деление пополам

Линия DE делит пополам линию AB в точке D, линия EF является биссектрисой отрезка AD в точке C, а линия EF является внутренней биссектрисой прямого угла AED.

В геометрии бисекция — это разделение чего-либо на две равные или конгруэнтные части (имеющие одинаковую форму и размер). Обычно это включает в себя биссектрису , также называемую биссектрисой . Наиболее часто рассматриваемыми видами биссектрис являются биссектриса отрезка проходящая через середину данного отрезка , и биссектриса угла — линия, проходящая через вершину угла — линия , (делящая его на два равных угла).В трехмерном пространстве обычно выполняется биссектрисой деление пополам , также называемой биссектрисой .

Биссектриса перпендикулярного отрезка

Определение

Биссектриса отрезка прямой — это линия, которая перпендикулярно пересекает отрезок в его средней точке .
Биссектриса отрезка прямой $AB$ также обладает тем свойством, что каждая его точка $X$ равноудален от концов сегмента AB:

(Д) $\quad |XA|=|XB|$ .

Доказательство следует из и теорема Пифагора :

|XA|^{2}=|XM|^{2}+|MA|^{2}=|XM|^{2}+|MB|^{2}=|XB|^{2}\;.

Свойство (D) обычно используют для построения биссектрисы:

Построение с помощью линейки и циркуля

В классической геометрии биссекция представляет собой простую конструкцию циркуля и линейки , возможность которой зависит от умения рисовать дуги равных радиусов и разных центров:

Сегмент $AB$ делится пополам путем рисования пересекающихся кругов одинакового радиуса $r>{\tfrac {1}{2}}|AB|$ , центры которого являются концами отрезка. Линия, определяемая точками пересечения двух окружностей, является серединным перпендикуляром отрезка.
Потому что построение биссектрисы осуществляется без знания середины отрезка. $M$ , конструкция используется для определения $M$ как пересечение биссектрисы и отрезка.

Эта конструкция фактически используется при построении линии, перпендикулярной данной прямой. $g$ в данный момент $P$ : рисование круга, центр которого находится $P$ так, что она пересекает линию $g$ в двух точках $A,B$ , а перпендикуляр, который нужно построить, — это один биссектрисный отрезок $AB$ .

Уравнения

Если ${\vec {a}},{\vec {b}}$ — векторы положения двух точек $A,B$ , то его середина равна $M:{\vec {m}}={\tfrac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}$ и вектор ${\vec {a}}-{\vec {b}}$ - вектор нормали к биссектрисе перпендикулярного отрезка. Следовательно, его векторное уравнение имеет вид $({\vec {x}}-{\vec {m}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})=0$ . Вставка ${\vec {m}}=\cdots$ и расширение уравнения приводит к векторному уравнению

(V) $\quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).$

С $A=(a_{1},a_{2}),B=(b_{1},b_{2})$ получаем уравнение в координатной форме:

(С) $\quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2})\;.$

Или явно:
(И) $\quad y=m(x-x_{0})+y_{0}$ ,
где $\;m=-{\tfrac {b_{1}-a_{1}}{b_{2}-a_{2}}}$ , $\;x_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{1}+b_{1})\;$ , и $\;y_{0}={\tfrac {1}{2}}(a_{2}+b_{2})\;$ .

Приложения

Биссектрисы перпендикулярных отрезков использовались при решении различных геометрических задач:

Построение центра фалесова круга ,
Построение центра вписанной окружности треугольника,
Границы диаграммы Вороного состоят из отрезков таких линий или плоскостей.

Биссектрисы перпендикулярных отрезков в пространстве

Биссектриса отрезка прямой представляет собой плоскость , которая перпендикулярно пересекает отрезок в его средней точке .

Его векторное уравнение буквально такое же, как и в плоском случае:

(V) $\quad {\vec {x}}\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\tfrac {1}{2}}({\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}).$

С $A=(a_{1},a_{2},a_{3}),B=(b_{1},b_{2},b_{3})$ получаем уравнение в координатной форме:

(С3) $\quad (a_{1}-b_{1})x+(a_{2}-b_{2})y+(a_{3}-b_{3})z={\tfrac {1}{2}}(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+a_{2}^{2}-b_{2}^{2}+a_{3}^{2}-b_{3}^{2})\;.$

Свойство (D) (см. выше) буквально справедливо и в пространстве:
(D) Серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ имеет для любой точки $X$ собственность: $\;|XA|=|XB|$ .

Биссектриса угла

Разделение угла пополам с помощью циркуля и линейки.

Биссектриса равных делит угол на два угла . Угол имеет только одну биссектрису. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла.

«Внутренняя» или «внутренняя биссектриса» угла — это линия, полупрямая или отрезок, который делит угол меньше 180 ° на два равных угла. «Внешняя» или «внешняя биссектриса» — это линия, которая делит дополнительный угол (180 ° минус исходный угол), образованный одной стороной, образующей исходный угол, и продолжением другой стороны, на два равных угла. ^[1]

Чтобы разделить угол пополам с помощью линейки и циркуля , нужно нарисовать круг, центром которого является вершина. Окружность пересекает угол в двух точках: по одной на каждой ноге. Используя каждую из этих точек в качестве центра, нарисуйте два круга одинакового размера. Пересечение окружностей (двух точек) определяет линию, которая является биссектрисой угла.

Доказательство корректности этой конструкции достаточно интуитивно понятно и опирается на симметрию задачи. Трисекции угла (разделения его на три равные части) невозможно добиться с помощью одного лишь циркуля и линейки (впервые это доказал Пьер Ванцель ).

Внутренняя и внешняя биссектрисы угла перпендикулярны . Если угол образован двумя прямыми, заданными алгебраически как $l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0$ и $l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0,$ тогда внутренняя и внешняя биссектрисы задаются двумя уравнениями ^[2]^{: стр. 15}

{\frac {l_{1}x+m_{1}y+n_{1}}{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}}}}=\pm {\frac {l_{2}x+m_{2}y+n_{2}}{\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}}}}.

Треугольник

Параллелизмы и коллинеарности

Биссектрисы двух внешних углов и биссектриса другого внутреннего угла совпадают. ^[3]^{: стр.149}

Три точки пересечения, каждая из которых представляет собой биссектрису внешнего угла с противоположной расширенной стороной , коллинеарны (падают на одну и ту же прямую). ^[3]^{: с. 149}

Три точки пересечения, две из них между биссектрисой внутреннего угла и противоположной стороной, а третья между биссектрисой другого внешнего угла и продолженной противоположной стороной, лежат на одной прямой. ^[3]^{: с. 149}

Теорема о биссектрисе угла

Теорема о биссектрисе угла касается относительных длин двух сегментов, на которые разделена сторона треугольника линией, делящей противоположный угол пополам. Он приравнивает их относительные длины к относительным длинам двух других сторон треугольника.

Длина

Если длины сторон треугольника равны $a,b,c$ , полупериметр $s=(a+b+c)/2,$ а А - угол, противоположный стороне $a$ , то длина внутренней биссектрисы угла A равна ^[3]^{: с. 70}

{\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}},

или в тригонометрических терминах, ^[4]

{\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}}.

Если внутренняя биссектриса угла А в треугольнике АВС имеет длину $t_{a}$ и если эта биссектриса делит сторону, противоположную А, на отрезки длин m и n , то ^[3]^{: стр.70}

t_{a}^{2}+mn=bc

где b и c — длины сторон, противоположных вершинам B и C; а сторона, противоположная А, делится в пропорции b : c .

Если внутренние биссектрисы углов A, B и C имеют длины $t_{a},t_{b},$ и $t_{c}$ , затем ^[5]

{\frac {(b+c)^{2}}{bc}}t_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}t_{b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}t_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.

Никакие два неконгруэнтных треугольника не имеют одного и того же набора из трех длин биссектрис внутренних углов. ^[6]^[7]

Целочисленные треугольники

Существуют целочисленные треугольники с рациональной биссектрисой .

Четырехугольник

Внутренние биссектрисы выпуклого четырехугольника либо образуют вписанный четырехугольник (то есть четыре точки пересечения соседних биссектрис солежащие ), ^[8] или они одновременно . В последнем случае четырехугольник является касательным четырехугольником .

Ромб

Каждая диагональ ромба делит противоположные углы пополам.

Экстангенциальный четырехугольник

Эксцентр эксцентрального четырехугольника лежит на пересечении шести биссектрис. Это биссектрисы внутреннего угла при двух противоположных углах при вершине, биссектрисы внешнего угла (биссектрисы дополнительных углов) при двух других углах при вершине и биссектрисы внешнего угла при углах, образующихся при пересечении продолжений противоположных сторон .

Парабола

Касательная к параболе перпендикулярной в любой точке делит пополам угол между линией, соединяющей точку с фокусом, и линией, идущей от точки и директрисе .

Биссектрисы сторон многоугольника

Треугольник

медианы

Каждая из трех медиан треугольника представляет собой отрезок, проходящий через одну вершину и середину противоположной стороны, поэтому он делит эту сторону пополам (хотя, как правило, не перпендикулярно). Три медианы пересекаются друг с другом в точке, называемой центроидом треугольника , которая является его центром масс, если он имеет однородную плотность; таким образом, любая линия, проходящая через центр тяжести треугольника и одну из его вершин, делит противоположную сторону пополам. Центр тяжести находится в два раза ближе к середине любой стороны, чем к противоположной вершине.

Перпендикулярные биссектрисы

Внутренний перпендикуляр, биссектриса стороны треугольника — это отрезок, полностью попадающий на треугольник и внутри него, линии, которая перпендикулярно делит эту сторону пополам. Три биссектрисы трех сторон треугольника пересекаются в центре описанной окружности (центре окружности, проходящей через три вершины). Таким образом, любая линия, проходящая через центр описанной окружности треугольника и перпендикулярная стороне, делит эту сторону пополам.

В остроугольном треугольнике центр описанной окружности делит внутренние серединные перпендикуляры двух кратчайших сторон в равных пропорциях. В тупоугольном треугольнике серединные перпендикуляры двух кратчайших сторон (выходящие за пределы противоположных сторон треугольника до центра описанной окружности) делятся на соответствующие пересекающиеся стороны треугольника в равных пропорциях. ^[9]^{: Следствия 5 и 6.}

Для любого треугольника внутренние серединные перпендикуляры определяются выражением $p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ $p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ и $p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},$ где стороны $a\geq b\geq c$ и площадь $T.$ ^[9]^{: Вопрос 2}

Четырехугольник

Две бимедианы выпуклого . четырехугольника — это отрезки, которые соединяют середины противоположных сторон и, следовательно, делят пополам две стороны Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, совпадают в точке, называемой «центроидом вершины», и все делятся этой точкой пополам. ^[10]^{: стр. 125}

Четыре «высоты» выпуклого четырехугольника представляют собой перпендикуляры к стороне, проходящие через середину противоположной стороны, следовательно, делящие последнюю сторону пополам. Если четырехугольник циклический (вписан в круг), эти степени совпадают (все встречаются в) в общей точке, называемой «антицентром».

Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник ортодиагонален (то есть имеет перпендикулярные диагонали ), то перпендикуляр к стороне, проходящей из точки пересечения диагоналей, всегда делит противоположную сторону пополам.

Конструкция перпендикуляр-биссектриса образует четырехугольник из серединных перпендикуляров сторон другого четырехугольника.

Биссектрисы площади и биссектрисы периметра

Треугольник

Существует бесконечное количество линий, делящих площадь треугольника пополам . Три из них являются медианами треугольника (которые соединяют середины сторон с противоположными вершинами), и они совпадают треугольника в центроиде ; действительно, это единственные биссектрисы площади, проходящие через центр тяжести. Три другие биссектрисы параллельны сторонам треугольника; каждая из них пересекает две другие стороны так, чтобы разделить их на сегменты с пропорциями ${\sqrt {2}}+1:1$ . ^[11] Эти шесть линий одновременно совпадают по три: помимо того, что три медианы совпадают, любая медиана совпадает с двумя биссектрисами параллельной площади.

Огибающая (в широком смысле определяемый как фигура с тремя вершинами, соединенными кривыми , бесконечности биссектрис площадей представляет собой дельтоид вогнутыми к внешней стороне дельтоиды, что делает внутренние точки невыпуклым множеством). ^[11] Вершины дельтовидных мышц находятся на серединах медиан; все точки внутри дельтовидной мышцы находятся на трех разных биссектрисах, а все точки за ее пределами - только на одной. [1] Стороны дельтоида представляют собой дуги гипербол расширенным , асимптотические сторонам треугольника. ^[11] Отношение площади огибающей биссектрис к площади треугольника инвариантно для всех треугольников и равно ${\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},$ т.е. 0,019860... или менее 2%.

Кливер треугольника — это отрезок, который делит периметр треугольника пополам и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Три скалывателя совпадают (все проходят через) в центре круга Шпикера , который является вписанной окружностью медиального треугольника . Кливеры параллельны биссектрисам угла.

Разветвитель треугольника — это отрезок линии, имеющий одну конечную точку в одной из трех вершин треугольника и делящий периметр пополам. Три разделителя совпадают в точке Нагеля треугольника.

Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности ) . В любом треугольнике их может быть один, два или три. Линия, проходящая через центр, делит пополам одну область или периметр тогда и только тогда, когда она также делит пополам другую. ^[12]

Параллелограмм

Любая прямая, проходящая через середину параллелограмма , делит площадь пополам. ^[11] и периметр.

Круг и эллипс

Все биссектрисы площади и биссектрисы периметра круга или другого эллипса проходят через центр , а любые хорды, проходящие через центр, делят площадь и периметр пополам. В случае круга это диаметры круга.

Биссектрисы диагоналей

Параллелограмм

Диагонали . параллелограмма делят друг друга пополам

Четырехугольник

Если отрезок, соединяющий диагонали четырехугольника, делит обе диагонали пополам, то этот отрезок ( линия Ньютона ) сам делится пополам центроидом вершины.

Биссектрисы объёма

Плоскость, разделяющая два противоположных ребра тетраэдра в заданном соотношении, делит и объем тетраэдра в том же отношении. Таким образом, любая плоскость, содержащая бимедиану (соединитель середин противоположных ребер) тетраэдра, делит объем тетраэдра пополам. ^[13]^[14]^{: стр.89–90.}

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Биссектриса внешнего угла». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
^ Испания, Барри. Аналитическая коника , Dover Publications, 2007 г. (исходник: 1957 г.).
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (исходник: 1929).
^ Оксман, Виктор. «О существовании треугольников с заданными длинами одной стороны и двух смежных биссектрис», Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
^ Саймонс, Стюарт. Математический вестник 93, март 2009 г., стр. 115–116.
^ Миронеску П. и Панайтополь Л., «Существование треугольника с заданной длиной биссектрисы», American Mathematical Monthly 101 (1994): 58–60.
^ Оксман, Виктор, «Чисто геометрическое доказательство уникальности треугольника с предписанными биссектрисами», Forum Geometricorum 8 (2008): 197–200.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Quadri Lateral.html
^ Перейти обратно: ^а ^б Митчелл, Дуглас В. (2013), «Биссектрисы сторон треугольника», Forum Geometricorum 13, 53–59. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf
^ Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publ., 2007.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Данн, Джас. А.; Красиво, Джас. Э. (май 1972 г.). «Разделение треугольника пополам». Математический вестник . 56 (396): 105–108. дои : 10.2307/3615256 . JSTOR 3615256 .
^ Кодокостас, Димитриос, «Треугольные эквалайзеры», журнал Mathematics Magazine 83, апрель 2010 г., стр. 141–146.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдр». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
^ Альтшиллер-Корт, Н. «Тетраэдр». Ч. 4 в «Современной чистой твердой геометрии» : Челси, 1979.

Внешние ссылки

Биссектриса разрезанного узла
Определение биссектрисы угла. Открытый справочник по математике с интерактивным апплетом
Определение биссектрисы. Открытый справочник по математике с интерактивным апплетом
Биссектриса перпендикуляра. С интерактивным апплетом
Анимированные инструкции по разделению угла и линии пополам с помощью циркуля и линейки.
Вайсштейн, Эрик В. «Биссектриса» . Математический мир .

Эта статья включает в себя материал из биссектрисы угла на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Биссектриса внешнего угла». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.

[2] Испания, Барри. Аналитическая коника , Dover Publications, 2007 г. (исходник: 1957 г.).

[Johnson-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (исходник: 1929).

[4] Оксман, Виктор. «О существовании треугольников с заданными длинами одной стороны и двух смежных биссектрис», Forum Geometricorum 4, 2004, 215–218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf

[5] Саймонс, Стюарт. Математический вестник 93, март 2009 г., стр. 115–116.

[6] Миронеску П. и Панайтополь Л., «Существование треугольника с заданной длиной биссектрисы», American Mathematical Monthly 101 (1994): 58–60.

[7] Оксман, Виктор, «Чисто геометрическое доказательство уникальности треугольника с предписанными биссектрисами», Forum Geometricorum 8 (2008): 197–200.

[8] Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Quadri Lateral.html

[Mitchell-9] Перейти обратно: ^а ^б Митчелл, Дуглас В. (2013), «Биссектрисы сторон треугольника», Forum Geometricorum 13, 53–59. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf

[Altshiller-Court-10] Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publ., 2007.

[Dunn-11] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Данн, Джас. А.; Красиво, Джас. Э. (май 1972 г.). «Разделение треугольника пополам». Математический вестник . 56 (396): 105–108. дои : 10.2307/3615256 . JSTOR 3615256 .

[12] Кодокостас, Димитриос, «Треугольные эквалайзеры», журнал Mathematics Magazine 83, апрель 2010 г., стр. 141–146.

[13] Вайсштейн, Эрик В. «Тетраэдр». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html

[14] Альтшиллер-Корт, Н. «Тетраэдр». Ч. 4 в «Современной чистой твердой геометрии» : Челси, 1979.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]