Лемма о кодировании Мошовакиса
— Лемма о кодировании Мошовакиса это лемма из описательной теории множеств, включающая множества действительных чисел, подчиняющихся аксиоме детерминированности (принципу, несовместимому с выбором , согласно которому определена каждая целочисленная игра для двух игроков). Лемма была разработана и названа в честь математика Янниса Н. Мошовакиса .
В общем виде лемму можно выразить следующим образом:
- Пусть Γ — неавтодуальный точечный класс, замкнутый относительно вещественной квантификации и ∧ , и ≺ — -обоснованное Γ отношение на ω ой ранга θ ∈ ON . Пусть R ⊆ dom(≺) × ω ой быть таким, что (∀ x ∈dom(≺))(∃ y )( x R y ) . Тогда существует Γ -множество A ⊆ dom(≺) × ω ой который является набором выбора для R, то есть:
- (∀ α < θ )(∃ x ∈dom(≺), y )(| x | ≺ знак равно α ∧ x A y ) .
- (∀ Икс , y )( Икс А y → Икс р y ) .
Доказательство заключается в следующем: предположим, что от противоречия θ — минимальный контрпример, и fix ≺ , R и хорошее универсальное множество U ⊆ ( ω ой ) 3 для Γ -подмножеств ( ω ой ) 2 . Проще говоря, θ должен быть предельным порядковым номером. Для δ < θ мы говорим, что u ∈ ω ой коды - множество δ -выборов при условии, что свойство (1) выполнено для α ≤ δ при использовании A = U u и свойство (2) выполнено при A = U u , где мы заменяем x ∈ dom(≺) на x ∈ dom(≺) ∧ | х | ≺ [≤ δ ] . Ввиду минимальности θ для всех δ < θ существуют δ -множества выбора.
Теперь сыграйте в игру, в которой игроки I, II выбирают точки u , v ∈ ω. ой и II выигрывает, когда u, кодирующее набор δ 1 -выборов для некоторого δ 1 < θ, подразумевает, что v кодирует набор δ 2 -выборов для некоторого δ 2 > δ 1 . Выигрышная стратегия для I определяет Σ 1
1 набор B вещественных чисел, кодирующий наборы δ -выборов для сколь угодно больших δ < θ . Определите тогда
- Икс А y ↔ (∃ ш ∈ B ) U ( ш , Икс , y ) ,
который легко работает. С другой стороны, предположим, что τ — выигрышная стратегия для II. По теореме smn пусть s :( ω ой ) 2 → ох ой быть непрерывным таким, что для всех ϵ , x , t и w ,
- U ( s ( ϵ , Икс ), т , ш ) ↔ (∃ y , z )( y ≺ Икс ∧ U ( ϵ , y , z ) ∧ U ( z , т , ш )) .
По теореме о рекурсии существует ϵ 0 такое, что U ( ϵ 0 , x , z ) ↔ z знак равно τ ( s ( ϵ 0 , x )) . Непосредственная индукция по | х | ≺ для x ∈ dom(≺) показывает, что
- (∀ x ∈dom(≺))(∃! z ) U ( ϵ 0 , x , z ) ,
и
- (∀ x ∈dom(≺), z )( U ( ϵ 0 , x , z ) → z кодирует набор выбора порядкового номера ≥| x | ≺ ) .
Так что пусть
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Бабинкостова, Лиляна (2011). Теория множеств и ее приложения . Американское математическое общество. ISBN 978-0821848128 .
- ^ Форман, Мэтью ; Канамори, Акихиро (27 октября 2005 г.). Справочник по теории множеств (PDF) . Спрингер. п. 2230. ИСБН 978-1402048432 .
- ^ Мошовакис, Яннис (4 октября 2006 г.). «Обычные игры и игровые модели». У Александра С. Кехриса; Дональд А. Мартин; Яннис Н. Мошовакис (ред.). Семинар Кабала 77–79: Материалы, Семинар по логике Калифорнийского технологического института и Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, 1977–79 . Конспект лекций по математике. Том. 839. Берлин: Шпрингер. стр. 169–201. дои : 10.1007/BFb0090241 . ISBN 978-3-540-38422-9 .
 | Эта математике статья по незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |