Jump to content

n- й корень

(Перенаправлено с N-го корня )

В математике степени n-й корень из числа x — это число r (корень), которое, возведенное в степень положительного целого числа n , дает x :

Целое число n называется индексом или степенью , а число x , корень которого взят, является подкоренным выражением. Корень степени 2 называется квадратным корнем , а корень степени 3 — кубическим корнем . Корни более высокой степени обозначаются с помощью порядковых номеров , например, корень четвертой степени , корень двадцатой степени и т. д. Вычисление корня n- й степени представляет собой извлечение корня .

Например, 3 — это квадратный корень из 9 , поскольку 3 2 = 9 и −3 также является квадратным корнем из 9 , поскольку (−3) 2 = 9 .

Корень n-й степени из x записывается как используя радикальный символ или систему счисления . Квадратный корень обычно записывается без n как просто . Извлечение корня n-й степени из числа является обратной операцией, возведению в степень . [1] и может быть записан в виде дробного показателя:

Для положительного действительного числа x , обозначает положительный квадратный корень из x и обозначает положительный действительный n-й корень степени. Отрицательное действительное число x не имеет действительных квадратных корней, но когда x рассматривается как комплексное число, оно имеет два мнимых квадратных корня, и , где i мнимая единица .

В общем, любое ненулевое комплексное число имеет n различных комплексных корней n-й степени , равномерно распределенных по комплексному кругу постоянного абсолютного значения . ( Корень n -й степени из 0 равен нулю с кратностью n , и этот круг вырождается в точку.) Таким образом, извлечение корней n- й степени из комплексного числа x можно считать многозначной функцией . По соглашению главное значение этой функции называется главным корнем и обозначается принимается как корень n-й степени с наибольшей действительной частью, а в особом случае, когда x — отрицательное действительное число, корень с положительной мнимой частью . Таким образом, главный корень положительного действительного числа также является положительным действительным числом. Как функция главный корень непрерывен во всей комплексной плоскости , за исключением отрицательной вещественной оси.

Неразрешенный корень, особенно тот, в котором используется радикальный символ, иногда называют сурдом. [2] или радикал . [3] Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или корень более высокого порядка, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, оно называется алгебраическим выражением .

Корни используются для определения радиуса сходимости степенного ряда с помощью корневого теста . Корни n- й степени из 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, таких как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .

Архаичный термин для обозначения операции извлечения n- корней го типа — радикация . [4] [5]

Определение и обозначения

[ редактировать ]
Четыре корня четвертой степени из −1,
ничего из этого не реально
Три корня третьей степени из −1,
один из которых является отрицательным действительным

Корень n-й степени из числа x , где n — целое положительное число, представляет собой любое из n действительных или комплексных чисел r, которого n- я степень равна x :

Каждое положительное действительное число x имеет единственный положительный корень n- й степени, называемый главным n- корнем й степени , который записывается . Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, и n опускается. Корень n-й степени также можно представить с помощью возведения в степень как x 1/н .

Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, а отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n- й степени. Например, −2 имеет действительный корень пятой степени, но −2 не имеет настоящих корней шестой степени.

Каждое ненулевое число x , вещественное или комплексное , имеет n различных комплексного числа n- корней й степени. (В случае, если x вещественный, в это число входят любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 — это 0.

Корни n- й степени почти всех чисел (все целые числа, кроме n -й степени, и все рациональные числа, кроме частных двух n -й степени) иррациональны . Например,

Все корни n-й степени рациональных чисел являются алгебраическими числами , а все n- корни й степени целых чисел являются целыми алгебраическими числами .

Термин «сурд» восходит к Аль-Хорезми ( ок. 825 ), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышимыми соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово أصم ( asamm , что означает «глухой» или «немой»), обозначающее иррациональное число , было переведено на латынь как surdus (что означает «глухой» или «немой»). Жерар Кремонский ( ок. 1150 ), Фибоначчи (1202), а затем Роберт Рекорд (1551) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений формы , в котором и являются целыми числами, и все выражение обозначает иррациональное число. [6] Иррациональные числа вида где рациональна, называются чистыми квадратичными иррационалами ; иррациональные числа вида , где и рациональны, называются смешанными квадратичными иррационалами . [7]

Квадратные корни

[ редактировать ]
График .

Квадратный корень из числа x — это число r , которое при возведении в квадрат становится x :

Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: один положительный и один отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком корня:

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицательен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет число, квадрат которого равен −1 .

Кубические корни

[ редактировать ]
График .

Кубический корень числа x — это число r которого , куб равен x :

Каждое действительное число x имеет ровно один действительный кубический корень, записанный . Например,

Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.

Личности и свойства

[ редактировать ]

Выражая степень корня n-й степени в его показательной форме, как в , облегчает манипулирование силами и корнями. Если является неотрицательным действительным числом ,

Каждое неотрицательное число имеет ровно один неотрицательный действительный корень n-й степени, поэтому правила операций с иррациональными числами, включающими неотрицательные подкоренные числа, и являются прямыми в пределах действительных чисел:

Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n-й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:

но, скорее,

Поскольку правило строго справедливо только для неотрицательных действительных подкоренных чисел, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше.

Упрощенная форма радикального выражения

[ редактировать ]

упрощенную форму Говорят, что невложенное радикальное выражение имеет , если ни один фактор подкоренного выражения не может быть записан в виде степени, большей или равной индексу; внутри знака корня нет дробей; и в знаменателе радикалов нет. [8]

Например, чтобы написать радикальное выражение в упрощенном виде можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его:

Далее идет дробь под знаком радикала, которую меняем следующим образом:

Наконец, удалим радикал из знаменателя следующим образом:

Когда есть знаменатель, включающий в себя иррациональные числа, всегда можно найти множитель, на который можно умножить и числитель, и знаменатель, чтобы упростить выражение. [9] [10] Например, используя факторизацию суммы двух кубов :

Упрощение радикальных выражений, включающих вложенные радикалы, может быть довольно трудным. В частности, разделение не всегда возможно, а когда это возможно, оно может включать в себя продвинутую теорию Галуа . Более того, когда полное выравнивание невозможно, не существует общей канонической формы , позволяющей проверить равенство двух чисел, просто глядя на их канонические выражения.

Например, не очевидно, что

Вышеупомянутое можно получить посредством:

Позволять , где p и q взаимно простые и положительные целые числа. Затем рационально тогда и только тогда, когда оба и являются целыми числами, что означает, что и p, и q являются n -ми степенями некоторого целого числа.

Бесконечная серия

[ редактировать ]

Радикал или корень может быть представлен бесконечным рядом :

с . Это выражение можно вывести из биномиального ряда .

Вычисление главных корней

[ редактировать ]

Используя метод Ньютона

[ редактировать ]

Корень n-й степени из числа A можно вычислить с помощью метода Ньютона , который начинается с начального предположения x 0 , а затем повторяется с использованием рекуррентного соотношения

пока не будет достигнута желаемая точность. Для повышения эффективности вычислений рекуррентное соотношение обычно переписывают

Это позволяет иметь только одно возведение в степень и вычислить один раз для всех первый фактор каждого члена.

Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, мы подставляем n = 5, A = 34 и x 0 = 2 (первоначальное предположение). Первые 5 итераций примерно таковы:

х 0 = 2 1
х 1 = 2,025
х 2 = 2,02439 7...
х 3 = 2,02439 7458...
х 4 = 2,02439 74584 99885 04251 08172...
х 5 = 2,02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...

(Показаны все правильные цифры.)

Приближение x 4 соответствует 25 десятичным знакам, а x 5 — 51.

Метод Ньютона можно модифицировать для получения различных обобщенных цепных дробей для корня n- й степени. Например,

Поразрядное вычисление главных корней десятичных (по основанию 10) чисел

[ редактировать ]
Треугольник Паскаля, показывающий .

Основываясь на поразрядном вычислении квадратного корня , можно увидеть, что используемая там формула: , или , следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Для корня n-й степени из числа определяется как значение элемента в ряд треугольника Паскаля такой, что , мы можем переписать выражение как . Для удобства назовем результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень можно вычислить по цифрам следующим образом.

Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму длинного деления , и, как и при длинном делении, в строке выше будет записан корень. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующие взятому корню, начиная с десятичной точки и идя влево и вправо. Десятичная точка корня будет находиться над десятичной точкой подкоренного выражения. Над каждой группой цифр исходного числа появится одна цифра корня.

Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:

  1. Начиная слева, снесите самую значащую (крайнюю левую) группу еще не использованных цифр (если все цифры были использованы, напишите «0» количество раз, необходимое для образования группы) и запишите их справа от остаток от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на и добавьте цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c .
  2. Найдите p и x следующим образом:
    • Позволять быть частью найденного корня , игнорируя любую десятичную точку. (Для первого шага и ).
    • Определить самую большую цифру такой, что .
    • Поместите цифру в качестве следующей цифры корня, т. е. над группой цифр, которую вы только что нанесли. Таким образом, следующим p будет старое p, умноженное на 10 плюс x .
  3. Вычесть от чтобы образовался новый остаток.
  4. Если остаток равен нулю и больше нет цифр, которые нужно сбить, то алгоритм завершается. В противном случае вернитесь к шагу 1 для следующей итерации.

Найдите квадратный корень из 152,2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56          (Results)    (Explanations)
    
         01                   x = 1        100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21
         01                   y = 1        y = 100·1·00·12   + 101·2·01·11   =  1 +    0   =     1
         00 52                x = 2        100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31
         00 44                y = 44       y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44
            08 27             x = 3        100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41
            07 29             y = 729      y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729
               98 56          x = 4        100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51
               98 56          y = 9856     y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856
               00 00

Алгоритм завершает работу: Ответ: 12,34.

Найдите кубический корень из числа 4192, округленный до тысячных.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000          (Results)    (Explanations)
    
      004                          x = 1        100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21
      001                          y = 1        y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                      x = 6        100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71
      003 096                      y = 3096     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000                  x = 1        100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21
          077 281                  y = 77281    y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000              x = 2        100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31
              015 571 928          y = 15571928 y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000      x = 4        100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51

Желаемая точность достигнута. Кубический корень из 4192 равен 16,124...

Логарифмический расчет

[ редактировать ]

Главный корень n-й степени из положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n-й степени из x , а именно если x положителен и, следовательно, его главный корень r также положителен, нужно логарифмировать обе части ( любое основание логарифма подойдет ), чтобы получить

Корень r восстанавливается путем взятия антилогарифма :

(Примечание: эта формула показывает b, возведенное в степень результата деления, а не b, умноженное на результат деления.)

В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один вещественный корень r , который также отрицателен. Это можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на -1, чтобы получить затем продолжаем, как и раньше, чтобы найти | r |, и используя r = −| р | .

Геометрическая конструктивность

[ редактировать ]

Древнегреческие математики умели с помощью циркуля и линейки построить длину, равную квадратному корню из заданной длины, когда дана вспомогательная линия единичной длины. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины невозможно построить, если n не является степенью 2. [11]

Сложные корни

[ редактировать ]

Каждое комплексное число , кроме 0, имеет n различных n-й корней степени.

Квадратные корни

[ редактировать ]
Квадратные корни из i

Два квадратных корня комплексного числа всегда являются отрицательными по отношению друг к другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны

Если выразить комплексное число в полярной форме , то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол пополам:

Главный корень комплексного числа можно выбрать различными способами, например

который вводит разрез в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤ θ < 2 π или вдоль отрицательной вещественной оси с π < θ π .

Используя первую (последнюю) ветвь, вырежьте главный квадратный корень. карты полуплоскости с неотрицательной мнимой (действительной) частью. Последнее сокращение ветки предполагается в математических программах, таких как Matlab или Scilab .

Корни единства

[ редактировать ]
Три третьего корня из 1

Число 1 имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости, а именно

где

Эти корни равномерно расположены вокруг единичной окружности в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и -1, а корни четвертой степени из единицы равны 1, , −1 и .

n-ные корни

[ редактировать ]
Геометрическое представление корней со 2-й по 6-ю комплексного числа z в полярной форме re где р = | г | и φ = arg z . Если z действительно, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Каждое комплексное число имеет n различных корней n-й степени в комплексной плоскости. Это

где η — один корень n-й степени, а 1, ω , ω 2 , ... ой п -1 являются корнями n-й степени из единицы. Например, четыре различных корня четвертой степени из 2 равны

В полярной форме один корень n- й степени можно найти по формуле

Здесь r — величина (модуль, называемый также абсолютным значением ) числа, корень которого необходимо извлечь; если число можно записать как a+bi, то . Также, - угол, образующийся при повороте начала координат против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он обладает свойствами, которые и

Таким образом, поиск корней n-й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во-первых, величина всех корней n- й степени равна корню n- й степени из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом, идущим от начала координат до одного из корней n- й степени, равен , где — угол, определяемый таким же образом для числа, из которого извлекается корень. При этом все n степени корней n-й расположены под одинаковыми углами друг от друга.

Если n четно, корни n- й степени комплексного числа, число которых четное, образуют аддитивные обратные пары, так что если число r 1 является одним из n-й корней степени, то r 2 = – r 1 является другим. Это связано с тем, что возведение последнего коэффициента –1 в n -ю степень для четного n дает 1: то есть (– r 1 ) н = (–1) н × р 1 н = р 1 н .

Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет ветвь в точках, где θ / n разрывна.

Решение полиномов

[ редактировать ]

Когда-то была высказана гипотеза , что все полиномиальные уравнения можно решить алгебраически (то есть, что все корни многочлена могут быть выражены через конечное число радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для полиномов третьей степени ( кубик ) и полиномов четвертой степени ( квартиков ), теорема Абеля-Руффини (1824 г.) показывает, что это в целом неверно, когда степень равна 5 или выше. Например, решения уравнения

не может быть выражено через радикалы. ( ср. уравнение пятой степени )

Доказательство иррациональности несовершенной n -й степени x

[ редактировать ]

Предположим, что является рациональным. То есть его можно уменьшить до дроби , где a и b — целые числа без общего делителя.

Это означает, что .

Поскольку х — целое число, и должен иметь общий делитель, если . Это означает, что если , не в самой простой форме. Таким образом, b должно равняться 1.

С и , .

Это означает, что и таким образом, . Это означает, что является целым числом. Поскольку x не является идеальной n -й степенью, это невозможно. Таким образом иррационально.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ «Объяснение урока: n-ные корни: целые числа» . Проверено 22 июля 2023 г.
  2. ^ Бансал, РК (2006). Новый подход к математике CBSE IX . Публикации Лакшми. п. 25. ISBN  978-81-318-0013-3 .
  3. ^ Сильвер, Ховард А. (1986). Алгебра и тригонометрия . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  978-0-13-021270-2 .
  4. ^ «Определение РАДИКАЦИИ» . www.merriam-webster.com .
  5. ^ «радикация – определение радиации на английском языке в Оксфордских словарях» . Оксфордские словари . Архивировано из оригинала 3 апреля 2018 года.
  6. ^ Миллер, Джефф. «Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов» . Страницы математики . Проверено 30 ноября 2008 г.
  7. ^ Харди, GH (1921). Курс чистой математики (3-е изд.). Кембридж. §1.13 «Квадратичные числа» - §1.14, стр. 19–23.
  8. ^ МакКег, Чарльз П. (2011). Элементарная алгебра . Cengage Обучение. п. 470. ИСБН  978-0-8400-6421-9 .
  9. ^ Кавинесс, Б.Ф.; Фейтман, Р.Дж. «Упрощение радикальных выражений» (PDF) . Материалы симпозиума ACM 1976 года по символьным и алгебраическим вычислениям . п. 329.
  10. ^ Ричард, Зиппель (1985). «Упрощение выражений с участием радикалов». Журнал символических вычислений . 1 (189–210): 189–210. дои : 10.1016/S0747-7171(85)80014-6 .
  11. ^ Ванцель, М.Л. (1837). «Исследование способов определения того, можно ли решить задачу по геометрии с помощью линейки и циркуля» . Журнал чистой и прикладной математики . 1 (2): 366–372.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7d0e25bec7309beb9ac6443c13426fc5__1719195240
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/7d/c5/7d0e25bec7309beb9ac6443c13426fc5.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
nth root - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)