Принцип Архимеда

Эта статья о гидродинамике. Чтобы узнать об алгебраической аксиоме, см. свойство Архимеда .

Принцип Архимеда (также называемый принципом Архимеда ) гласит, что восходящая выталкивающая сила , действующая на тело, полностью или частично погруженное в жидкость , равна весу жидкости , которую тело вытесняет . Принцип Архимеда — это закон физики, фундаментальный для механики жидкости . сформулировал Архимед Сиракузский Его .

Объяснение

В книге «О плавающих телах » Архимед предположил, что (ок. 246 г. до н. э.):

Любой объект, полностью или частично погруженный в жидкость или жидкость, выдерживается силой, равной весу жидкости, вытесненной предметом.

Принцип Архимеда позволяет рассчитать плавучесть любого плавающего объекта, частично или полностью погруженного в жидкость. Направленная вниз сила, действующая на объект, — это просто его вес. Восходящая, или выталкивающая, сила, действующая на объект, равна силе, указанной выше в принципе Архимеда. Таким образом, чистая сила, действующая на объект, представляет собой разницу между величинами выталкивающей силы и его веса. Если эта чистая сила положительна, объект поднимается; если отрицательный, объект тонет; а если ноль, объект имеет нейтральную плавучесть, то есть он остается на месте, не поднимаясь и не опускаясь. Проще говоря, принцип Архимеда гласит, что когда тело частично или полностью погружено в жидкость, оно испытывает кажущуюся потерю веса, равную весу жидкости, вытесненной погруженной частью тела (тел).

Формула

Вес плавающего объекта F _p и его плавучесть F _a F _{b ) должны быть равны по размеру.} ( в тексте

Рассмотрим кубоид, погруженный в жидкость, его верхняя и нижняя грани ортогональны направлению силы тяжести (предполагается, что оно постоянно на всем протяжении куба). Жидкость будет оказывать нормальную силу на каждую грань, но плавучести будут способствовать только нормальные силы сверху и снизу. Разница давлений между нижней и верхней гранью прямо пропорциональна высоте (разница в глубине погружения). Умножение разницы давлений на площадь грани дает чистую силу, действующую на кубоид ⁠ ⁠ — плавучесть ⁠ ⁠ — равную по размеру весу жидкости, вытесненной кубоидом. Суммируя достаточное количество сколь угодно малых кубоидов, это рассуждение можно распространить на неправильные формы, и поэтому, какой бы ни была форма погруженного тела, выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости.

${\text{ weight of displaced fluid}}={\text{weight of object in vacuum}}-{\text{weight of object in fluid}}\,$

Вес вытесненной жидкости прямо пропорционален объему вытесненной жидкости (если окружающая жидкость имеет однородную плотность). Вес объекта в жидкости уменьшается из-за действующей на него силы, которая называется выталкиванием. Проще говоря, принцип гласит, что выталкивающая сила (F _b ) на объект равна весу жидкости, вытесненной объектом, или плотности ( ρ ) жидкости, умноженной на погруженный объем (V), умноженный на гравитация (г)

Мы можем выразить это соотношение в уравнении:

$F_{a}=\rho gV$

где $F_{a}$ обозначает выталкивающую силу, действующую на погружаемый объект, $\rho$ обозначает плотность жидкости, $V$ представляет собой объем вытесненной жидкости и $g$ это ускорение свободного падения .Таким образом, среди полностью погруженных в воду предметов одинаковой массы предметы большего объема обладают большей плавучестью.

Предположим, что вес камня равен 10 ньютонам , когда он подвешен на веревке в вакууме под действием силы тяжести. Предположим, что когда камень опускается в воду, он вытесняет воду массой 3 ньютона. Сила, которую он тогда оказывает на веревку, на которой он висит, составит 10 ньютонов минус 3 ньютона выталкивающей силы: 10 - 3 = 7 ньютонов. Плавучесть уменьшает видимый вес объектов, полностью погрузившихся на морское дно. Обычно легче поднять предмет через воду, чем вытащить его из воды.

Для полностью погруженного объекта принцип Архимеда можно переформулировать следующим образом:

${\text{apparent immersed weight}}={\text{weight of object}}-{\text{weight of displaced fluid}}\,$

затем вставляется в частное весов, которое разлагается на взаимный объем

${\frac {\text{density of object}}{\text{density of fluid}}}={\frac {\text{weight}}{\text{weight of displaced fluid}}}$

дает формулу ниже. Плотность погруженного объекта относительно плотности жидкости можно легко вычислить без измерения какого-либо объема.

${\frac {\text{density of object}}{\text{density of fluid}}}={\frac {\text{weight}}{{\text{weight}}-{\text{apparent immersed weight}}}}.\,$

(Эта формула используется, например, при описании принципа измерения дазиметра и гидростатического взвешивания .)

Пример: если вы уроните дерево в воду, плавучесть удержит его на плаву.

Пример: гелиевый шар в движущейся машине. При увеличении скорости или движении по повороту воздух движется в направлении, противоположном ускорению автомобиля. Однако из-за плавучести воздушный шар отталкивается воздухом и будет дрейфовать в том же направлении, что и ускорение автомобиля.

Когда объект погружается в жидкость, жидкость оказывает направленную вверх силу, известную как выталкивающая сила, которая пропорциональна весу вытесненной жидкости. Суммарная сила, действующая на объект, тогда равна разнице между весом объекта («сила вниз») и весом вытесненной жидкости («сила вверх»). Равновесие или нейтральная плавучесть достигается, когда эти два веса (и, следовательно, силы) равны.

Силы и равновесие

Уравнение для расчета давления внутри жидкости в равновесии:

$\mathbf {f} +\operatorname {div} \,\sigma =0$

где f — плотность силы, действующей на жидкость некоторым внешним полем, а σ — тензор напряжений Коши . В этом случае тензор напряжений пропорционален тождественному тензору:

$\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}.\,$

Здесь δij _{Кронекера} — дельта . Используя это, приведенное выше уравнение принимает вид:

$\mathbf {f} =\nabla p.\,$

Предполагая, что внешнее силовое поле консервативно, то есть его можно записать как отрицательный градиент некоторой скалярной функции:

$\mathbf {f} =-\nabla \Phi .\,$

Затем:

$\nabla (p+\Phi )=0\Longrightarrow p+\Phi ={\text{constant}}.\,$

Следовательно, форма открытой поверхности жидкости равна эквипотенциальной плоскости приложенного внешнего консервативного силового поля. Пусть ось z направлена ​​вниз. В этом случае поле является гравитационным, поэтому Φ = − ρ _f gz , где g — ускорение свободного падения, ρ _f — массовая плотность жидкости. Принимая давление на поверхности за нулевое, где z равно нулю, константа будет равна нулю, поэтому давление внутри жидкости, когда она находится под действием силы тяжести, равно

$p=\rho _{f}gz.\,$

Таким образом, давление увеличивается с глубиной под поверхностью жидкости, поскольку z обозначает расстояние от поверхности жидкости до нее. Любой объект с ненулевой вертикальной глубиной будет иметь разное давление сверху и снизу, причем давление снизу будет больше. Эта разница в давлении вызывает восходящую силу плавучести.

Теперь можно легко рассчитать силу плавучести, действующую на тело, поскольку известно внутреннее давление жидкости. Силу, действующую на тело, можно рассчитать путем интегрирования тензора напряжений по поверхности тела, контактирующей с жидкостью:

$\mathbf {B} =\oint \sigma \,d\mathbf {A} .$

Поверхностный интеграл можно преобразовать в объемный с помощью теоремы Гаусса :

$\mathbf {B} =\int \operatorname {div} \sigma \,dV=-\int \mathbf {f} \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} \int \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} V$

где V — мера объема, контактирующего с жидкостью, то есть объем погруженной части тела, поскольку жидкость не оказывает силы на ту часть тела, которая находится вне нее.

Величину силы плавучести можно лучше понять из следующего аргумента. Рассмотрим любой объект произвольной формы и объема V, окруженный жидкостью. Сила , с которой жидкость действует на объект внутри жидкости, равна весу жидкости с объемом, равным объему объекта. Эта сила приложена в направлении, противоположном силе гравитации, то есть имеет величину:

$B=\rho _{f}V_{\text{disp}}\,g,\,$

где ρ _f — плотность жидкости, V _disp — объем смещенного тела жидкости, а g — ускорение свободного падения в рассматриваемом месте.

Если этот объем жидкости заменить твердым телом точно такой же формы, сила, с которой жидкость воздействует на него, должна быть точно такой же, как указано выше. Другими словами, «сила плавучести» на погруженное тело направлена ​​в сторону, противоположную силе тяжести, и по величине равна

$B=\rho _{f}Vg.\,$

Чистая сила, действующая на объект, должна быть равна нулю, если это должна быть ситуация статики жидкости, при которой применим принцип Архимеда, и, таким образом, представляет собой сумму силы плавучести и веса объекта.

$F_{\text{net}}=0=mg-\rho _{f}V_{\text{disp}}g\,$

Если плавучесть объекта (неудерживаемого и не имеющего двигателя) превышает его вес, он имеет тенденцию подниматься. Объект, вес которого превышает его плавучесть, имеет тенденцию тонуть. Расчет восходящей силы, действующей на погруженный объект во время периода его ускорения, не может быть выполнен только на основе принципа Архимеда; необходимо учитывать динамику объекта с учетом плавучести. Как только он полностью опустится на дно жидкости или поднимется на поверхность и осядет, принцип Архимеда можно будет применить отдельно. Для плавающего объекта воду вытесняет только погруженный объем. У затонувшего объекта вода вытесняется всем объемом, и возникает дополнительная сила реакции со стороны твердого пола.

Чтобы принцип Архимеда можно было использовать отдельно, рассматриваемый объект должен находиться в равновесии (сумма сил, действующих на объект, должна быть равна нулю), следовательно;

$mg=\rho _{f}V_{\text{disp}}g,\,$

и поэтому

$m=\rho _{f}V_{\text{disp}}.\,$

показывая, что глубина, на которую опустится плавающий объект, и объем жидкости, которую он вытеснит, не зависят от гравитационного поля независимо от географического положения.

( Примечание: если рассматриваемая жидкость представляет собой морскую воду , она не будет иметь одинаковую плотность ( ρ ) в каждом месте. По этой причине на корабле может отображаться линия Плимсолла .)

Возможно, в игру вступают и другие силы, помимо плавучести и гравитации. Это происходит в том случае, если объект удерживается или если объект опускается на твердый пол. Объекту, который имеет тенденцию плавать, требуется удерживающая сила натяжения T, чтобы оставаться полностью погруженным. Объект, который имеет тенденцию тонуть, в конечном итоге будет испытывать нормальную силу сдерживания N, действующую на него со стороны твердого пола. Ограничивающая сила может представлять собой натяжение пружинных весов, измеряющих их вес в жидкости, и именно так определяется кажущийся вес.

Если бы объект в противном случае плавал, напряжение, удерживающее его при полном погружении, равно:

$T=\rho _{f}Vg-mg.\,$

Когда тонущий предмет опускается на твердый пол, на него действует нормальная сила :

$N=mg-\rho _{f}Vg.\,$

Другая возможная формула для расчета плавучести объекта — найти кажущийся вес этого конкретного объекта в воздухе (рассчитывается в Ньютонах) и кажущийся вес этого объекта в воде (в Ньютонах). Чтобы найти силу плавучести, действующую на объект в воздухе, используя эту конкретную информацию, применяется следующая формула:

Сила плавучести = вес объекта в пустом пространстве − вес объекта, погруженного в жидкость.

Конечный результат будет измеряться в Ньютонах.

Плотность воздуха очень мала по сравнению с большинством твердых тел и жидкостей. По этой причине вес объекта в воздухе примерно равен его истинному весу в вакууме. Плавучестью воздуха для большинства объектов во время измерения в воздухе пренебрегают, поскольку ошибка обычно незначительна (обычно менее 0,1%, за исключением объектов с очень низкой средней плотностью, таких как воздушный шар или легкая пена).

Упрощенная модель

Распределение давления на погруженном кубе

Силы на погруженном кубе

Приближение произвольного объема группой кубов

Упрощенное объяснение интегрирования давления по площади контакта можно сформулировать следующим образом:

Рассмотрим куб, погруженный в жидкость с горизонтальной верхней поверхностью.

Стороны одинаковы по площади и имеют одинаковое распределение по глубине, поэтому они также имеют одинаковое распределение давления и, следовательно, одинаковую общую силу, возникающую в результате гидростатического давления, приложенного перпендикулярно плоскости поверхности каждой стороны.

Имеется две пары противоположных сторон, поэтому результирующая горизонтальная сила уравновешивается в обоих ортогональных направлениях, и результирующая сила равна нулю.

Восходящая сила, действующая на куб, — это давление на нижнюю поверхность, интегрированное по его площади. Поверхность находится на постоянной глубине, поэтому давление постоянно. Следовательно, интеграл давления по площади горизонтальной нижней поверхности куба равен гидростатическому давлению на этой глубине, умноженному на площадь нижней поверхности.

Аналогично, сила, действующая вниз на куб, — это давление на верхнюю поверхность, интегрированное по его площади. Поверхность находится на постоянной глубине, поэтому давление постоянно. Следовательно, интеграл давления по площади горизонтальной верхней поверхности куба равен гидростатическому давлению на этой глубине, умноженному на площадь верхней поверхности.

Поскольку это куб, верхняя и нижняя поверхности одинаковы по форме и площади, а разница давлений между верхней и нижней частью куба прямо пропорциональна разнице глубин, а результирующая разница сил точно равна весу куба. жидкость, которая занимала бы объем куба в его отсутствие.

Это означает, что результирующая сила, действующая вверх на куб, равна весу жидкости, которая поместилась бы в объёме куба, а сила, действующая вниз на куб, равна его весу в отсутствие внешних сил.

Эта аналогия справедлива для изменения размера куба.

Если два куба расположены рядом друг с другом так, что грани каждого из них соприкасаются, давления и результирующие силы на контактирующих сторонах или их частях уравновешиваются и их можно не учитывать, поскольку контактные поверхности равны по форме, размеру и распределению давления. следовательно, плавучесть двух соприкасающихся кубов равна сумме плавучести каждого куба. Эту аналогию можно распространить на произвольное количество кубов.

Объект любой формы можно аппроксимировать как группу кубиков, соприкасающихся друг с другом, причем с уменьшением размера куба точность аппроксимации возрастает. Предельным случаем для бесконечно малых кубов является точная эквивалентность.

Наклонные поверхности не отменяют аналогию, поскольку результирующую силу можно разделить на ортогональные компоненты, и с каждой из них обращаться одинаково.

Уточнения

Принцип Архимеда не учитывает поверхностное натяжение (капиллярность), действующее на тело. Более того, было обнаружено, что принцип Архимеда не работает в сложных жидкостях .

Из принципа Архимеда есть исключение, известное как нижний (или боковой) случай. Это происходит, когда сторона объекта касается дна (или стороны) сосуда, в который он погружен, и жидкость не просачивается вдоль этой стороны. В этом случае было обнаружено, что результирующая сила отличается от принципа Архимеда из-за того, что, поскольку с этой стороны жидкость не просачивается, симметрия давления нарушается.

Принцип флотации

Принцип Архимеда показывает выталкивающую силу и перемещение жидкости. Однако концепцию принципа Архимеда можно применить при рассмотрении того, почему объекты плавают. В предложении 5 трактата Архимеда « О плавающих телах» говорится, что

Любой плавающий предмет вытесняет собственный вес жидкости.

— Архимед Сиракузский ​

Другими словами, для объекта, плавающего на поверхности жидкости (например, лодки) или плавающего, погруженного в жидкость (например, подводная лодка в воде или дирижабль в воздухе), вес вытесненной жидкости равен весу объекта. Таким образом, только в частном случае плавания выталкивающая сила, действующая на объект, равна весу объекта. Рассмотрим цельный железный блок массой 1 тонну. Поскольку железо почти в восемь раз плотнее воды, при погружении оно вытесняет лишь 1/8 тонны воды, чего недостаточно, чтобы удерживать его на плаву. Предположим, тот же железный блок превратился в чашу. Он по-прежнему весит 1 тонну, но когда его опускают в воду, он вытесняет больший объем воды, чем когда он был блоком. Чем глубже погружена железная чаша, тем больше воды она вытесняет и тем больше выталкивающая сила, действующая на нее. Когда выталкивающая сила равна 1 тонне, он не опустится дальше.

Когда любая лодка вытесняет воду, равную ее собственному весу, она плавает. Это часто называют «принципом плавучести»: плавающий объект вытесняет массу жидкости, равную его собственному весу. Каждый корабль, подводная лодка и дирижабль должны быть спроектированы так, чтобы вытеснять массу жидкости, по крайней мере, равную их собственному весу. Корпус корабля водоизмещением 10 000 тонн должен быть достаточно широким, достаточно длинным и достаточно глубоким, чтобы вытеснить 10 000 тонн воды, и при этом иметь некоторую часть корпуса над водой, чтобы предотвратить его затопление. Ему нужен дополнительный корпус, чтобы бороться с волнами, которые в противном случае заполнили бы его и, увеличив его массу, заставили бы его погрузиться. То же самое справедливо и для судов в воздухе: дирижаблю массой 100 тонн необходимо вытеснить 100 тонн воздуха. Если он вытесняет больше, он поднимается; если он смещается меньше, он падает. Если дирижабль перемещает ровно свой вес, он зависает на постоянной высоте.

Хотя они и связаны с ним, принцип плавучести и представление о том, что погруженный объект вытесняет объем жидкости, равный его собственному объему, не являются принципом Архимеда. Принцип Архимеда, как указано выше, приравнивает выталкивающую силу к весу вытесненной жидкости.

Одна общая точка путаницы Что касается принципа Архимеда, это значение смещенного объема. Обычные демонстрации включают измерение подъема уровня воды, когда объект плавает на поверхности, чтобы рассчитать вытесненную воду. Этот подход к измерению не работает с плавучим погруженным объектом, поскольку повышение уровня воды напрямую связано с объемом объекта, а не с массой (за исключением случаев, когда эффективная плотность объекта точно равна плотности жидкости).

Эврика

Основная статья: Эврика (слово)

Сообщается, что Архимед воскликнул «Эврика» после того, как понял, как определить, сделана ли корона из нечистого золота. Хотя в широко распространенной сказке он не использовал принцип Архимеда и использовал вытесненную воду только для измерения объема короны, существует альтернативный подход, использующий этот принцип: сбалансируйте корону и чистое золото на весах в воздухе, а затем поместите масштаб в воду. Согласно принципу Архимеда, если плотность короны отличается от плотности чистого золота, под водой весы разбалансируются.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с принципом Архимеда, на Викискладе?