Эйлеров частичное множество

В комбинаторной математике эйлерово ЧУ-множество — это градуированное ЧУ-множество , в котором каждый нетривиальный интервал имеет одинаковое количество элементов как четного, так и нечетного ранга. Эйлерово ЧУМ, которое является решеткой, является эйлеровой решеткой . Эти объекты названы в честь Леонарда Эйлера . Эйлеровы решетки обобщают решетки граней , выпуклых многогранников и многие недавние исследования были посвящены распространению известных результатов полиэдральной комбинаторики , таких как различные ограничения на f -векторы выпуклых симплициальных многогранников , на эту более общую настройку.

Примеры

• Решетка граней , выпуклого многогранника состоящая из его граней вместе с наименьшим элементом — пустой гранью и наибольшим элементом — самим многогранником, представляет собой эйлерову решетку. Условие нечетно-четности следует из формулы Эйлера .
• Любая симплициальная сфера обобщенных гомологий является эйлеровой решеткой.
• Пусть L — регулярный клеточный комплекс такой, что | Л | является многообразием с той же эйлеровой характеристикой, что и сфера той же размерности (это условие бессмысленно, если размерность нечетна). Тогда частично упорядоченное множество ячеек L , упорядоченное включением их замыканий, является эйлеровым.
• Пусть W — группа Кокстера порядка Брюа . Тогда ( W ,妻) — эйлерово частично упорядоченное множество.

Характеристики

• Определяющее условие эйлерова ЧУМ-множества P можно эквивалентно сформулировать через его функцию Мёбиуса :

$\mu _{P}(x,y)=(-1)^{|y|-|x|}{\text{ for all }}x\leq y.$

• Двойственное эйлерово ЧУМ с верхним элементом, полученное изменением частичного порядка, является эйлеровым.
• Ричард Стэнли определил торический h -вектор ранжированного частично упорядоченного множества , который обобщает h -вектор симплициального многогранника. Он доказал, что уравнения Дена – Соммервилля

$h_{k}=h_{d-k}\,$

справедливы для произвольного эйлерова ЧУМ ранга d + 1. Однако для эйлерова частичного множества, возникающего из правильного клеточного комплекса или выпуклого многогранника, торический h -вектор не определяет и не определяется числами ячеек или граней различной размерности, а торический h -вектор не имеет прямая комбинаторная интерпретация.

Ссылки

• Ричард П. Стэнли , Перечислительная комбинаторика , Том 1. Издательство Кембриджского университета, 1997. ISBN   0-521-55309-1

См. также

• Абстрактный многогранник
• Звездное произведение — метод объединения частично упорядоченных множеств с сохранением эйлерова свойства.