Экспоненциальный объект

В математике , особенно в теории категорий , экспоненциальный объект или объект карты является категориальным обобщением функционального пространства в теории множеств . Категории со всеми конечными произведениями и экспоненциальными объектами называются декартовыми замкнутыми категориями . Категории (например, ) без подкатегории Top присоединенных товаров могут по-прежнему иметь экспоненциальный закон . ^[1]^[2]

Определение

Позволять $\mathbf {C}$ быть категорией, пусть $Z$ и $Y$ быть объектами $\mathbf {C}$ , и пусть $\mathbf {C}$ есть все бинарные продукты с $Y$ . Объект ${\textstyle Z^{Y}}$ вместе с морфизмом ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ является экспоненциальным объектом, если для любого объекта $X$ и морфизм ${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$ существует единственный морфизм ${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ (так транспонирование называемое $g$ ) такой, что следующая диаграмма коммутирует :

Универсальное свойство экспоненциального объекта — Universal property of the exponential object

Это уникальное задание $\lambda g$ каждому $g$ устанавливает изоморфизм ( биекцию ) hom-множеств , ${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y}).}$

Если ${\textstyle Z^{Y}}$ существует для всех объектов $Z,Y$ в $\mathbf {C}$ , то функтор $(-)^{Y}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ определяется на объектах с помощью $Z\mapsto Z^{Y}$ и на стрелках мимо $(f\colon X\to Z)\mapsto (f^{Y}\colon X^{Y}\to Z^{Y})$ , является правосопряженным к функтору произведения $-\times Y$ . По этой причине морфизмы $\lambda g$ и $g$ иногда называют экспоненциально сопряженными друг к другу. ^[3]

Уравненное определение

Альтернативно, экспоненциальный объект может быть определен с помощью уравнений:

Существование $\lambda g$ гарантируется существованием операции $\lambda -$ .
Коммутативность приведенных диаграмм гарантируется равенством $\forall g\colon X\times Y\to Z,\ \mathrm {eval} \circ (\lambda g\times \mathrm {id} _{Y})=g$ .
Уникальность $\lambda g$ гарантируется равенством $\forall h\colon X\to Z^{Y},\ \lambda (\mathrm {eval} \circ (h\times \mathrm {id} _{Y}))=h$ .

Универсальная собственность

Экспоненциальная $Z^{Y}$ задается универсальным морфизмом функтора произведения $-\times Y$ на объект $Z$ . Этот универсальный морфизм состоит из объекта $Z^{Y}$ и морфизм ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ .

Примеры

В категории множеств экспоненциальный объект $Z^{Y}$ это совокупность всех функций $Y\to Z$ . ^[4] Карта $\mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z$ это всего лишь оценочная карта , которая отправляет пару $(f,y)$ к $f(y)$ . Для любой карты $g\colon X\times Y\to Z$ карта $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ это карри- форма $g$ :

\lambda g(x)(y)=g(x,y).\,

Алгебра Гейтинга $H$ это просто ограниченная решетка , в которой есть все экспоненциальные объекты. Хейтинг импликация, $Y\Rightarrow Z$ , является альтернативным обозначением для $Z^{Y}$ . Приведенные выше результаты присоединения переводятся в импликацию ( $\Rightarrow :H\times H\to H$ ) будучи правосопряженным к встрече ( $\wedge :H\times H\to H$ ). Это дополнение можно записать как $(-\wedge Y)\dashv (Y\Rightarrow -)$ или более полно как: $(-\wedge Y):H{\stackrel {\longrightarrow }{\underset {\longleftarrow }{\top }}}H:(Y\Rightarrow -)$

В категории топологических пространств экспоненциальный объект $Z^{Y}$ существует при условии, что $Y$ — локально компактное хаусдорфово пространство . В этом случае пространство $Z^{Y}$ — множество всех непрерывных функций из $Y$ к $Z$ вместе с компактно-открытой топологией . Карта оценки такая же, как и в категории наборов; он непрерывен с указанной выше топологией. ^[5] Если $Y$ не является локально компактным по Хаусдорфу, экспоненциальный объект может не существовать (пространство $Z^{Y}$ все еще существует, но может не быть экспоненциальным объектом, поскольку функция оценки не обязательно должна быть непрерывной). По этой причине категория топологических пространств не может быть декартово замкнутой .Однако категория локально компактных топологических пространств также не является декартово замкнутой, поскольку $Z^{Y}$ не обязательно должен быть локально компактным для локально компактных пространств $Z$ и $Y$ . Декартова замкнутая категория пространств, например, задается полной подкатегорией, натянутой компактно порожденными хаусдорфовыми пространствами.

В языках функционального программирования морфизм $\operatorname {eval}$ часто называют $\operatorname {apply}$ и синтаксис $\lambda g$ часто пишут $\operatorname {curry} (g)$ . Морфизм $\operatorname {eval}$ здесь не следует путать с eval функция в некоторых языках программирования , которая оценивает выражения в кавычках.

См. также

Замкнутая моноидальная категория

Примечания

^ Экспоненциальный закон для пространств в n Lab
^ Удобная категория топологических пространств в n Lab.
^ Голдблатт, Роберт (1984). «Глава 3: Стрелки вместо эпсилон». Топосы: категориальный анализ логики . Исследования по логике и основам математики № 98 (пересмотренная редакция). Северная Голландия . п. 72. ИСБН 978-0-444-86711-7 .
^ Мак Лейн, Сондерс (1978). «Глава 4: Сопряженные». Категории для работающего математика . дипломные тексты по математике. Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. п. 98. дои : 10.1007/978-1-4757-4721-8_5 . ISBN 978-0387984032 .
^ Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (доказательство см. в главе 11).

Ссылки

Адамек, Иржи; Хорст Херрлих ; Джордж Стрекер (2006) [1990]. Абстрактные и конкретные категории (Кошачья радость) . Джон Уайли и сыновья.
Аводи, Стив (2010). «Глава 6: Экспоненты». Теория категорий . Оксфорд, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0199237180 .
Мак Лейн, Сондерс (1998). «Глава 4: Сопряженные». Категории для работающего математика . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0387984032 .

Внешние ссылки

Интерактивная веб-страница , генерирующая примеры экспоненциальных объектов и других категориальных конструкций. Автор Джоселин Пейн .

[1] Экспоненциальный закон для пространств в n Lab

[2] Удобная категория топологических пространств в n Lab.

[Goldblatt-3] Голдблатт, Роберт (1984). «Глава 3: Стрелки вместо эпсилон». Топосы: категориальный анализ логики . Исследования по логике и основам математики № 98 (пересмотренная редакция). Северная Голландия . п. 72. ИСБН 978-0-444-86711-7 .

[Lane-4] Мак Лейн, Сондерс (1978). «Глава 4: Сопряженные». Категории для работающего математика . дипломные тексты по математике. Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. п. 98. дои : 10.1007/978-1-4757-4721-8_5 . ISBN 978-0387984032 .

[5] Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (доказательство см. в главе 11).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]