Теорема М. Рисса о продолжении

Теорема о продолжении М. Рисса — теорема математическая . , доказанная Марселем Риссом ^{[ 1 ]} во время исследования проблемы моментов . ^{[ 2 ]}

Формулировка

Позволять $E$ быть реальным векторным пространством , $F\subset E$ быть векторным подпространством и $K\subset E$ быть выпуклым конусом .

Линейный функционал $\phi :F\to \mathbb {R}$ называется $K$ - положительный , если на конусе принимает только неотрицательные значения $K$ :

\phi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in F\cap K.

Линейный функционал $\psi :E\to \mathbb {R}$ называется $K$ -положительное расширение $\phi$ , если оно идентично $\phi$ в области $\phi$ , а также возвращает значение не менее 0 для всех точек конуса $K$ :

\psi |_{F}=\phi \quad {\text{and}}\quad \psi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in K.

В целом, $K$ -положительный линейный функционал на $F$ не может быть распространено на $K$ -положительный линейный функционал на $E$ . Уже в двух измерениях получается контрпример. Позволять $E=\mathbb {R} ^{2},\ K=\{(x,y):y>0\}\cup \{(x,0):x>0\},$ и $F$ быть $x$ -ось. Положительный функционал $\phi (x,0)=x$ не может быть продолжено до положительного функционала на $E$ .

Однако расширение существует при дополнительном предположении, что $E\subset K+F,$ именно для каждого $y\in E,$ существует $x\in F$ такой, что $y-x\in K.$

Доказательство

Доказательство аналогично доказательству теоремы Хана–Банаха (см. также ниже).

По трансфинитной индукции или лемме Цорна достаточно рассмотреть случай dim $E/F=1$ .

Выбирайте любой $y\in E\setminus F$ . Набор

a=\sup\{\,\phi (x)\mid x\in F,\ y-x\in K\,\},\ b=\inf\{\,\phi (x)\mid x\in F,x-y\in K\,\}.

Ниже мы докажем, что $-\infty <a\leq b$ . Пока что выбирайте любой $c$ удовлетворяющий $a\leq c\leq b$ , и установите $\psi (y)=c$ , $\psi |_{F}=\phi$ , а затем продлить $\psi$ всем $E$ по линейности. Нам нужно это показать $\psi$ является $K$ -положительный. Предполагать $z\in K$ . Тогда либо $z=0$ , или $z=p(x+y)$ или $z=p(x-y)$ для некоторых $p>0$ и $x\in F$ . Если $z=0$ , затем $\psi (z)>0$ . В первом оставшемся случае $x+y=y-(-x)\in K$ , и так

\psi (y)=c\geq a\geq \phi (-x)=\psi (-x)

по определению. Таким образом

\psi (z)=p\psi (x+y)=p(\psi (x)+\psi (y))\geq 0.

Во втором случае $x-y\in K$ , и так же

\psi (y)=c\leq b\leq \phi (x)=\psi (x)

по определению и так

\psi (z)=p\psi (x-y)=p(\psi (x)-\psi (y))\geq 0.

Во всех случаях $\psi (z)>0$ , и так $\psi$ является $K$ -положительный.

Теперь мы докажем, что $-\infty <a\leq b$ . Заметим, что по предположению существует хотя бы один $x\in F$ для чего $y-x\in K$ , и так $-\infty <a$ . Однако может случиться так, что их нет $x\in F$ для чего $x-y\in K$ , в этом случае $b=\infty$ и неравенство тривиально (в этом случае обратите внимание, что третий случай выше невозможен). Поэтому мы можем предположить, что $b<\infty$ и есть хотя бы один $x\in F$ для чего $x-y\in K$ . Для доказательства неравенства достаточно показать, что всякий раз, когда $x\in F$ и $y-x\in K$ , и $x'\in F$ и $x'-y\in K$ , затем $\phi (x)\leq \phi (x')$ . Действительно,

x'-x=(x'-y)+(y-x)\in K

с $K$ является выпуклым конусом, поэтому

0\leq \phi (x'-x)=\phi (x')-\phi (x)

с $\phi$ является $K$ -положительный.

Следствие: теорема о продолжении Крейна.

Пусть E — вещественное линейное пространство и K ⊂ E — выпуклый конус . Пусть x ∈ E /(− K ) таков, что R x + K = E . Тогда существует K -положительный линейный функционал φ : E → R такой, что φ ( x ) > 0.

Связь с теоремой Хана – Банаха

Теорему Хана – Банаха можно вывести из теоремы о продолжении М. Рисса.

Пусть V — линейное пространство, и пусть N — сублинейная функция на V . Пусть φ — функционал в подпространстве U ⊂ V , доминируемом N :

\phi (x)\leq N(x),\quad x\in U.

Теорема Хана-Банаха утверждает, что φ можно расширить до линейного функционала на V который доминирует N. ,

Чтобы вывести это из теоремы о продолжении М. Рисса, определим выпуклый конус K ⊂ R × V формулой

K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.

Определим функционал φ ₁ на R × U формулой

\phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).

Можно видеть, что φ ₁ является K -положительным и что K + ( R × U ) = R × V . Поэтому φ ₁ можно продолжить до K -положительного функционала ψ ₁ на R × V . Затем

\psi (x)=-\psi _{1}(0,x)

является искомым расширением φ . Действительно, если ψ ( x ) > N ( x ), мы имеем: ( N ( x ), x ) ∈ K , тогда как

\psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0,

приводящее к противоречию.

Ссылки

Источники

Кастильо, Рене Э. (2005), «Заметка о теореме Крейна» (PDF) , Lecturas Matematicas , 26 , заархивировано из оригинала (PDF) 1 февраля 2014 г. , получено 18 января 2014 г.
Рис, М. (1923), «Sur le problème des moment. III.», Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik (на французском языке), 17 (16), JFM 49.0195.01
Ахиезер, Н.И. (1965), Классическая проблема моментов и некоторые связанные с ней вопросы анализа , Нью-Йорк: Hafner Publishing Co., MR 0184042.

[1] Рисс (1923)

[2] Ахиезер (1965)

[ 1 ]

[ 2 ]