Эрлангенская программа

В математике программа Эрлангена — это метод характеристики геометрии, основанный на теории групп и проективной геометрии . Он был опубликован Феликсом Кляйном в 1872 году под названием «Сравнительные соображения по новейшим геометрическим исследованиям». Он назван в честь университета Эрланген-Нюрнберг , где работал Кляйн.

К 1872 году появились неевклидовы геометрии , но без возможности определить их иерархию и взаимоотношения. Метод Кляйн был принципиально инновационным в трех отношениях:

• Проективная геометрия подчеркивалась как объединяющая основа для всех других рассматриваемых им геометрий. В частности, евклидова геометрия была более ограничительной, чем аффинная геометрия , которая, в свою очередь, более ограничительна, чем проективная геометрия.

• Кляйн предположил, что теория групп , раздел математики, использующий алгебраические методы для абстрагирования идеи симметрии , является наиболее полезным способом организации геометрических знаний; в то время она уже была введена в теорию уравнений в виде теории Галуа .

• Кляйн гораздо более четко выразил идею о том, что каждый геометрический язык имеет свои собственные, соответствующие понятия, так, например, проективная геометрия правильно говорила о конических сечениях , но не о кругах или углах, потому что эти понятия не были инвариантными при проективных преобразованиях (что-то знакомое в геометрической перспективе). ). То, как несколько языков геометрии затем снова объединились, можно объяснить тем, как подгруппы группы симметрии связаны друг с другом.

Позже Эли Картан обобщил однородные модельные пространства Клейна на связности Картана на некоторых главных расслоениях , что обобщило риманову геометрию .

Проблемы геометрии XIX века.

Со времен Евклида геометрия означала геометрию евклидова пространства двух измерений ( плоская геометрия ) или трёх измерений ( твёрдая геометрия ). В первой половине девятнадцатого века произошло несколько событий, усложнивших картину. Математические приложения требовали геометрии четырех или более измерений ; внимательное изучение основ традиционной евклидовой геометрии выявило независимость постулата параллельности от других, и неевклидова геометрия родилась . Кляйн предложил идею, что все эти новые геометрии являются лишь частными случаями проективной геометрии , уже развитой Понселе , Мёбиусом , Кэли и другими. Кляйн также настоятельно советовал физикам- математикам , что даже умеренное развитие проективной сферы может принести им существенную пользу.

С каждой геометрией Кляйн ассоциировал основную группу симметрий . Иерархия геометрий, таким образом, математически представляется как иерархия этих групп и иерархия их инвариантов . Например, длины, углы и площади сохраняются по отношению к евклидовой группе симметрий, тогда как только структура инцидентности и двойное отношение сохраняются при самых общих проективных преобразованиях . Понятие параллелизма , сохраняющееся в аффинной геометрии , не имеет смысла в проективной геометрии . Затем, абстрагируя основные группы симметрий от геометрий, отношения между ними могут быть восстановлены на уровне группы. Поскольку группа аффинной геометрии является подгруппой группы проективной геометрии, любое понятие, инвариантное в проективной геометрии, априори имеет смысл в аффинной геометрии; но не наоборот. Если вы удалите необходимые симметрии, вы получите более мощную теорию, но с меньшим количеством концепций и теорем (которые будут более глубокими и общими).

Однородные пространства

Другими словами, «традиционные пространства» — это однородные пространства ; но не для однозначно определенной группы. Изменение группы меняет соответствующий геометрический язык.

Говоря сегодняшним языком, все группы, относящиеся к классической геометрии, хорошо известны как группы Ли : классические группы . Конкретные отношения описываются довольно просто, используя технический язык.

Примеры

Например, группа проективной геометрии в n вещественнозначных измерениях — это группа симметрии n -мерного реального проективного пространства ( общая линейная группа степени n + 1 , факторизованная скалярными матрицами ). Аффинной группой будет подгруппа, относящаяся (отображающая сама к себе, а не фиксирующая поточечно) выбранную гиперплоскость на бесконечности . Эта подгруппа имеет известное строение ( полупрямое произведение полной линейной группы степени n на подгруппу сдвигов ). Затем это описание сообщает нам, какие свойства являются «аффинными». В терминах евклидовой плоскости параллелограмм является аффинным, поскольку аффинные преобразования всегда переводят один параллелограмм в другой. Быть кругом не аффинно, поскольку аффинный сдвиг превратит круг в эллипс.

Чтобы точно объяснить связь между аффинной и евклидовой геометрией, нам теперь нужно определить группу евклидовой геометрии внутри аффинной группы. Евклидова группа на самом деле (если использовать предыдущее описание аффинной группы) является полупрямым произведением ортогональной (вращения и отражения) группы со сдвигами. (Более подробную информацию см. в геометрии Клейна .)

Влияние на более позднюю работу

Долгосрочные эффекты программы Эрлангена можно увидеть во всей чистой математике (см. молчаливое использование при конгруэнтности (геометрии , например, ); а идея преобразований и синтеза с использованием групп симметрии стала стандартной в физике .

Когда топология обычно описывается в терминах свойств, инвариантных относительно гомеоморфизма , можно увидеть основную идею в действии. Задействованные группы почти во всех случаях будут бесконечномерными (а не группами Ли ), но философия та же самая. Конечно, это в большей степени говорит о педагогическом влиянии Кляйн. В таких книгах, как книги Х. С. М. Коксетера, для «размещения» геометрии обычно использовался программный подход Эрлангена. С педагогической точки зрения программа превратилась в геометрию преобразований , что является неоднозначным благом в том смысле, что она опирается на более сильные интуиции, чем стиль Евклида , но ее труднее преобразовать в логическую систему .

В своей книге «Структурализм» (1970) Жан Пиаже говорит: «В глазах современных математиков-структуралистов, таких как Бурбаки , программа Эрлангена составляет лишь частичную победу структурализма, поскольку они хотят подчинить всю математику, а не только геометрию, идее структуры » .

Для геометрии и ее группы элемент группы иногда называют движением геометрии. Например, можно узнать о модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии посредством разработки, основанной на гиперболических движениях . Такое развитие событий позволяет методично доказывать теорему об ультрапараллельности последовательными движениями.

Абстрактные результаты программы Эрланген

Довольно часто оказывается, что существуют две или более различные геометрии с изоморфными группами автоморфизмов . Возникает вопрос о чтении программы Эрлангена из абстрактной группы, в геометрию.

Один пример: ориентированная (т. е. отражений без учета ) эллиптическая геометрия (т. е. поверхность n -сферы с идентифицированными противоположными точками) и ориентированная сферическая геометрия (та же неевклидова геометрия , но с неотождествленными противоположными точками) имеют изоморфный автоморфизм. группа , SO( n +1) для четного n . Они могут показаться разными. Однако оказывается, что геометрии очень тесно связаны, и их можно уточнить.

Возьмем другой пример: эллиптические геометрии с разными радиусами кривизны имеют изоморфные группы автоморфизмов. На самом деле это не считается критикой, поскольку все такие геометрии изоморфны. Общая риманова геометрия выходит за рамки программы.

Комплексные , двойственные и двойные (также известные как расщепленные комплексные) числа появляются как однородные пространства SL(2, R )/H для группы SL(2, R ) и ее подгрупп H=A, N, K. Группа SL(2, R ) действует на этих однородных пространствах посредством дробно-линейных преобразований , и большая часть соответствующих геометрий может быть получена единым образом из программы Эрлангена.

Еще несколько примечательных примеров появились в физике.

Во-первых, n- мерная гиперболическая геометрия , n -мерное пространство де Ситтера и ( n -1)-мерная инверсивная геометрия имеют изоморфные группы автоморфизмов,

$\mathrm {O} (n,1)/\mathrm {C} _{2},\$

ортохронная группа Лоренца для n ≥ 3 . Но это, по-видимому, разные геометрии. Здесь появляются некоторые интересные результаты из физики. Показано, что физические модели в каждой из трех геометрий для некоторых моделей «двойственны».

Опять же, n -мерное антидеситтеровское пространство и ( n -1)-мерное конформное пространство с «лоренцевой» сигнатурой (в отличие от конформного пространства с «евклидовой» сигнатурой, которое идентично инверсивной геометрии для трех измерений или более) имеют изоморфные группы автоморфизмов, но имеют различную геометрию. Опять же, в физике существуют модели с «двойственностью» между обоими пространствами . см. в AdS/CFT Дополнительную информацию .

Накрывающая группа SU(2,2) изоморфна накрывающей группе SO(4,2), которая является группой симметрии 4D-конформного пространства Минковского, 5D-анти-де Ситтер-пространства и комплексного четырехмерного твистора. космос .

Таким образом, программу Эрлангена все еще можно считать плодотворной в отношении дуальности в физике.

В основополагающей статье, в которой были введены категории , Сондерс Мак Лейн и Сэмюэл Эйленберг заявили: «Это можно рассматривать как продолжение программы Кляйна Эрлангера в том смысле, что геометрическое пространство с его группой преобразований обобщается до категории с ее алгеброй отображений».

Связь программы Эрлангена с работами Чарльза Эресмана по группоидам в геометрии рассматривается в приведенной ниже статье Прадинеса.

В математической логике программа Эрлангена также послужила источником вдохновения для Альфреда Тарского в его анализе логических понятий .

Ссылки

• Кляйн, Феликс (1872) «Сравнительный обзор последних исследований в области геометрии». Полный английский перевод находится здесь https://arxiv.org/abs/0807.3161 .
• Шарп, Ричард В. (1997) Дифференциальная геометрия: обобщение Картана эрлангенской программы Кляйна Vol. 166. Спрингер.
• Генрих Гуггенхаймер (1977) Дифференциальная геометрия , Дувр, Нью-Йорк, ISBN   0-486-63433-7 .

Освещает творчество Лия, Кляйна и Картана. На стр. 139 Гуггенхаймер подводит итог данной области, отмечая: «Геометрия Клейна — это теория геометрических инвариантов транзитивной группы преобразований (программа Эрлангена, 1872 г.)».

• Томас Хокинс (1984) « Программа Эрлангера Феликса Кляйна: размышления о ее месте в истории математики», Historia Mathematica 11: 442–70.
• «Эрлангенская программа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Лижен Джи и Атанас Пападопулос (редакторы) (2015) Софус Ли и Феликс Кляйн: Эрлангенская программа и ее влияние на математику и физику , Лекции IRMA по математике и теоретической физике 23, Издательство Европейского математического общества, Цюрих.
• Феликс Кляйн (1872) «Сравнительный обзор последних исследований в области геометрии», Mathematical Annals, 43 (1893), стр. 63–100 (также: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, стр. 460–497). .

Английский перевод Меллен Хаскелл появился в Bull. Нью-Йорк Математика. Сок 2 (1892–1893): 215–249.

Оригинальный текст программы Эрланген на немецком языке можно просмотреть в онлайн-коллекции Мичиганского университета по адресу [1] , а также по адресу [2] в формате HTML.

Центральная информационная страница по программе Эрланген, поддерживаемая Джоном Баезом, находится по адресу [3] .

• Феликс Кляйн (2004) Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия , Дувр, Нью-Йорк, ISBN   0-486-43481-8

(перевод «Элементарной математики с более высокой точки зрения» , Часть II: Геометрия, издательство Springer, 1924 г.). Имеет раздел по программе Эрланген.