ряда .
Вычисление главных корней
[ редактировать ]Используя метод Ньютона
[ редактировать ]Корень n-й степени из числа A можно вычислить с помощью метода Ньютона , который начинается с начального предположения x 0 , а затем повторяется с использованием рекуррентного соотношения
пока не будет достигнута желаемая точность. Для повышения эффективности вычислений рекуррентное соотношение обычно переписывают
Это позволяет иметь только одно возведение в степень и вычислить один раз для всех первый фактор каждого члена.
Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, мы подставляем n = 5, A = 34 и x 0 = 2 (первоначальное предположение). Первые 5 итераций примерно таковы:
(Показаны все правильные цифры.)
Приближение x 4 соответствует 25 десятичным знакам, а x 5 — 51.
Метод Ньютона можно модифицировать для получения различных обобщенных цепных дробей для корня n- й степени. Например,
Поразрядное вычисление главных корней десятичных (по основанию 10) чисел
[ редактировать ]Основываясь на поразрядном вычислении квадратного корня , можно увидеть, что используемая там формула: , или , следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Для корня n-й степени из числа определяется как значение элемента в ряд треугольника Паскаля такой, что , мы можем переписать выражение как . Для удобства назовем результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень можно вычислить по цифрам следующим образом.
Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму длинного деления , и, как и при длинном делении, в строке выше будет записан корень. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующие взятому корню, начиная с десятичной точки и идя влево и вправо. Десятичная точка корня будет находиться над десятичной точкой подкоренного выражения. Над каждой группой цифр исходного числа появится одна цифра корня.
Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:
- Начиная слева, снесите самую значащую (крайнюю левую) группу еще не использованных цифр (если все цифры были использованы, напишите «0» количество раз, необходимое для образования группы) и запишите их справа от остаток от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на и добавьте цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c .
- Найдите p и x следующим образом:
- Позволять быть частью найденного корня , игнорируя любую десятичную точку. (Для первого шага и ).
- Определить самую большую цифру такой, что .
- Поместите цифру в качестве следующей цифры корня, т. е. над группой цифр, которую вы только что нанесли. Таким образом, следующим p будет старое p, умноженное на 10 плюс x .
- Вычесть от чтобы образовался новый остаток.
- Если остаток равен нулю и больше нет цифр, которые нужно сбить, то алгоритм завершается. В противном случае вернитесь к шагу 1 для следующей итерации.
Примеры
[ редактировать ]Этот раздел необходимо отредактировать, чтобы Википедии он соответствовал Руководству по стилю . ( Апрель 2022 г. ) |
Найдите квадратный корень из 152,2756.
1 2. 3 4 / \/ 01 52.27 56 (Results) (Explanations) 01 x = 1 100·1·00·12 + 101·2·01·11 ≤ 1 < 100·1·00·22 + 101·2·01·21 01 y = 1 y = 100·1·00·12 + 101·2·01·11 = 1 + 0 = 1 00 52 x = 2 100·1·10·22 + 101·2·11·21 ≤ 52 < 100·1·10·32 + 101·2·11·31 00 44 y = 44 y = 100·1·10·22 + 101·2·11·21 = 4 + 40 = 44 08 27 x = 3 100·1·120·32 + 101·2·121·31 ≤ 827 < 100·1·120·42 + 101·2·121·41 07 29 y = 729 y = 100·1·120·32 + 101·2·121·31 = 9 + 720 = 729 98 56 x = 4 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤ 9856 < 100·1·1230·52 + 101·2·1231·51 98 56 y = 9856 y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840 = 9856 00 00
Алгоритм завершает работу: Ответ: 12,34.
Найдите кубический корень из числа 4192, округленный до тысячных.
1 6. 1 2 4 3 / \/ 004 192.000 000 000 (Results) (Explanations) 004 x = 1 100·1·00·13 + 101·3·01·12 + 102·3·02·11 ≤ 4 < 100·1·00·23 + 101·3·01·22 + 102·3·02·21 001 y = 1 y = 100·1·00·13 + 101·3·01·12 + 102·3·02·11 = 1 + 0 + 0 = 1 003 192 x = 6 100·1·10·63 + 101·3·11·62 + 102·3·12·61 ≤ 3192 < 100·1·10·73 + 101·3·11·72 + 102·3·12·71 003 096 y = 3096 y = 100·1·10·63 + 101·3·11·62 + 102·3·12·61 = 216 + 1,080 + 1,800 = 3,096 096 000 x = 1 100·1·160·13 + 101·3·161·12 + 102·3·162·11 ≤ 96000 < 100·1·160·23 + 101·3·161·22 + 102·3·162·21 077 281 y = 77281 y = 100·1·160·13 + 101·3·161·12 + 102·3·162·11 = 1 + 480 + 76,800 = 77,281 018 719 000 x = 2 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 ≤ 18719000 < 100·1·1610·33 + 101·3·1611·32 + 102·3·1612·31 015 571 928 y = 15571928 y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 = 8 + 19,320 + 15,552,600 = 15,571,928 003 147 072 000 x = 4 100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000 < 100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51
Желаемая точность достигнута. Кубический корень из 4192 равен 16,124...
Логарифмический расчет
[ редактировать ]Главный корень n-й степени из положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n-й степени из x , а именно если x положителен и, следовательно, его главный корень r также положителен, нужно логарифмировать обе части ( любое основание логарифма подойдет ), чтобы получить
Корень r восстанавливается путем взятия антилогарифма :
(Примечание: эта формула показывает b, возведенное в степень результата деления, а не b, умноженное на результат деления.)
В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один вещественный корень r , который также отрицателен. Это можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на -1, чтобы получить затем продолжаем, как и раньше, чтобы найти | r |, и используя r = −| р | .
Геометрическая конструктивность
[ редактировать ]Древнегреческие математики умели с помощью циркуля и линейки построить длину, равную квадратному корню из заданной длины, когда дана вспомогательная линия единичной длины. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины невозможно построить, если n не является степенью 2. [11]
Сложные корни
[ редактировать ]Каждое комплексное число , кроме 0, имеет n различных n-й корней степени.
Квадратные корни
[ редактировать ]Два квадратных корня комплексного числа всегда являются отрицательными по отношению друг к другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны
Если выразить комплексное число в полярной форме , то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол пополам:
Главный корень комплексного числа можно выбрать различными способами, например
который вводит разрез в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤ θ < 2 π или вдоль отрицательной вещественной оси с − π < θ ≤ π .
Используя первую (последнюю) ветвь, вырежьте главный квадратный корень. карты полуплоскости с неотрицательной мнимой (действительной) частью. Последнее сокращение ветки предполагается в математических программах, таких как Matlab или Scilab .
Корни единства
[ редактировать ]Число 1 имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости, а именно
где
Эти корни равномерно расположены вокруг единичной окружности в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и -1, а корни четвертой степени из единицы равны 1, , −1 и .
n-ные корни
[ редактировать ]Каждое комплексное число имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости. Это
где η — один корень n-й степени, а 1, ω , ω 2 , ... ой п -1 являются корнями n-й степени из единицы. Например, четыре различных корня четвертой степени из 2 равны
В полярной форме один корень n- й степени можно найти по формуле
Здесь r — величина (модуль, называемый также абсолютным значением ) числа, корень которого необходимо извлечь; если число можно записать как a+bi, то . Также, - угол, образующийся при повороте начала координат против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он обладает свойствами, которые и
Таким образом, поиск корней n-й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во-первых, величина всех корней n- й степени равна корню n- й степени из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом, идущим от начала координат до одного из корней n- й степени, равен , где — угол, определяемый таким же образом для числа, из которого извлекается корень. При этом все n степени корней n-й расположены под одинаковыми углами друг от друга.
Если n четно, корни n- й степени комплексного числа, число которых четное, образуют аддитивные обратные пары, так что если число r 1 является одним из n-й корней степени, то r 2 = – r 1 является другим. Это связано с тем, что возведение последнего коэффициента –1 в n -ю степень для четного n дает 1: то есть (– r 1 ) н = (–1) н × р 1 н = р 1 н .
Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет ветвь в точках, где θ / n разрывна.
Решение полиномов
[ редактировать ]Когда-то была высказана гипотеза , что все полиномиальные уравнения можно решить алгебраически (то есть, что все корни многочлена могут быть выражены через конечное число радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для полиномов третьей степени ( кубик ) и полиномов четвертой степени ( квартиков ), теорема Абеля-Руффини (1824 г.) показывает, что это в целом неверно, когда степень равна 5 или выше. Например, решения уравнения
не может быть выражено через радикалы. ( ср. уравнение пятой степени )
Доказательство иррациональности несовершенной n -й степени x
[ редактировать ]Предположим, что является рациональным. То есть его можно уменьшить до дроби , где a и b — целые числа без общего делителя.
Это означает, что .
Поскольку х — целое число, и должен иметь общий делитель, если . Это означает, что если , не в самой простой форме. Таким образом, b должно равняться 1.
С и , .
Это означает, что и таким образом, . Это означает, что является целым числом. Поскольку x не является идеальной n -й степенью, это невозможно. Таким образом иррационально.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ «Объяснение урока: n-ные корни: целые числа» . Проверено 22 июля 2023 г.
- ^ Бансал, РК (2006). Новый подход к математике CBSE IX . Публикации Лакшми. п. 25. ISBN 978-81-318-0013-3 .
- ^ Сильвер, Ховард А. (1986). Алгебра и тригонометрия . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-021270-2 .
- ^ «Определение РАДИКАЦИИ» . www.merriam-webster.com .
- ^ «радикация – определение радиации на английском языке в Оксфордских словарях» . Оксфордские словари . Архивировано из оригинала 3 апреля 2018 года.
- ^ Миллер, Джефф. «Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов» . Страницы математики . Проверено 30 ноября 2008 г.
- ^ Харди, GH (1921). Курс чистой математики (3-е изд.). Кембридж. §1.13 «Квадратичные числа» - §1.14, стр. 19–23.
- ^ МакКег, Чарльз П. (2011). Элементарная алгебра . Cengage Обучение. п. 470. ИСБН 978-0-8400-6421-9 .
- ^ Кавинесс, Б.Ф.; Фейтман, Р.Дж. «Упрощение радикальных выражений» (PDF) . Материалы симпозиума ACM 1976 года по символьным и алгебраическим вычислениям . п. 329.
- ^ Ричард, Зиппель (1985). «Упрощение выражений с участием радикалов». Журнал символических вычислений . 1 (189–210): 189–210. дои : 10.1016/S0747-7171(85)80014-6 .
- ^ Ванцель, М.Л. (1837). «Исследование способов определения того, можно ли решить задачу по геометрии с помощью линейки и циркуля» . Журнал чистой и прикладной математики . 1 (2): 366–372.