Релятивистское распределение Брейта – Вигнера

Релятивистское распределение Брейта – Вигнера (по формуле ядерного резонанса 1936 г.) Грегори Брейта и Юджина Вигнера ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей со следующей функцией плотности вероятности :

$f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}}}~,$

где k – константа пропорциональности, равная

$k={\frac {2{\sqrt {2}}M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma }}}}~~~~$ с $~~~~\gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)}}~.$

(Это уравнение записано с использованием натуральных единиц , ħ = c = 1. )

Чаще всего его используют для моделирования резонансов (нестабильных частиц) в физике высоких энергий . В этом случае E — это центра масс энергия , вызывающая резонанс, M — масса резонанса, а Γ — ширина резонанса (или ширина распада ), связанная с его средним временем жизни согласно τ = 1/Γ. . (С учетом единиц формула имеет вид τ = ħ /Γ .)

Использование

Вероятность возникновения резонанса при заданной энергии E пропорциональна f ( E ) , так что график зависимости скорости образования нестабильной частицы от энергии отражает форму релятивистского распределения Брейта – Вигнера. Обратите внимание, что для значений E от максимума в M таких, что | Э ² − М ² | = M Γ (следовательно, | E − M | = Γ/2 для M ≫ Γ ), распределение f уменьшилось до половины своего максимального значения, что оправдывает название Γ, ширина на полувысоте .

В пределе исчезающей ширины Γ → 0 частица становится устойчивой, поскольку лоренцево распределение f бесконечно обостряется до 2 Mδ ( E ² − М ² ) .

Вообще говоря, Γ также может быть функцией E ; эта зависимость обычно важна только тогда, когда Γ не мало по сравнению с M и фазового пространства необходимо учитывать зависимость ширины от . (Например, при распаде ро-мезона на пару пионов .) Фактор M ² который умножает Γ ² также следует заменить на E ² (или Е ⁴ / М ² и т. д.), когда резонанс широкий.

Форма релятивистского распределения Брейта – Вигнера возникает из- за пропагатора нестабильной частицы: которое имеет знаменатель вида p ² − М ² + iM Γ . (Здесь, стр. ² - это квадрат четырехимпульса , переносимого этой частицей в используемой древовидной диаграмме Фейнмана.) Пропагатор в ее системе покоя тогда пропорционален квантово-механической амплитуде распада, используемого для восстановления этого резонанса,

${\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma }}~.$

Результирующее распределение вероятностей пропорционально абсолютному квадрату амплитуды, то есть приведенное выше релятивистское распределение Брейта – Вигнера для функции плотности вероятности.

Форма этого распределения аналогична амплитуде решения классического уравнения движения ведомого гармонического осциллятора, демпфируемого и возбуждаемого внешней синусоидальной силой. Оно имеет стандартную резонансную форму распределения Лоренца или Коши , но включает релятивистские переменные s = p ² , здесь = E ² . Распределение представляет собой решение дифференциального уравнения для квадрата амплитуды относительно энергии (частоты) в таком классическом вынужденном генераторе:

$f'({\text{E}})\left(\left({\text{E}}^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E}})({\text{E}}+M)=0,$

с

$f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}.~$

Дополнительная информация: Распределение Коши.

Гауссово уширение

В эксперименте падающий луч, вызывающий резонанс, всегда имеет некоторый разброс энергии вокруг центрального значения. Обычно это гауссово/нормальное распределение . Результирующая форма резонанса в этом случае определяется сверткой распределения Брейта – Вигнера и распределения Гаусса:

$V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{(E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\Gamma )^{2}}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(E'-E)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dE'.$

Эту функцию можно упростить вводя новые переменные,

$t={\frac {E-E'}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{1}={\frac {E-M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{2}={\frac {E+M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad a={\frac {k\pi }{2\sigma ^{2}}},$

чтобы получить

$V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )={\frac {H_{2}(a,u_{1},u_{2})}{\sigma ^{2}2{\sqrt {\pi }}}},$

где релятивистская функция уширения линии имеет следующее определение,

$H_{2}(a,u_{1},u_{2})={\frac {a}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{(u_{1}-t)^{2}(u_{2}-t)^{2}+a^{2}}}dt.$

$H_{2}$ является релятивистским аналогом аналогичной функции уширения линии для профиля Фойгта , используемого в спектроскопии (см. также раздел 7.19 книги ).