j -инвариант

-инвариант Клейна J в комплексной плоскости

В математике функция Кляйна , j -инвариант или j- Феликса рассматриваемая как функция комплексной переменной   τ , представляет собой модулярную функцию нулевого веса для специальной линейной группы SL(2, Z ), определенной на верхней полуплоскости . комплексной переменной τ цифры . Это единственная такая функция, голоморфная вдали от простого полюса в точке возврата, такая, что

$j\left(e^{2\pi i/3}\right)=0,\quad j(i)=1728=12^{3}.$

Рациональные функции от j являются модулярными и фактически дают все модулярные функции. Классически j -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над $\mathbb {C}$, но он также имеет удивительные связи с симметриями группы Монстров (эту связь называют чудовищным самогоном ).

Определение

Действительная часть j -инварианта как функция квадрата нома на единичном круге

Фаза j -инварианта в зависимости от квадрата нома на единичном круге

Дополнительная информация: Эллиптическая кривая § Эллиптические кривые над комплексными числами и модульные формы.

-инвариант j можно определить как функцию в верхней полуплоскости H = { τ ∈ C , Im ( τ ) > 0},

$j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )}}$

с третьим определением, подразумевающим $j(\tau )$ можно выразить в виде куба , также с 1728 г. ${}=12^{3}$.

Данные функции являются модульным дискриминантом $\Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}=(2\pi )^{12}\,\eta ^{24}(\tau )$, эта-функция Дедекинда $\eta (\tau )$и модульные инварианты,

$g_{2}(\tau )=60G_{4}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-4}$

$g_{3}(\tau )=140G_{6}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-6}$

где $G_{4}(\tau )$, $G_{6}(\tau )$ являются рядами Фурье ,

${\begin{aligned}G_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\,E_{4}(\tau )\\[4pt]G_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\,E_{6}(\tau )\end{aligned}}$

и $E_{4}(\tau )$, $E_{6}(\tau )$ являются рядами Эйзенштейна ,

${\begin{aligned}E_{4}(\tau )&=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\[4pt]E_{6}(\tau )&=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}$

и $q=e^{2\pi i\tau }$ (квадрат нома ) . Тогда j -инвариант может быть непосредственно выражен через ряд Эйзенштейна как:

$j(\tau )=1728{\frac {E_{4}(\tau )^{3}}{E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}}$

без числового коэффициента, кроме 1728. Это подразумевает третий способ определения модульного дискриминанта:

$\Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\,{\frac {E_{4}(\tau )^{3}-E_{6}(\tau )^{2}}{1728}}$

Например, используя приведенные выше определения и $\tau =2i$, то эта-функция Дедекинда $\eta (2i)$ имеет точное значение ,

$\eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{11/8}\pi ^{3/4}}}$

подразумевая трансцендентные числа ,

$g_{2}(2i)={\frac {11\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{8}}{2^{8}\pi ^{2}}},\qquad g_{3}(2i)={\frac {7\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{12}}{2^{12}\pi ^{3}}}$

но давая алгебраическое число (на самом деле целое число ),

$j(2i)=1728{\frac {g_{2}(2i)^{3}}{g_{2}(2i)^{3}-27g_{3}(2i)^{2}}}=66^{3}.$

В общем, это можно мотивировать, рассматривая каждое τ как представление класса изоморфизма эллиптических кривых. Каждая эллиптическая кривая E над C является комплексным тором и, следовательно, может быть отождествлена ​​с решеткой ранга 2; то есть двумерная решетка C . Эту решетку можно вращать и масштабировать (операции, сохраняющие класс изоморфизма), так что она порождается 1 и τ ∈ H . Эта решетка соответствует эллиптической кривой $y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\tau )x-g_{3}(\tau )$ (см. эллиптические функции Вейерштрасса ).

Обратите внимание, что j определен всюду в H, поскольку модульный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни.

Фундаментальная область

Обычный выбор фундаментальной области (серого цвета) для модулярной группы, действующей в верхней полуплоскости.

Можно показать, что Δ — модульная форма с весом двенадцать, а g ₂ — с весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор, а, следовательно, и j , является модулярной функцией нулевого веса, в частности, голоморфной функцией H → C, инвариантной относительно действия SL(2, Z ) . Факторизация по ее центру {±I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL(2, Z ) .

Подходящим выбором преобразований, принадлежащих к этой группе,

$\tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,$

мы можем уменьшить τ до значения, дающего то же значение для j и лежащего в фундаментальной области для j , которая состоит из значений τ, удовлетворяющих условиям

${\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\[5pt]-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}$

Функция j ( τ ) , ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение комплексных чисел C ровно один раз. Другими словами, для каждого c в C существует уникальное τ в фундаментальной области такое, что c = j ( τ ) . Таким образом, j обладает свойством отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость.

Кроме того, два значения τ,τ' ∈ H образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T(τ') для некоторого T ∈ PSL(2, Z ) . Это означает, что j обеспечивает биекцию множества эллиптических кривых над C на комплексную плоскость.

Как риманова поверхность , фундаментальная область имеет род 0 , и каждая ( первого уровня модулярная функция ) является рациональной функцией от j ; и, наоборот, каждая рациональная функция от j является модулярной функцией. Другими словами, поле модулярных функций — это C ( j ) .

Теория полей классов и j

Дополнительная информация: Комплексное умножение и двенадцатая проблема Гильберта.

-инвариант j обладает множеством замечательных свойств:

• Если τ — любая точка верхней полуплоскости, соответствующая эллиптическая кривая которой имеет комплексное умножение (то есть, если τ — любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью, так что j определен), то j ( τ ) является алгебраическое целое число . Эти специальные значения называются сингулярными модулями .
• Расширение поля Q [ j ( τ ), τ ]/ Q ( τ ) является абелевым, т. е. имеет абелеву группу Галуа .
• Пусть Λ — решетка в C, порожденная {1, τ }. Легко видеть, что все элементы Q ( τ ) , фиксирующие Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Остальные решетки с образующими {1, τ } , ассоциированные аналогичным образом с тем же порядком, определяют сопряжения j ( τ ) ) к j ( τ ) над Q ( τ . алгебраические Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок в Q ( τ ) представляет собой кольцо целых алгебраических чисел Q ( τ ) , и значения τ , имеющие его в качестве ассоциированного порядка, приводят к расширениям Q неразветвленным ( τ ) .

Эти классические результаты являются отправной точкой теории комплексного умножения.

Свойства трансцендентности

В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат: если τ — квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то j ( τ ) — целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если τ — алгебраическое число , а не мнимое квадратичное, то j ( τ ) трансцендентно.

Функция j обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер выдвинул особую гипотезу о трансцендентности, которую часто называют гипотезой Малера, хотя она была доказана как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера (теперь доказанная) состоит в том, что если τ находится в верхней полуплоскости, то e ^{2р это} и j ( τ ) никогда не являются одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если e ^{2р это} является алгебраическим, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны:

$j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}$

- расширение q и самогон

Несколько замечательных свойств j связаны с его q -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через q = e. ^{2р это} , который начинается:

$j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots$

Обратите внимание, что j имеет простой полюс на вершине, поэтому в его q -разложении нет членов ниже q. ⁻¹ .

Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, в результате чего получается несколько почти целых чисел , в частности константа Рамануджана :

$e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744$.

Асимптотическая формула для коэффициента при q ^н дается

${\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}\,n^{3/4}}}$,

что можно доказать с помощью метода круга Харди – Литтлвуда .

Самогон

Что еще более примечательно, коэффициенты Фурье для положительных показателей q представляют собой размеры градуированной части бесконечномерного градуированной алгебры представления группы монстров , называемой самогонным модулем , - в частности, коэффициента q ^н — размерность класса n части самогонного модуля , первым примером является алгебра Грисса , имеющая размерность 196,884, что соответствует терму 196884 q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона .

Изучение гипотезы о самогоне привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модульных функций нулевого рода. Если они нормализованы и имеют вид

$q^{-1}+{O}(q)$

затем Джон Г. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты.

Альтернативные выражения

У нас есть

$j(\tau )={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}$

где x = λ (1 − λ ) , а λ — модулярная лямбда-функция

$\lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(e^{\pi i\tau })}{\theta _{3}^{4}(e^{\pi i\tau })}}=k^{2}(\tau )$

отношение тэта-функций Якоби θm _, а – квадрат эллиптического модуля k ( τ ) . Значение j не меняется, когда λ заменяется любым из шести значений перекрестного отношения :

$\left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace$

Точки ветвления j находятся в точках {0, 1, ∞} , так что j — функция Белого .

Выражения через тэта-функции

Определим имя q = e ^{яма ​} и тэта-функция Якоби ,

$\vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}$

из которого можно вывести вспомогательные тета-функции, определенные здесь . Позволять,

${\begin{aligned}a&=\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}$

где ϑ _ij и θ _n — альтернативные обозначения, а a ⁴ − б ⁴ + с ⁴ = 0 . Тогда мы имеем для модулярных инвариантов g ₂ , g ₃ ,

${\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\end{aligned}}$

и модульный дискриминант,

$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}$

с эта-функцией Дедекинда η ( τ ) . Затем j τ ( можно быстро ) вычислить:

$j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}$

Алгебраическое определение

До сих пор мы рассматривали j как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант классов изоморфизма эллиптических кривых его можно определить чисто алгебраически. Позволять

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

— плоская эллиптическая кривая над любым полем . Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы привести приведенное выше уравнение к стандартной форме y ² = 4x ³ − g ₂ x − g ₃ (заметим, что это преобразование возможно только в том случае, если характеристика поля не равна 2 или 3). Итоговые коэффициенты:

${\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}$

где г ₂ знак равно c ₄ и г ₃ знак равно c ₆ . У нас также есть дискриминант

$\Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.$

-инвариант j эллиптической кривой теперь можно определить как

$j={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}$

В случае, когда поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно

$j=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.$

Обратная функция

Обратная функция - инварианта j может быть выражена через гипергеометрическую функцию ₂ F ₁ (см. также статью Уравнение Пикара–Фукса ). Явно, учитывая число N , решить уравнение j ( τ ) = N для τ можно как минимум четырьмя способами.

Метод 1 : Решение секстика в λ ,

$j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}$

где x = λ (1 − λ ) , а λ — модульная лямбда-функция, поэтому секстику можно решить как кубику от x . Затем,

$\tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right)}}=i{\frac {\operatorname {M} (1,{\sqrt {1-\lambda }})}{\operatorname {M} (1,{\sqrt {\lambda }})}}$

для любого из шести значений λ , где M — среднее арифметико-геометрическое .

Метод 2 : Решение квартики в γ ,

$j(\tau )={\frac {27\left(1+8\gamma \right)^{3}}{\gamma \left(1-\gamma \right)^{3}}}$

из четырех корней тогда для любого

$\tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;\gamma \right)}}$

Метод 3 : Решение кубики в β ,

$j(\tau )={\frac {64\left(1+3\beta \right)^{3}}{\beta \left(1-\beta \right)^{2}}}$

тогда для любого из трех корней

$\tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;\beta \right)}}$

Метод 4. Решение квадратичного уравнения по α .

$j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}$

затем,

$\tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right)}}$

Один корень дает τ , а другой — ⁠ 1 / τ ⁠ , но поскольку j ( τ ) = j (− ⁠ 1 / τ ⁠ ) , не имеет значения, какой α выбран. Последние три метода можно найти в Рамануджана теории эллиптических функций с альтернативными базисами.

Инверсия применяется при высокоточном вычислении периодов эллиптических функций, даже если их отношения становятся неограниченными. Связанным с этим результатом является выразимость через квадратичные радикалы значений j в точках мнимой оси, величины которых являются степенями 2 (что позволяет построить компас и линейку ). Последний результат едва ли очевиден, поскольку модулярное уравнение для j порядка 2 является кубическим.

Формулы Пи

Братья Чудновские нашли в 1987 году

${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}$

доказательство которого использует тот факт, что

$j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}.$

Подобные формулы см. в серии Рамануджана-Сато .

Неспособность классифицировать эллиптические кривые по другим полям.

$j$-инвариант чувствителен только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами или, в более общем смысле, к алгебраически замкнутому полю . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых $j$-инварианты одинаковы, но неизоморфны. Например, пусть $E_{1},E_{2}$ — эллиптические кривые, соответствующие полиномам

${\begin{aligned}E_{1}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-25x\\E_{2}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-4x,\end{aligned}}$

оба имеют $j$-инвариант $1728$. Тогда рациональные точки $E_{2}$ можно вычислить как:

$E_{2}(\mathbb {Q} )=\{\infty ,(2,0),(-2,0),(0,0)\}$

с $x^{3}-4x=x(x^{2}-4)=x(x-2)(x+2).$ Рациональных решений не существует $y=a\neq 0$. Это можно показать с помощью формулы Кардано, чтобы показать, что в этом случае решения задачи $x^{3}-4x-a^{2}$ все иррациональны. С другой стороны, на множестве точек

$\{n(-4,6):n\in \mathbb {Z} \}$

уравнение для $E_{1}$ становится $36n^{2}=-64n^{3}+100n$. Деление на $4n$ устранить $(0,0)$ решения квадратичная формула дает рациональные решения:

$n={\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot (-25)}}}{2\cdot 16}}={\frac {-9\pm 41}{32}}.$

Если рассматривать эти кривые $\mathbb {Q} ({\sqrt {10}})$, существует изоморфизм $E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))$ отправка

$(x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y)\ {\text{ where }}\ \mu ={\frac {\sqrt {10}}{2}}.$

Ссылки

Другой

• Апостол, Том М. (1976), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Тексты для аспирантов по математике, том. 41, Нью-Йорк: Springer-Verlag, MR   0422157 . Содержит очень читабельное введение и различные интересные личности.
  • Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Тексты для аспирантов по математике, том. 41 (2-е изд.), doi : 10.1007/978-1-4612-0999-7 , ISBN  978-0-387-97127-8 , МР   1027834
• Берндт, Брюс С .; Чан, Хенг Хуат (1999), «Рамануджан и модульный j-инвариант», Canadian Mathematical Bulletin , 42 (4): 427–440, doi : 10.4153/CMB-1999-050-1 , MR   1727340 . Предоставляет множество интересных алгебраических тождеств, включая обратное в виде гипергеометрического ряда.
• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа формы x^2 + ny^2: Ферма, теория полей классов и комплексное умножение , Нью-Йорк: публикация Wiley-Interscience, John Wiley & Sons Inc., MR   1028322, представляет j-инвариант и обсуждает связанную с ним теорию полей классов.
• Конвей, Джон Хортон ; Нортон, Саймон (1979), «Чудовищный самогон», Бюллетень Лондонского математического общества , 11 (3): 308–339, doi : 10.1112/blms/11.3.308 , MR   0554399 . Включает список из 175 модульных функций нулевого рода.
• Рэнкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-21212-0 , МР   0498390 . Содержит краткий обзор в контексте модульных форм.
• Шнайдер, Теодор (1937), «Арифметические исследования эллиптических интегралов», Math. Annals , 113 : 1–13, doi : 10.1007/BF01571618 , MR   1513075 , S2CID   121073687 .