−1

Эта статья о числе. Чтобы узнать о других значениях, см. −1 (значения) .

← −2 −1 0 →
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → Список номеров Целые числа ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Кардинал	−1, минус один , отрицательный один
Порядковый номер	−1-й (сначала отрицательный)
Делители	1
арабский	− ١
Китайская цифра	Отрицательный, отрицательный, отрицательный.
Бенгальский	− ১
Двоичный ( байтовый )	С&М : 100000001 2 2сС : 11111111 2
Шестнадцатеричный ( байт )	С&М : 0x101 16 2сС : 0xFF 16

В математике большее -1 ( отрицательная единица или минус один ) — это аддитивное число, обратное 1 , то есть число, которое при добавлении к 1 дает аддитивный единичный элемент, 0. Это отрицательное целое число, отрицательных двух (-2). и меньше 0 .

Алгебраические свойства

Умножение

Дополнительная информация: Аддитивное обратное.

Умножение числа на −1 эквивалентно изменению знака числа, то есть для любого x имеем (−1) ⋅ x = − x . Это можно доказать, используя распределительный закон и аксиому о том, что 1 является мультипликативным тождеством :

Икс + (-1) ⋅ Икс знак равно 1 ⋅ Икс + (-1) ⋅ Икс знак равно (1 + (-1)) ⋅ Икс знак равно 0 ⋅ Икс знак равно 0 .

Здесь мы воспользовались тем фактом, что любое число x, умноженное на 0, равно 0, что следует из сокращения из уравнения

0 ⋅ Икс знак равно (0 + 0) ⋅ Икс знак равно 0 ⋅ Икс + 0 ⋅ Икс .

0, 1, −1, i и − i в комплексной или декартовой плоскости

Другими словами,

Икс + (−1) ⋅ Икс знак равно 0 ,

поэтому (−1) ⋅ x является аддитивной инверсией x , т.е. (−1) ⋅ x = − x , как и должно было быть показано.

Квадрат −1

Квадрат . −1, то есть −1, умноженный на −1, равен 1. Как следствие, произведение двух отрицательных чисел является положительным

Алгебраическое доказательство этого результата начнём с уравнения

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] .

Первое равенство следует из приведенного выше результата, а второе следует из определения −1 как аддитивной обратной единицы: это именно то число, которое при добавлении к 1 дает 0. Теперь, используя закон распределения, можно увидеть, что

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1) .

Третье равенство следует из того, что 1 — мультипликативное тождество. Но теперь добавление 1 к обеим частям этого последнего уравнения означает, что

(−1) ⋅ (−1) = 1 .

Приведенные выше аргументы справедливы для любого кольца — концепции абстрактной алгебры, обобщающей целые и действительные числа .

Квадратные корни из −1

нет Хотя действительных квадратных корней из −1 , комплексное число i удовлетворяет i ² = −1 , и поэтому его можно рассматривать как квадратный корень из −1. Единственное другое комплексное число, квадрат которого равен -1, это - i, потому что из любого ненулевого комплексного числа имеется ровно два квадратных корня, что следует из фундаментальной теоремы алгебры . В алгебре кватернионов , где фундаментальная теорема не применяется, которая содержит комплексные числа, уравнение x ² = −1 имеет бесконечно много решений .

Обратные и обратимые элементы

Обратная функция f ( x ) = x ⁻¹ где для каждого x, кроме 0, f ( x ) представляет его мультипликативную обратную величину

Возведение в степень ненулевого действительного числа можно распространить на отрицательные целые числа , где возведение числа в степень -1 имеет тот же эффект, что и возведение его мультипликативного обратного значения :

х ⁻¹ = ⁠ 1 / x ⁠ .

Затем это определение применяется к отрицательным целым числам, сохраняя экспоненциальный закон x ^а х ^б = х ^{( а + б )} для действительных чисел a и b .

−1 Верхний индекс в f ⁻¹ ( x ) принимает обратную функцию f ( ( x ) , где ( f ) x ) ⁻¹ конкретно обозначает поточечную обратную величину. Если f является биективным, определяющим выходную кодовую область каждого y ∈ Y   из каждой входной области x ∈ X , будет

ж ⁻¹ ( f ( x )) = x , и   f ⁻¹ ( ж ( у )) знак равно у .

Когда подмножество кодомена указано внутри функции f , его инверсия даст обратный образ или прообраз этого подмножества в функции.

Кольца

Возведение в степень до отрицательных целых чисел можно расширить до обратимых элементов кольца, определив x ⁻¹ как мультипликативный обратный x ; в этом контексте эти элементы считаются единицами .

В полиномиальной области F [ x ] над любым полем F многочлен x не имеет обратного. Если бы у него действительно было обратное q ( x ) , тогда было бы

Икс q ( Икс ) знак равно 1 ⇒ град ( Икс ) град q + ( Икс ) ) = град ( ( 1)

                 ⇒ 1 + град ( q ( x )) = 0

                 ⇒ град ( q ( x )) = -1

что невозможно, и, следовательно, F [ x ] не является полем. Точнее, поскольку полином не является непрерывным он не является единицей в F. ,

Использование

Последовательности

Целочисленные последовательности обычно используют -1 для представления несчетного множества вместо « ∞ » как значения, полученного из данного индекса .

Например, количество правильных выпуклых многогранников в n -мерном пространстве равно:

{1, 1, −1, 5, 6, 3, 3, ...} для n = {0, 1, 2, ...} (последовательность A060296 в OEIS ).

-1 также может использоваться как нулевое значение из индекса, который дает пустой набор ∅ или нецелое число , если общее выражение, описывающее последовательность , не удовлетворяется или не встречается.

Например, наименьшее k > 1 такое, что в интервале 1... k находится столько же целых чисел, которые имеют ровно вдвое n делителей , сколько простых чисел :

{2, 27, −1, 665, −1, 57675, −1, 57230, −1} для n = {1, 2, ..., 9} (последовательность A356136 в OEIS ).

Нецелочисленный или пустой элемент часто обозначается 0 также .

Вычисление

В разработке программного обеспечения -1 является общим начальным значением для целых чисел и также используется, чтобы показать, что переменная не содержит полезной информации .

См. также

• Сбалансированный тройной
• Теорема Менелая