Киральная аномалия

В теоретической физике киральная аномалия это аномальное несохранение кирального — тока. В повседневной жизни это эквивалентно запечатанной коробке, в которой содержится равное количество левых и правых болтов , но при открытии обнаруживается, что левых больше, чем правых, или наоборот.

Ожидается, что такие события будут запрещены в соответствии с классическими законами сохранения , но известно, что должны быть способы их нарушения, поскольку у нас есть доказательства несохранения зарядовой четности («нарушение CP»). Возможно, что и другие дисбалансы были вызваны нарушением такого закона кирального . Многие физики подозревают, что тот факт, что наблюдаемая Вселенная содержит больше материи, чем антиматерии, вызван киральной аномалией. В настоящее время исследование законов нарушения киральной симметрии является основным направлением исследований в области физики элементарных частиц.

Неофициальное знакомство

Распад нейтрального пиона, вызванный аномалией $\pi ^{0}\to \gamma \gamma ~.$ Это однопетлевая диаграмма Фейнмана . $\pi ^{0}$ связь является псевдоскалярной связью; два фотона соединяются как векторы. Треугольник суммирует все поколения лептонов.

Киральная аномалия первоначально относилась к аномальной скорости распада нейтрального , пиона вычисленной в текущей алгебре киральной модели . Эти расчеты показали, что распад пиона подавлен, что явно противоречит экспериментальным результатам. Природа аномальных вычислений была впервые объяснена в 1969 году Стивеном Л. Адлером. и Джон Стюарт Белл и Роман Джекив . Теперь это называется аномалией Адлера-Белла-Джекива квантовой электродинамики . Это симметрия классической электродинамики , которая нарушается квантовыми поправками.

Аномалия Адлера–Белла–Джекива возникает следующим образом. Если рассматривать классическую (неквантованную) теорию электромагнетизма , связанную с безмассовыми фермионами (электрически заряженными спинорами Дирака, решающими уравнение Дирака ), можно ожидать наличия не одного, а двух сохраняющихся токов : обычного электрического тока ( векторный ток ), описывается полем Дирака $j^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$ а также осевой ток $j_{5}^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\psi ~.$ При переходе от классической теории к квантовой теории можно вычислить квантовые поправки к этим токам; в первом порядке это однопетлевые диаграммы Фейнмана . Они, как известно, расходятся и требуют регуляризации применения для получения перенормированных амплитуд. Чтобы перенормировка была значимой, последовательной и последовательной, регуляризованные диаграммы должны подчиняться той же симметрии, что и нулевые (классические) амплитуды. Это относится к векторному току, но не к аксиальному: его нельзя регуляризовать так, чтобы сохранить аксиальную симметрию. Осевая симметрия классической электродинамики нарушается квантовыми поправками. Формально тождества Уорда–Такахаши квантовой теории следуют из калибровочной симметрии электромагнитного поля; соответствующие тождества для аксиального тока нарушены.

В то время, когда аномалия Адлера-Белла-Джекива исследовалась в физике, в дифференциальной геометрии происходили соответствующие разработки , которые, по-видимому, включали в себя те же виды выражений. Они никоим образом не были связаны с какими-либо квантовыми поправками, а, скорее, представляли собой исследование глобальной структуры расслоений и, в частности, операторов Дирака на спиновых структурах, имеющих формы кривизны, напоминающие форму электромагнитного тензора , оба в четырех и трехмерность ( теория Черна – Саймонса ). После долгих размышлений стало ясно, что структуру аномалии можно описать с помощью расслоений с нетривиальной гомотопической группой или, на жаргоне физики, в терминах инстантонов .

Инстантоны — это форма топологического солитона ; они являются решением классической теории поля, обладая тем свойством, что они стабильны и не могут распадаться ( на плоские волны например, ). Другими словами: традиционная теория поля построена на идее вакуума – грубо говоря, плоского пустого пространства. Классически это «тривиальное» решение; все поля исчезают. Однако можно также расположить (классические) поля таким образом, чтобы они имели нетривиальную глобальную конфигурацию. Эти нетривиальные конфигурации также являются кандидатами на роль вакуума, пустого пространства; однако они больше не являются плоскими или тривиальными; они содержат поворот, инстантон. Квантовая теория способна взаимодействовать с этими конфигурациями; когда это происходит, это проявляется как киральная аномалия.

В математике нетривиальные конфигурации встречаются при изучении операторов Дирака в их полностью обобщенном виде, а именно на римановых многообразиях произвольных размерностей. Математические задачи включают поиск и классификацию структур и конфигураций. Известные результаты включают теорему Атьи – Зингера об индексе для операторов Дирака. Грубо говоря, симметрии пространства-времени Минковского , лоренц-инвариантность , лапласианы U(1)xSU(2)xSU(3) , операторы Дирака и расслоения можно рассматривать как частный случай гораздо более общего положения в дифференциальной геометрии ; исследование различных возможностей является причиной большей части интереса к таким теориям, как теория струн ; богатство возможностей приводит к определенному ощущению отсутствия прогресса.

Аномалия Адлера-Белла-Джекива наблюдается экспериментально в том смысле, что она описывает распад нейтрального пиона , а конкретно, ширину распада нейтрального пиона на два фотона . Сам нейтральный пион был открыт в 1940-х годах; скорость его распада (ширина) была правильно оценена Дж. Стейнбергером в 1949 г. Правильная форма аномальной расходимости аксиального тока получена Швингером в 1951 году в двумерной модели электромагнетизма и безмассовых фермионов. Тот факт, что распад нейтрального пиона подавляется в современном алгебраическом анализе киральной модели, был получен Сазерлендом и Вельтманом в 1967 году. Анализ и разрешение этого аномального результата предоставлены Адлером. и Белл и Джекив в 1969 г. Общая структура аномалий обсуждается Бардином в 1969 г.

Кварковая модель пиона указывает на то, что это связанное состояние кварка и антикварка. Однако квантовые числа , включая четность и угловой момент, которые считаются сохраненными, запрещают распад пиона, по крайней мере, в расчетах с нулевой петлей (проще говоря, амплитуды исчезают). Если считать кварки массивными, не безмассовый, то хиральность допускается распад, нарушающий ; однако он не правильного размера. (Киральность не является константой движения массивных спиноров; они будут менять направленность по мере своего распространения, поэтому масса сама по себе является термином, нарушающим киральную симметрию. Вклад массы определяется результатом Сазерленда и Вельтмана; его называют « PCAC», частично сохраняющийся аксиальный ток .) ​​Анализ Адлера-Белл-Джекива, представленный в 1969 году (а также более ранние формы Стейнбергера и Швингера), действительно обеспечивают правильная ширина распада нейтрального пиона.

Помимо объяснения распада пиона, у него есть вторая очень важная роль. Амплитуда одной петли включает в себя коэффициент, подсчитывающий общее количество лептонов, которые могут циркулировать в петле. Чтобы получить правильную ширину распада, необходимо иметь ровно три поколения кварков, а не четыре и более. Таким образом, он играет важную роль в ограничении Стандартной модели . Это обеспечивает прямое физическое предсказание количества кварков, которые могут существовать в природе.

Современные исследования сосредоточены на подобных явлениях в различных условиях, включая нетривиальные топологические конфигурации электрослабой теории , то есть сфалероны . Другие приложения включают гипотетическое несохранение барионного числа в GUT и другие теории.

Общее обсуждение

В некоторых теориях фермионов с киральной симметрией квантование может привести к нарушению этой (глобальной) киральной симметрии. В этом случае заряд, связанный с киральной симметрией, не сохраняется. Несохранение происходит в процессе туннелирования из одного вакуума в другой. Такой процесс называется инстантоном .

В случае симметрии, связанной с сохранением числа фермионных частиц , возникновение таких частиц можно понять следующим образом. Определение частицы различно в двух состояниях вакуума, между которыми происходит туннелирование; поэтому состояние отсутствия частиц в одном вакууме соответствует состоянию с некоторыми частицами в другом вакууме. В частности, существует море фермионов Дирака , и когда такое туннелирование происходит, оно приводит к постепенному смещению энергетических уровней морских фермионов вверх для частиц и вниз для античастиц, или наоборот. Это означает, что частицы, которые когда-то принадлежали морю Дирака, становятся настоящими частицами (положительной энергии), и происходит создание частиц.

Технически, в формулировке интеграла по путям аномальная симметрия — это симметрия действия ${\mathcal {A}}$, но не меры µ и , следовательно, не производящего функционала

${\mathcal {Z}}=\int \!{\exp(i{\mathcal {A}}/\hbar )~\mathrm {d} \mu }$

квантовой теории ( ℏ — квант действия Планка, деленный на 2 π ). Мера $d\mu$ состоит из части, зависящей от фермионного поля $[\mathrm {d} \psi ]$ и часть, зависящая от его комплексно-сопряженного $[\mathrm {d} {\bar {\psi }}]$. Преобразования обеих частей при киральной симметрии, вообще говоря, не отменяются. Обратите внимание, что если $\psi$ является фермионом Дирака , то киральную симметрию можно записать как $\psi \rightarrow e^{i\alpha \gamma ^{5}}\psi$ где $\gamma ^{5}$ – киральная гамма-матрица, действующая на $\psi$. Из формулы для ${\mathcal {Z}}$ также явно видно, что в классическом пределе , ℏ → 0, аномалии не играют роли, поскольку в этом пределе только экстремумы ${\mathcal {A}}$ остаются актуальными.

Аномалия пропорциональна инстантонному числу калибровочного поля, с которым связаны фермионы. (Обратите внимание, что калибровочная симметрия всегда неаномальна и точно соблюдается, что требуется для непротиворечивости теории.)

Расчет

Киральную аномалию можно точно рассчитать с помощью однопетлевых диаграмм Фейнмана , например, «треугольной диаграммы» Штейнбергера, способствующей распаду пиона , и $\pi ^{0}\to e^{+}e^{-}\gamma$. Амплитуда этого процесса может быть рассчитана непосредственно по изменению меры фермионных полей при киральном преобразовании.

Весс и Зумино разработали набор условий того, как статистическая сумма должна вести себя при калибровочных преобразованиях, называемый условием согласованности Весса – Зумино .

Фудзикава вывел эту аномалию, используя соответствие между функциональными определителями и статистической суммой с помощью теоремы об индексе Атьи-Зингера . См. метод Фудзикавы .

Пример: несохранение барионного числа.

Стандартная модель электрослабых взаимодействий имеет все необходимые ингредиенты для успешного бариогенеза , хотя эти взаимодействия никогда не наблюдались. и может оказаться недостаточным для объяснения полного барионного числа наблюдаемой Вселенной, если начальное барионное число Вселенной во время Большого взрыва равно нулю. Помимо нарушения зарядового сопряжения $C$ и нарушение CP $CP$ (заряд+четность), нарушение барионного заряда проявляется через Адлера–Белла–Джекива аномалию $U(1)$ группа.

Барионы не сохраняются в результате обычных электрослабых взаимодействий из-за квантовой киральной аномалии. Классический электрослабый лагранжиан сохраняет барионный заряд. Кварки всегда входят в билинейные комбинации. $q{\bar {q}}$, так что кварк может исчезнуть только при столкновении с антикварком. Другими словами, классический барионный ток $J_{\mu }^{B}$ сохраняется:

$\partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}=\sum _{j}\partial ^{\mu }({\bar {q}}_{j}\gamma _{\mu }q_{j})=0.$

Однако квантовые поправки, известные как сфалероны, разрушают этот закон сохранения : вместо нуля в правой части этого уравнения стоит ненулевой квантовый член,

$\partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}={\frac {g^{2}C}{16\pi ^{2}}}G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a},$

где C — числовая константа, обращающаяся в нуль при ℏ =0,

${\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }G^{\alpha \beta a},$

и калибровочная напряженность поля $G_{\mu \nu }^{a}$ задается выражением

$G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf_{bc}^{a}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}~.$

Электрослабые сфалероны могут изменить барионное и/или лептонное число только на 3 или кратное 3 (столкновение трёх барионов в три лептона/антилептона и наоборот).

Важным фактом является то, что несохранение аномального тока пропорционально полной производной векторного оператора: $G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}=\partial ^{\mu }K_{\mu }$ (это не обращается в нуль из-за инстантонных конфигураций калибровочного поля, которые являются чисто калибровочными ), где аномальный ток на бесконечности $K_{\mu }$ является

$K_{\mu }=2\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\left(A^{\nu a}\partial ^{\alpha }A^{\beta a}+{\frac {1}{3}}f^{abc}A^{\nu a}A^{\alpha b}A^{\beta c}\right),$

которая является Ходжу двойственной по 3-форме Черна – Саймонса .

Геометрическая форма

На языке дифференциальных форм к любой самодвойственной форме кривизны $F_{A}$ мы можем назначить абелеву 4-форму $\langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle :=\operatorname {tr} \left(F_{A}\wedge F_{A}\right)$. Теория Черна-Вейля показывает, что эта 4-форма является локально , но не глобально точной, с потенциалом, заданным 3-формой Черна-Саймонса локально:

$d\mathrm {CS} (A)=\langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle$.

Опять же, это верно только для одного графика и неверно для глобальной формы. $\langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle$ если только инстантонное число не обращается в нуль.

Чтобы продолжить, мы прикрепим «бесконечную точку» k к $\mathbb {R} ^{4}$ уступать $S^{4}$и используйте конструкцию сцепления , чтобы составить карту основных A-расслоений, при этом одна карта находится в окрестности k , а вторая - в окрестности точки k. $S^{4}-k$. Утолщение вокруг k в месте пересечения этих диаграмм тривиально, поэтому их пересечение по существу $S^{3}$. Таким образом, инстантоны относятся к третьей гомотопической группе. $\pi _{3}(A)$, который для $A=\mathrm {SU(2)} \cong S^{3}$ это просто третья группа трех сфер $\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z}$.

Дивергенция тока барионного числа равна (без учета числовых констант)

$\mathbf {d} \star j_{b}=\langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle$,

и номер инстантона

$\int _{S^{4}}\langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle \in \mathbb {N}$.

См. также

• Аномалия (физика)
• Хиральный магнитный эффект
• Глобальная аномалия
• Гравитационная аномалия
• Сильная проблема с CP

Дальнейшее чтение

Опубликованные статьи

• Фрэмптон, штат Пенсильвания; Кефарт, ТВ (1983). «Явная оценка аномалий в более высоких измерениях». Письма о физических отзывах . 50 (18): 1343–1346. Бибкод : 1983PhRvL..50.1343F . дои : 10.1103/PhysRevLett.50.1343 .
• Фрэмптон, штат Пенсильвания; Кефарт, ТВ (1983). «Анализ аномалий в высших измерениях пространства-времени». Физический обзор . Д28 (4): 1010–1023. Бибкод : 1983PhRvD..28.1010F . дои : 10.1103/PhysRevD.28.1010 .
• Гоцци, Э.; Мауро, Д.; Сильвестри, А. (2004). «Киральные аномалии с помощью классических и квантовых функциональных методов». Международный журнал современной физики А. 20 (20–21): 5009. arXiv : hep-th/0410129 . Бибкод : 2005IJMPA..20.5009G . дои : 10.1142/S0217751X05025085 . S2CID   15616630 .
• Уайт, Арканзас (2004). «Электрослабое рассеяние высоких энергий и киральная аномалия». Физический обзор D . 69 (9): 096002. arXiv : hep-ph/0308287 . Бибкод : 2004PhRvD..69i6002W . дои : 10.1103/PhysRevD.69.096002 . S2CID   10863873 .
• Ян, Ж.-Ф. (2004). «Отслеживание аномалий и киральных идентичностей Уорда». Китайские буквы по физике . 21 (5): 792–794. arXiv : hep-ph/0403173 . Бибкод : 2004ЧФЛ..21..792Г . дои : 10.1088/0256-307X/21/5/008 . S2CID   119021732 .
• Чёрго, Т.; Вертези, Р.; Шиклай, Дж. (2010). «Косвенное наблюдение уменьшения массы η 'в среде в результате столкновений Au + Au в течение √ с _NN = 200 ГэВ». Письма о физических отзывах . 105 (18): 182301. arXiv : 0912.5526 . Бибкод : 2010PhRvL.105r2301C . doi : 10.1103/PhysRevLett.105.182301 . ПМИД   21231099 . S2CID   9011271 .
• АльМасри, MW (2019). «Осевая аномалия в некоммутативной КЭД и регуляризации Паули – Виллара». Международный журнал современной физики А. 34 (26). arXiv : 1909.10280 . Бибкод : 2019IJMPA..3450150A . дои : 10.1142/S0217751X19501501 . S2CID   202719219 .

Учебники

• Фудзикава, К.; Сузуки, Х. (2004). Интегралы по траекториям и квантовые аномалии . Кларендон Пресс . ISBN  978-0-19-852913-2 .
• Вайнберг, С. (2001). Квантовая теория полей. Том II: Современные приложения . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-55002-4 .

Препринты

• Ян, Ж.-Ф. (2003). «Следовые и киральные аномалии в КЭД и лежащая в их основе теоретическая интерпретация». arXiv : hep-ph/0309311 .