Вписать и вписать в окружность

«Окружение» перенаправляется сюда. Информацию о вписанных окружностях нетреугольных многоугольников см. в разделах Тангенциальный четырехугольник и Тангенциальный многоугольник .

Вписанная и вписанная окружности треугольника.

  Расширенные стороны треугольника △ ABC

  Incircle ( центре в I )

  Экскруги (эксцентры в J _A , J _B , J _C )

  Внутренние биссектрисы угла

  Биссектрисы внешнего угла (образующие внецентральный треугольник)

В геометрии окружность вписанная или вписанная окружность треугольника — это самая большая окружность , которая может содержаться в треугольнике; он касается ( касается ) трех сторон. Центр вписанной окружности — это центр треугольника, треугольника называемый вписанным центром .

Внешняя окружность или вписанная треугольника — это окружность, лежащая вне треугольника, касающаяся одной из его сторон и касающаяся продолжений двух других . Каждый треугольник имеет три различных вписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника.

Центр вписанной окружности, называемый вписанной окружностью , можно найти как пересечение трех внутренних биссектрис . Центр вписанной окружности — это пересечение внутренней биссектрисы одного угла ( в вершине A например, ) и внешних биссектрис двух других. Центр этой окружности эксцентром вершины A или эксцентром A. называется относительно Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вписанной окружности образуют ортоцентрическую систему .

Окружность и центр

См. также: Инцентр

Предполагать $\triangle ABC$ имеет вписанную окружность радиуса $r$ и центр $I$.Позволять $a$ быть длиной ${\overline {BC}}$, $b$ длина ${\overline {AC}}$, и $c$ длина ${\overline {AB}}$.Также пусть $T_{A}$, $T_{B}$, и $T_{C}$ быть точками соприкосновения вписанной окружности ${\overline {BC}}$, ${\overline {AC}}$, и ${\overline {AB}}$.

Инцентр

Инцентр — это точка, в которой биссектрисы внутренних углов $\angle ABC,\angle BCA,{\text{ and }}\angle BAC$ встретиться.

Расстояние от вершины $A$ в центр $I$ является: $$d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.$$

Трилинейные координаты

Трилинейные координаты точки треугольника — это отношение всех расстояний к сторонам треугольника. Поскольку инцентр находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника, трилинейные координаты инцентра равны $$\ 1:1:1.$$

Барицентрические координаты

Барицентрические координаты точки в треугольнике задают веса так, что точка представляет собой средневзвешенное значение положений вершин треугольника.Барицентрические координаты центра определяются выражением $$\ a:b:c$$

где $a$, $b$, и $c$ — длины сторон треугольника или, что то же самое (используя закон синусов ), по формуле $$\sin A:\sin B:\sin C$$

где $A$, $B$, и $C$ — углы при трёх вершинах.

Декартовы координаты

Декартовы координаты центра представляют собой средневзвешенное значение координат трех вершин с использованием длин сторон треугольника относительно периметра (то есть с использованием приведенных выше барицентрических координат, нормализованных для суммы, равной единице) в качестве весов. Веса положительны, поэтому центр находится внутри треугольника, как указано выше. Если три вершины расположены в $(x_{a},y_{a})$, $(x_{b},y_{b})$, и $(x_{c},y_{c})$, а стороны, противоположные этим вершинам, имеют соответствующие длины $a$, $b$, и $c$, то центр тяжести находится в $$\left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.$$

Радиус

Внутренний радиус $r$ вписанной окружности в треугольнике со сторонами длиной $a$, $b$, $c$ дается $$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},$$

где $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ это полупериметр.

Точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длин. $s-a$ от $A$, $s-b$ от $B$, и $s-c$ от $C$.

См. формулу Герона .

Расстояния до вершин

Обозначая центр $\triangle ABC$ как $I$, расстояния от центра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению $${\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.$$

Кроме того, $${\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},$$

где $R$ и $r$ радиус треугольника - окружной и внутренний соответственно.

Другие объекты недвижимости

Совокупности центров треугольников можно придать структуру группы при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе центральный центр образует идентификационный элемент .

Вписанная окружность и ее свойства радиуса

Расстояния между вершиной и ближайшими точками касания

Расстояния от вершины до двух ближайших точек касания равны; например: $$d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=s-a.$$

Другие объекты недвижимости

Если высоты со сторон длин $a$, $b$, и $c$ являются $h_{a}$, $h_{b}$, и $h_{c}$, то радиус $r$ составляет одну треть среднего гармонического значения этих высот; то есть, $$r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.$$

Произведение радиуса вписанной окружности $r$ и описанной окружности радиус $R$ треугольника со сторонами $a$, $b$, и $c$ является $$rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.$$

Некоторые соотношения между сторонами, радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности: $${\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}$$

Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности). В любом треугольнике их может быть один, два или три.

Обозначая центр вписанной окружности $\triangle ABC$ как $I$, у нас есть

$${\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1$$

и $${\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2}.$$

Радиус вписанной окружности не превышает одной девятой суммы высот.

Квадрат расстояния от центра $I$ до центра окружности $O$ дается $${\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]$$

и расстояние от центра до центра $N$ из девятиточечного круга $${\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.$$

Инцентр лежит в медиальном треугольнике (вершины которого являются серединами сторон).

Отношение к площади треугольника

«Инрадиус» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о трехмерном эквиваленте, см. « Вписанная сфера» .

Радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника. Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно $\pi {\big /}3{\sqrt {3}}$, причем равенство справедливо только для равносторонних треугольников .

Предполагать $\triangle ABC$ имеет вписанную окружность радиуса $r$ и центр $I$. Позволять $a$ быть длиной ${\overline {BC}}$, $b$ длина ${\overline {AC}}$, и $c$ длина ${\overline {AB}}$. Теперь вписанная окружность касается ${\overline {AB}}$ в какой-то момент $T_{C}$, и так $\angle AT_{C}I$ это правильно. Таким образом, радиус $T_{C}I$ это высота ​ $\triangle IAB$. Поэтому, $\triangle IAB$ имеет базовую длину $c$ и высота $r$, и поэтому имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}cr$.Сходным образом, $\triangle IAC$имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}br$и $\triangle IBC$имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}ar$.Поскольку эти три треугольника разлагаются $\triangle ABC$, мы видим, что площадь $\Delta {\text{ of }}\triangle ABC$ является: $$\Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,$$     и     $r={\frac {\Delta }{s}},$

где $\Delta$ это площадь $\triangle ABC$ и $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ это его полупериметр .

В качестве альтернативной формулы рассмотрим $\triangle IT_{C}A$. Это прямоугольный треугольник, одна сторона которого равна $r$ а другая сторона равна $r\cot {\tfrac {A}{2}}$. То же самое верно для $\triangle IB'A$. Большой треугольник состоит из шести таких треугольников, а его общая площадь равна: $$\Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).$$

Жергонский треугольник и точка

  Треугольник △ ABC

  Incircle ( центре в I )

  Контактный треугольник △ T _A T _B T _C

  Линии между противоположными вершинами △ ABC и △ T _A T _B T _C (совпадают в точке Жергонна G _e )

Треугольник Жергонна (англ. $\triangle ABC$) определяется тремя точками касания вписанной окружности с трех сторон. Точка касания напротив $A$ обозначается $T_{A}$, и т. д.

Этот треугольник Жергонна, $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$, также известен как контактный треугольник или касания треугольник $\triangle ABC$. Его площадь $$K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}$$

где $K$, $r$, и $s$ площадь, радиус вписанной окружности и полупериметр исходного треугольника, а $a$, $b$, и $c$ — длины сторон исходного треугольника. Это та же область, что и у треугольника касания .

Три линии $AT_{A}$, $BT_{B}$ и $CT_{C}$ пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна , обозначаемой как $G_{e}$ (или центр треугольника X ₇ ). Точка Жергонна лежит в открытом ортоцентроидальном диске, проколотом в своем центре, и может быть любой точкой внутри него.

Точка Жергонна треугольника обладает рядом свойств, в том числе тем, что она является симедианой точкой треугольника Жергонна.

Трилинейные координаты вершин треугольника касания определяются выражением $${\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}$$

Трилинейные координаты точки Жергонна определяются выражением $$\sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},$$

или, что то же самое, по закону синусов , $${\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.$$

Экскруги и эксцентры

  Расширенные △ ABC стороны

  Incircle ( центре в I )

  Экскруги (эксцентры в J _A , J _B , J _C )

  Внутренние биссектрисы угла

  Биссектрисы внешнего угла (образующие внецентральный треугольник)

Внешняя окружность или вписанная треугольника — это окружность, лежащая вне треугольника, касающаяся одной из его сторон и касающаяся продолжений двух других . Каждый треугольник имеет три различных вписанных окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника.

Центром вписанной окружности является пересечение внутренней биссектрисы одного угла (в вершине $A$, например) и внешние биссектрисы двух других. Центр этой окружности называется эксцентром относительно вершины $A$, эксцентр или $A$. Поскольку внутренняя биссектриса угла перпендикулярна его внешней биссектрисе, из этого следует, что центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вписанной окружности образуют ортоцентрическую систему .

Трилинейные координаты эксцентров

В то время центр как $\triangle ABC$ имеет трилинейные координаты $1:1:1$, эксцентры имеют трилинейки $${\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\J_{B}=&1&:&-1&:&1\\J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}$$

Эксра

Радиусы экскругов называются эксрадиусами .

Эксрадиус внешней окружности напротив $A$ (так трогательно $BC$, с центром в $J_{A}$) является $$r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},$$ где $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).$

См. формулу Герона .

Вывод формулы эксрадиуса

Источник:

Пусть вписанная окружность сбоку $AB$ прикосновение сбоку $AC$ продлен на $G$, и пусть этот вписанный в окружностьрадиус будет $r_{c}$ и его центр будет $J_{c}$. Затем $J_{c}G$ это высота $\triangle ACJ_{c}$, так $\triangle ACJ_{c}$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$. По аналогичному аргументу, $\triangle BCJ_{c}$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$ и $\triangle ABJ_{c}$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$. Таким образом, площадь $\Delta$ треугольника $\triangle ABC$ является $$\Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}$$.

Итак, в силу симметрии, обозначая $r$ как радиус вписанной окружности, $$\Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}$$.

По закону косинусов имеем $$\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$$

Объединив это с идентичностью $\sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1$, у нас есть $$\sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}$$

Но $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A$, и так $${\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}$$

что является формулой Герона .

Объединив это с $sr=\Delta$, у нас есть $$r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$$

Сходным образом, $(s-a)r_{a}=\Delta$ дает $${\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}$$

Другие объекты недвижимости

Из приведенных выше формул видно, что вписанная окружность всегда больше вписанной и что наибольшая вписанная окружность касается самой длинной стороны, а наименьшая вписанная окружность касается самой короткой стороны. Далее, объединение этих формул дает: $$\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$$

Другие свойства окружения

Круглая оболочка вписанных окружностей внутренне касается каждой из вписанных окружностей и, таким образом, представляет собой окружность Аполлония . Радиус этого круга Аполлония равен ${\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$ где $r$ радиус вписанной окружности и $s$ это полупериметр треугольника.

Между внутренними радиусами имеют место следующие соотношения $r$, радиус описанной окружности $R$, полупериметр $s$, а радиусы внешней окружности $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$: $${\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}$$

Окружность, проходящая через центры трех вписанных окружностей, имеет радиус $2R$.

Если $H$ является ортоцентром ​ $\triangle ABC$, затем $${\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}$$

Треугольник Нагеля и точка Нагеля

Основная статья: Треугольник Extouch

  Расширенные стороны треугольника △ ABC

  Внеписанные окружности △ ABC (касательная к T _A . T _B , _TC )

  Треугольник Нагеля/Эксташа △ T _A T _B T _C

  Разделители : линии, соединяющие противоположные вершины △ ABC и △ T _A T _B T _C (совпадают в точке Нагеля N ).

Треугольник Нагеля или эксташа треугольник $\triangle ABC$ обозначается вершинами $T_{A}$, $T_{B}$, и $T_{C}$ это три точки, в которых вписанные окружности касаются ссылки $\triangle ABC$ и где $T_{A}$ является противоположностью $A$и т. д. Это $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ также известен как касания треугольник $\triangle ABC$. Окружность ​ касания $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$ называется кругом Мандарта .

Три отрезка линии ${\overline {AT_{A}}}$, ${\overline {BT_{B}}}$ и ${\overline {CT_{C}}}$ называются разветвителями треугольника; каждый из них делит периметр треугольника пополам, $${\overline {AB}}+{\overline {BT_{A}}}={\overline {AC}}+{\overline {CT_{A}}}={\frac {1}{2}}\left({\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {AC}}\right).$$

треугольника. Разделители пересекаются в одной точке - точке Нагеля $N_{a}$ (или центр треугольника X ₈ ).

Трилинейные координаты вершин касающегося треугольника имеют вид $${\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}$$

Трилинейные координаты точки Нагеля имеют вид $$\csc ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {C}{2}},$$

или, что то же самое, по закону синусов , $${\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.$$

Точка Нагеля является изотомно-сопряженной точкой Жергонна.

Связанные конструкции

Девятиточечная окружность и точка Фейербаха.

Основная статья: Девятиточечный круг

Окружность из девяти точек касается вписанной и вписанной окружностей.

В геометрии девятиточечная окружность — это окружность , которую можно построить для любого заданного треугольника . Он назван так потому, что проходит через девять значимых конциклических точек, определяемых треугольником. Эти девять пунктов таковы:

• Середины каждой стороны треугольника
• Подножие ​ каждой высоты
• Средняя точка отрезка от каждой вершины треугольника до ортоцентра (где встречаются три высоты; эти отрезки лежат на соответствующих высотах).

В 1822 году Карл Фейербах обнаружил, что окружность из девяти точек любого треугольника касается этого треугольника снаружи трех вписанных окружностей и внутренне касается вписанной в него окружности ; этот результат известен как теорема Фейербаха . Он доказал, что:

... окружность, проходящая через основания высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые, в свою очередь, касаются трех сторон треугольника ... ( Фейербах, 1822 г. )

Центр треугольника , в котором соприкасаются вписанная окружность и окружность из девяти точек, называется точкой Фейербаха .

Внутренний и внешний треугольники

Точки пересечения биссектрис внутренних углов $\triangle ABC$ с сегментами $BC$, $CA$, и $AB$ являются вершинами центрального треугольника . Трилинейные координаты вершин центрального треугольника $\triangle A'B'C'$ даны $${\begin{array}{ccccccc}A'&=&0&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&0&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&0\end{array}}$$

опорного Внешний треугольник треугольника имеет вершины в центрах вписанных окружностей опорного треугольника. Его стороны лежат на биссектрисах внешнего угла опорного треугольника (см. рисунок вверху страницы ). Трилинейные координаты вершин внецентрального треугольника $\triangle A'B'C'$ даны $${\begin{array}{ccrcrcr}A'&=&-1&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&-1&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&-1\end{array}}$$

Уравнения для четырех кругов

Позволять $x:y:z$ — переменная точка в трилинейных координатах , и пусть $u=\cos ^{2}\left(A/2\right)$, $v=\cos ^{2}\left(B/2\right)$, $w=\cos ^{2}\left(C/2\right)$. Четыре круга, описанные выше, эквивалентно задаются любым из двух заданных уравнений:

• Обвести: $${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}$$
• $A$-обвести: $${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}$$
• $B$-обвести: $${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}$$
• $C$-обвести: $${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}$$

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике: $$(R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},$$

где $R$ и $r$ - радиус описанной и внутренней окружности соответственно, и $d$ расстояние между центром описанной окружности и центром.

Для вписанных окружностей уравнение аналогично: $$\left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},$$

где $r_{\text{ex}}$ - радиус одной из вписанных окружностей, а $d_{\text{ex}}$ расстояние между центром описанной окружности и центром этой окружности.

Обобщение на другие многоугольники

Некоторые (но не все) четырехугольники имеют вписанную окружность. Такие четырехугольники называются касательными . Среди их многочисленных свойств, пожалуй, самым важным является то, что две пары противоположных сторон имеют равные суммы. Это называется теоремой Пито .

В более общем смысле, многоугольник с любым количеством сторон, в который есть вписанная окружность (то есть касательная к каждой стороне), называется касательным многоугольником .

См. также

• Циркумгон – геометрическая фигура, описывающая круг.
• Описанная окружность – Окружность, проходящая через вершины треугольника.
• Экс-касательный четырехугольник - выпуклый четырехсторонний многоугольник, все боковые линии которого касаются внешней окружности.
• Теорема Харкорта - Площадь треугольника с его сторон и расстояния между вершинами до любой линии, касательной к вписанной в него окружности.
• Циркумконическое и неконическое сечение - коническое сечение, проходящее через вершины треугольника или касающееся его сторон.
• Вписанная сфера - сфера, касающаяся каждой грани многогранника.
• Мощность точки – Относительное расстояние точки от окружности.
• Эллипс Штейнера - уникальный эллипс, касательный ко всем трем средним точкам сторон данного треугольника.
• Тангенциальный четырехугольник - многоугольник, все четыре стороны которого касаются окружности.
• Треугольник конический
• Теорема триллиума - утверждение о свойствах вписанных и описанных кругов.

Ссылки

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN   52013504
• Джонсон, Роджер А. (1929), «X. Вписанные и вписанные круги» , «Современная геометрия» , Houghton Mifflin, стр. 182–194.
• Йозефссон, Мартин (2011), «Дополнительные характеристики касательных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 65–82, MR   2877281
• Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN   69012075
• Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Конгресс Нумерантиум (129): i – xxv, 1–295.
• Поцелуй, Шандор (2006). «Ортика касания и треугольники касания орта». Форум Geometricorum (6): 171–177.

Внешние ссылки

• Вывод формулы радиуса вписанной окружности треугольника
• Вайсштейн, Эрик В. «Круговой круг» . Математический мир .

Интерактивный

• Вписанный в центр треугольник     Вписанный в окружность треугольник    Вписанная окружность правильного многоугольника С интерактивной анимацией
• Построение вписанной/вписанной окружности треугольника с помощью циркуля и линейки. Интерактивная анимационная демонстрация.
• Теорема о равных вписанных окружностях при разрезании узла
• Теорема пяти вписанных кругов в разрубке узла
• Пары вписанных окружностей в четырехугольнике при разрезании узла
• Интерактивный Java-апплет для incenter