Модель Drude

Модель Drude Electrons (показанные здесь синим цветом) постоянно отскакивают между более тяжелыми, стационарными кристаллическими ионами (показаны красным).

Модель Drude электрической проводимости была предложена в 1900 году Пол Друд, чтобы объяснить транспортные свойства электронов в материалах (особенно металлов). По сути, закон OHM был хорошо известен и заявил, что текущий J и напряжение V, управляемое током, связаны с сопротивлением r материала. Обратное сопротивление известно как проводимость. Когда мы рассматриваем металл длины единицы и площадь поперечного сечения единицы, проводимость известна как проводимость, которая является обратной удельным сопротивлением . Модель Drude пытается объяснить удельное сопротивление проводника с точки зрения рассеяния электронов (носителей электроэнергии) относительно неподвижными ионами в металле, которые действуют как препятствия для потока электронов.

Модель, которая представляет собой применение кинетической теории , предполагает, что микроскопическое поведение электронов в твердого веществ может быть классически обработано и ведет себя так же, как и пинбольная машина, с морем постоянно дрожащего электронов, отскакивающих и переосмысляющих более тяжелых, относительно неподвижных положительные ионы.

В современных терминах это отражается в модели валентного электрона , где море электронов состоит только из валентных электронов, И не полный набор электронов, доступных в твердом, и центры рассеяния представляют собой внутренние оболочки плотно связанных электронов в ядро. Центры рассеяния имели положительный заряд, эквивалентный количеству валентности атомов. Это сходство добавило к некоторым ошибкам вычислений в бумаге Drude, в конечном итоге предоставило разумную качественную теорию твердых веществ, способных делать хорошие прогнозы в некоторых случаях и привести совершенно неправильные результаты в других. Всякий раз, когда люди пытались дать больше субстанции и деталей природе рассеяния центров, а также механику рассеяния, а также значение длины рассеяния, все эти попытки заканчивались неудачами.

Длина рассеяния, рассчитанные в модели Drude, имеют порядок от 10 до 100 межатомических расстояний, а также не могут быть даны надлежащие микроскопические объяснения.

Рассеяние Drude не является электрон-электронным рассеянием, которое является лишь вторичным явлением в современной теории, ни ядерное рассеяние не может быть поглощено ядрами. Модель остается немного немой на микроскопических механизмах, в современных терминах это то, что сейчас называется «механизм первичного рассеяния», где основной феномен может быть разным случаем в случае.

Модель дает лучшие прогнозы для металлов, особенно в отношении проводимости, и иногда называется теория металлов Друде. Это связано с тем, что металлы имеют, по сути, лучшее приближение к модели свободного электрона , то есть металлы не имеют сложных полосовых структур , электроны ведут себя по существу как свободные частицы и где, в случае металлов, эффективное количество деилокализованных электронов, по сути, является, по сути, является, по существу, является, по существу, является, по существу, является, по существу, является, по существу, является, по существу, является, по существу, является, по существу, является, по существу, является по существу То же, что и номер валентности.

Двумя наиболее значимыми результатами модели Drude являются электронное уравнение движения, $${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{m}}\times \mathbf {B} \right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},$$ и линейная связь между плотностью тока J и электрическим полем E , $$\mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\,\mathbf {E} .$$

Здесь t - время, ⟨P⟩ - это средний импульс на электрон, а Q, N, M и τ являются соответственно заряд электронов, плотность числа, масса и среднее свободное время между ионными столкновениями. Последнее выражение особенно важно, потому что оно объясняет в полуколичественных терминах, почему закон Ома , одна из самых вездесущих отношений во всем электромагнетизме.

Шаги к более современной теории твердых веществ были даны следующим образом:

• и Твердое модель Эйнштейна модель Дебая , позволяющие предположить, что квантовое поведение обмена энергией в интегральных единицах или Quanta было важным компонентом в полной теории, особенно в отношении конкретных тепла , где теория Drude потерпела неудачу.
• В некоторых случаях, а именно в эффекте зала, теория делала правильные прогнозы, если вместо того, чтобы использовать отрицательный заряд для электронов, использовался положительный. В настоящее время это интерпретируется как отверстия (то есть квазичастицы, которые ведут себя как положительные носители заряда), но во время Друде это было довольно неясно, почему это было так.

Drude использовал статистику Maxwell -Holtzmann для газа электронов и для получения модели, которая была единственной доступной в то время. Заменив статистику правильной статистикой Fermi Dirac , Соммерфельд значительно улучшил прогнозы модели, хотя все еще имея полуклассическую теорию, которая не может предсказать все результаты современной квантовой теории твердых веществ.

История

Немецкий физик Пол Друд предложил свою модель в 1900 году, когда не было ясно, существуют ли атомы, и не было ясно, какие атомы были в микроскопическом масштабе. В своей оригинальной статье Drude допустил ошибку, оценивая количество Lorenz Law wiedemann -franz Law, чтобы быть вдвое больше, чем он должен был быть классически, что заставило его казаться в соответствии с экспериментальной стоимостью конкретного тепла. Это число примерно в 100 раз меньше классического прогноза, но этот фактор отменяется со средней электронной скоростью, которая примерно в 100 раз больше расчета Drude.

Первое прямое доказательство атомов посредством вычисления числа avogadro из микроскопической модели - Альберт Эйнштейн , первую современную модель структуры атома 1904 года и модель Резерфорда до 1909 года. Drude начинается с обнаружения электронов в 1897 году. JJ Thomson и предполагает в качестве упрощенной модели твердых веществ, что основная часть твердого вещества состоит из положительно заряженных центров рассеяния, и Море электронов погружают эти центры рассеяния, чтобы сделать общее солидное нейтральное с точки зрения заряда. Модель была расширена в 1905 году Хендриком Антуаном Лоренцем (и, следовательно, также известна как модель Drude -Lorentz ) Для обеспечения связи между теплопроводностью и электрической проводимостью металлов (см. Lorenz число ), и является классической моделью. Позже он был дополнен результатами квантовой теории в 1933 году Арнольдом Соммерфельдом и Хансом Бете , что привело к модели Drude -Sommerfeld .

В настоящее время модели Drude и Sommerfeld по -прежнему важны для понимания качественного поведения твердых веществ и получить первое качественное понимание конкретной экспериментальной установки. Это общий метод в физике твердотельного состояния , где типично для постепенного увеличения сложности моделей для обеспечения все более и более точных прогнозов. Реже часто использовать полномасштабную теорию квантовых поля из первых принципов, учитывая сложности из-за огромного количества частиц и взаимодействий и небольшого дополнительного значения дополнительной математики (учитывая дополнительное усиление в численной точности прогнозов )

Предположения

Друд использовал кинетическую теорию газов, применяемой к газу электронов, перемещающихся на фиксированном фоне « ионов »; Это в отличие от обычного способа применения теории газов в качестве нейтрального разбавленного газа без фона. электронного Плотность числа газа предполагалась $$n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},$$ где z -это эффективное количество деилализованных электронов на иона, для которого Drude использовал количество валентности, A -атомная масса на моль, $\rho _{\text{m}}$ это плотность массы (масса на единицу объема) из «ионов», и n _a - это константа авогадро . Учитывая средний объем, доступный на электрон в качестве сферы: $${\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}.$$ Количество $r_{\text{s}}$ является параметром, который описывает плотность электронов и часто имеет порядок в радиусе Бора в 2 или 3 раза больше , для щелочных металлов он варьируется от 3 до 6, а некоторые металлические соединения могут подняться до 10. Плотность состоит из порядка 1000 раз типичного классического газа.

Основные предположения, сделанные в модели Drude, являются следующими:

• Drude применил кинетическую теорию разбавленного газа, несмотря на высокую плотность, поэтому игнорируя электрон -электронные и электрон -ионные взаимодействия, помимо столкновений.
• Модель Drude считает, что металл сформирован из коллекции положительно заряженных ионов, от которых был отделен ряд «свободных электронов». Можно считать, что это валентные электроны атомов, которые стали делокализованными из -за электрического поля других атомов.
• Модель Drude пренебрегает большим взаимодействием между электроном и ионами или между электронами; Это называется независимым электронным приближением.
• Электроны перемещаются по прямым линиям между одним столкновением и другим; Это называется свободным электронным приближением.
• Единственное взаимодействие свободного электрона с окружающей средой рассматривалось как столкновения с непроницаемым ядром ионов.
• Среднее время между последующими столкновениями такого электрона составляет τ с без памяти распределением пуассона . Природа партнера по столкновению электрона не имеет значения для расчетов и выводов модели Drude.
• После события столкновения распределение скорости и направления электрона определяется только локальной температурой и не зависит от скорости электрона до события столкновения. Считается, что электрон находится сразу же при равновесии с локальной температурой после столкновения.

Удаление или улучшение каждого из этих предположений дает более утонченные модели, которые могут более точно описывать различные твердые вещества:

• Улучшение гипотезы о статистике Максвелла -Болтцманн со статистикой Ферми -Дирака приводит к модели Drude -Somerfeld .
• Улучшение гипотезы статистики Максвелла -Болтцмана со статистикой Бозе -Эйнштейна приводит к соображениям относительно удельной тепла целочисленного спинового атома и в конденсат Бозе -Эйнштейн .
• Электрон валентной полосы в полупроводнике по -прежнему является свободным электроном в диапазоне разграниченных энергий (то есть только «редкое» столкновение с высокой энергией, которое подразумевает, что изменение полосы будет вести себя по -разному); Независимое аппроксимация электронов по сути все еще достоверно (то есть нет электрон -электронного рассеяния), где вместо этого гипотеза о локализации событий рассеяния отбрасывается (в терминах непрофессионала электрон и рассеивает повсюду).

Математическая обработка

Поле DC

Самый простой анализ модели Drude предполагает, что электрическое поле E является однородным и постоянным, и что термическая скорость электронов достаточно высока, так что они накапливают только бесконечно максимальное количество импульса D P , которые встречаются в среднем каждые τ секунд Полем

Затем электрон, изолированный в момент времени, в среднем будет проходить время τ с момента его последнего столкновения, и, следовательно, будет накоплен импульс $$\Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$$

Во время последнего столкновения этот электрон с такой же вероятностью отскочил вперед, как и назад, поэтому все предыдущие вклад в импульс электрона могут быть проигнорированы, что приводит к выражению выражения $$\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$$

Заменить отношения $${\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}$$ приводит к формулированию закона Ома, упомянутого выше: $$\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .$$

Изменяющийся во времени анализ

Друда реакция плотности тока на электрическое поле переменного тока.

Динамика также может быть описана путем введения эффективной силы сопротивления. В момент времени t = t ₀ + dt импульс электрона будет: $$\mathbf {p} (t_{0}+dt)=\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right]+{\frac {dt}{\tau }}\left(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right)$$ где $\mathbf {f} (t)$ можно интерпретировать как общая сила (например, сила Лоренца ) на носителе или, более конкретно, на электроне. $\mathbf {g} (t_{0})$ это импульс носителя со случайным направлением после столкновения (т.е. с импульсом $\langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0$) с абсолютной кинетической энергией $${\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT.$$

В среднем часть $1-{\frac {dt}{\tau }}$ Из электронов не произойдет еще одно столкновение, другая фракция, которая имела в среднем столкновение, будет в среднем в случайном направлении и будет способствовать общему импульсу лишь коэффициенту. ${\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt$ который имеет второй порядок.

С небольшим количеством алгебры и сброшенными условиями порядка $dt^{2}$, это приводит к общему дифференциальному уравнению $${\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}$$

Второй термин на самом деле является дополнительной силой перетаскивания или демпфирования из -за эффектов Drude.

Постоянное электрическое поле

В момент времени t = t ₀ + dt средний импульс электрона будет $$\langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),$$ а потом $${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},$$ где ⟨p⟩ заряд . обозначает средний импульс и q электронов Это, которое является неоднородным дифференциальным уравнением, может быть решено для получения общего решения $$\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p} (0)\rangle e^{-t/\tau }$$ для p ( t ) . Решение устойчивого состояния , ⁠ d ⟨p⟩ dt ⁠ / тогда 0 = , $$\langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .$$

Как и выше, средний импульс может быть связан со средней скоростью, и это, в свою очередь, может быть связано с плотностью тока, $${\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}$$ и материал может быть показан, чтобы удовлетворить закон Ома $\mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E}$ с постоянным током σ ₀ : $$\sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}$$

Полю переменного тока

Сложная проводимость для разных частот, предполагая, что τ = 10 ⁻⁵ и что σ ₀ = 1 .

Модель Drude также может предсказать ток как ответ на зависимое от времени электрическое поле с угловой частотой ω . Сложная проводимость $$\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.$$

Здесь предполагается, что: $${\begin{aligned}E(t)&=\Re {\left(E_{0}e^{-i\omega t}\right)};\\J(t)&=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{-i\omega t}\right).\end{aligned}}$$ В инженерии I обычно заменяется -i (или -j ) во всех уравнениях, что отражает разность фаз относительно происхождения, а не задержку в точке наблюдения, движущейся во времени.

Доказательство с использованием уравнения движения

Данный $${\begin{aligned}\mathbf {p} (t)&=\Re {\left(\mathbf {p} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {E} (t)&=\Re {\left(\mathbf {E} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\end{aligned}}$$ И уравнение движения выше $${\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}$$ замена $$-i\omega \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {E} (\omega )-{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{\tau }}$$ Данный $${\begin{aligned}\mathbf {j} &=-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}\\\mathbf {j} (t)&=\Re {\left(\mathbf {j} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {j} (\omega )&=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega )}{1/\tau -i\omega }}\end{aligned}}$$ Определение сложной проводимости из: $$\mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )$$ У нас есть: $$\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$$

Воображаемая часть указывает, что ток отстает за электрическим полем. Это происходит потому, что электроны нужно примерно время τ , чтобы ускорить в ответ на изменение электрического поля. Здесь модель Drude применяется к электронам; Это может быть применено как к электронам, так и к отверстиям; т.е. носители положительного заряда в полупроводниках. Кривые для σ ( ω ) показаны на графике.

Если синусоидально изменяющееся электрическое поле с частотой $\omega$ Применяется к твердому веру, отрицательно заряженные электроны ведут себя как плазма, которая имеет тенденцию перемещать расстояние x отдельно от положительно заряженного фона. В результате образец поляризован, и на противоположных поверхностях образца будет избыточный заряд.

Диэлектрическая постоянная образца выражается как $$\varepsilon ={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}$$ где $D$ электрическое смещение и $P$ это плотность поляризации .

Плотность поляризации написана как $$P(t)=\Re {\left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}$$ и плотность поляризации с n электронной плотностью $$P=-nex$$ После небольшой алгебры связь между плотностью поляризации и электрическим полем может быть выражена как $$P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E$$ Зависимая частотная диэлектрическая функция твердого вещества $$\varepsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}$$

Доказательство с использованием уравнений Максвелла

Учитывая приближения для $\sigma (\omega )$ включено выше

• Мы предположили, что нет электромагнитного поля: это всегда меньше к фактору V/C, учитывая дополнительный термин Lorentz $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$ в уравнении движения
• Мы предположили пространственно равномерное поле: это верно, если поле не колеблется значительно по нескольким средним свободным путям электронов. Обычно это не так: средний свободный путь относится к порядку ангстрем, соответствующих длину волн, типичных для рентгеновских лучей.

Ниже приведены уравнения Максвелла без источников (которые обрабатываются отдельно в объеме колебаний плазмы ), в гауссовых единицах : $${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0;&\nabla \cdot \mathbf {B} &=0;\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}$$ Затем $$\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)$$ или $$-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E}$$ которое представляет собой уравнение электромагнитной волны для непрерывной однородной среды с диэлектрической постоянной $\epsilon (\omega )$ в форме Гельмольца $$-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )\mathbf {E}$$ Где показатель преломления ${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\epsilon (\omega )}}}$ и фазовая скорость $v_{p}={\frac {c}{n(\omega )}}$ Следовательно, сложная диэлектрическая постоянная $$\epsilon (\omega )=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)$$ Что в случае $\omega \tau \gg 1$ может быть аппроксимирован к: $$\epsilon (\omega )=\left(1-{\frac {\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{\rm {p}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}{\text{(Gaussian units)}}.$$ В SI подразделениях $4\pi$ в числитере заменяется на $\varepsilon _{0}$ в знаменателе.

На резонансной частоте $\omega _{\rm {p}}$, называемая частотой плазмы , диэлектрическая функция изменяет знак от отрицательной на положительную и реальную часть диэлектрической функции падает до нуля. $$\omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}$$ Плазменная частота представляет собой в плазме резонанс или плазмон . Частота плазмы может быть использована в качестве прямой меры квадратного корня плотности валентных электронов в твердом. Наблюдаемые значения находятся в разумном согласии с этим теоретическим прогнозом для большого количества материалов. Под частотой плазмы диэлектрическая функция является отрицательной, и поле не может проникнуть в образец. Свет с угловой частотой ниже плазменной частоты будет полностью отражен. Над плазменной частотой световые волны могут проникать в образец, типичный пример - щелочные металлы, которые становятся прозрачными в диапазоне ультрафиолетового излучения.

Теплопроводность металлов

Одним из больших успехов модели Drude является объяснение закона Видеманна-Франца . Это было связано с случайным отменой ошибок при первоначальном расчете Друде. Drude предсказал значение номера Лоренца: $${\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$$ Экспериментальные значения обычно находятся в диапазоне $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$ Для металлов при температуре от 0 до 100 градусов по Цельсию.

Ошибки

Твердые вещества могут проводить тепло через движение электронов, атомов и ионов. Проводники имеют большую плотность свободных электронов, тогда как изоляторы этого не делают; Ионы могут присутствовать в любом. Учитывая хорошую электрическую и теплопроводность в металлах и плохую электрическую и теплопроводность у изоляторов, естественной отправной точкой для оценки теплопроводности является расчет вклада электронов проводимости.

Плотность теплового тока - это поток на единицу времени тепловой энергии по единичной площади, перпендикулярной потоку. Это пропорционально градиенту температуры. $$\mathbf {j} _{q}=-\kappa \nabla T$$ где $\kappa$ это теплопроводность. В одномерном проводе энергия электронов зависит от локальной температуры $\epsilon [T(x)]$ Если мы представляем градиент температуры, при котором температура уменьшается в положительном направлении X, средняя скорость электронов равна нулю (но не средняя скорость). Электроны, прибывающие в местоположение x со стороны более высокой энергии, поступят с энергией $\varepsilon [T(x-v\tau )]$, в то время как те, кто со стороны нижней энергии прибудет с энергиями $\varepsilon [T(x+v\tau )]$Полем Здесь, $v$ Средняя скорость электронов и $\tau$ это среднее время с момента последнего столкновения.

Чистый поток тепловой энергии в месте x - это разница между тем, что проходит слева направо и справа налево: $$\mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv{\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}$$ Фактор ⁠ 1/2 . направлении ⁠ объясняет тот факт, что электроны одинаково вероятно, будут двигаться в любом Только половина вносит свой вклад в поток на x .

Когда средний свободный путь $\ell =v\tau$ маленькое, количество ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ может быть аппроксимирован производным по отношению к x. Это дает $$\mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}\cdot \left(-{\frac {dT}{dx}}\right)$$ Поскольку электрон движется в $x$, $y$, и $z$ направления, средняя квадратная скорость в $x$ направление $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$Полем У нас также есть $n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}$, где $c_{v}$ это удельная теплоемкость материала.

Собрать все это вместе, плотность тепловой энергии. $$\mathbf {j} _{q}=-{\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}\nabla T$$ Это определяет теплопроводность: $$\kappa ={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}$$ (Этот вывод игнорирует зависимость температуры, и, следовательно, зависимость от положения, скорость v. Это не внесет значительную ошибку, если температура быстро не изменится на расстоянии, сравнимого со средним свободным путем.)

Разделение теплопроводности $\kappa$ по электрической проводимости $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$ устраняет время рассеяния $\tau$ и дает $${\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {c_{v}mv^{2}}{3ne^{2}}}$$

На этом этапе расчета Drude сделал два предположения, которые теперь известны как ошибки. Во -первых, он использовал классический результат для конкретной теплоемкость электронов проводимости: $c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$Полем Это переоценивает электронный вклад в удельную теплоемкость в течение примерно 100. Во -вторых, Drude использовал классическую среднюю скорость для электронов, ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T$Полем Это недооценивает энергию электронов примерно в размере примерно 100. Отмена этих двух ошибок приводит к хорошему приближению к проводимости металлов. В дополнение к этим двум оценкам, Drude также допустил статистическую ошибку и переоценил среднее время между столкновениями в течение 2. Это слияние ошибок дало значение для числа Лоренца, которое было удивительно близко к экспериментальным значениям.

Правильное значение числа Лоренца, оцененное по модели Drude $${\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}.$$

Термоэффективность

Общий градиент температуры при включении в тонкую стержень запустит ток электронов в сторону более низкой температуры, учитывая, что эксперименты проводится в открытой цепи, этот ток будет накапливаться на этой стороне, генерируя электрическое поле, противодействующее электрическому току. Это поле называется термоэлектрическим полем: $$\mathbf {E} =Q\nabla T$$ и Q называется FermoPower. Оценки Drude являются коэффициентом 100 низкого уровня, учитывая прямую зависимость с удельной теплом. $$Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}$$ где типичные термопороки при комнатной температуре в 100 раз меньше от порядка микроволтов.

Доказательство вместе с ошибками Drude

Из простой модели с одним измерениями $$v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau )-v(x+v\tau )]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)$$ Расширение до 3 градусов свободы $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $$\mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)$$ Средняя скорость из -за электрического поля (учитывая уравнение движения выше при равновесии) $$\mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}$$ Иметь общий текущий нулевой $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$ у нас есть $$Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}$$ И, как обычно, в случае Друде $c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ $$Q=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}$$ где типичные термопороки при комнатной температуре в 100 раз меньше от порядка микроволтов.

Точность модели

Модель Drude обеспечивает очень хорошее объяснение DC и проводимости переменного тока в металлах, эффект зала и магниторезистентности в металлах возле комнатной температуры. Модель также частично объясняет закон Видеманна - Франса 1853 года.

Формула Drude получена ограниченным образом, а именно путем предположения, что носители заряда образуют классический идеальный газ . Когда рассматривается квантовая теория, модель Drude может быть распространена на модель свободного электрона , где носители следуют распределению Ферми - Дирака . Прогнозируемая проводимость такая же, как в модели Drude, поскольку она не зависит от формы электронного распределения скорости. Тем не менее, модель Друде значительно переоценивает электронную теплоемкость металлов. В действительности металлы и изоляторы имеют примерно такую ​​же теплоемкость при комнатной температуре. Кроме того, модель Drude не объясняет рассеянную тенденцию электрической проводимости по сравнению с частотой выше примерно 2 ТГц.

Модель также может быть применена к положительным (дырочным) носителям заряда.

Ответ Drude в реальных материалах

Характерное поведение металла Drude во временной или частотной области, то есть экспоненциальная релаксация с постоянной временной τ или частотная зависимость для σ ( ω ), указанного выше, называется реакцией Drude. В обычном, простом, реальном металле (например, натрия, серебра или золота при комнатной температуре) такое поведение не встречается экспериментально, потому что характерная частота τ ⁻¹ находится в инфракрасном диапазоне частот, где другие функции, которые не рассматриваются в модели Drude (например, структура полосы ), играют важную роль. Но для некоторых других материалов с металлическими свойствами была обнаружена частотная проводимость, которая внимательно следует за простым прогнозом Drude для σ ( ω ) . Это материалы, где скорость релаксации τ ⁻¹ находится на гораздо более низких частотах. Это относится к определенным легированным полупроводниковым монокристаллам, высокая мобильность двухмерных электронных газов , и тяжелые металлы .

Смотрите также

• Свободная электронная модель
• Арнольд Соммерфельд
• Электрическая проводимость

Ссылки

Общий

• Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого состояния . Нью -Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  978-0-03-083993-1 .
• Киттель, Чарльз (2005). Введение в физику твердого состояния (8 -е изд.). John Wiley & Sons Inc. ISBN  0-471-41526-х .
• Зиман, JM (1972). Принципы теории твердых веществ (2 -е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-29733-8 .

Внешние ссылки

• Хини, Майкл Б. (2003). «Электрическая проводимость и удельное сопротивление» . В Вебстере Джон Г. (ред.). Электрическое измерение, обработка сигнала и отображение . CRC Press. ISBN  9780203009406 .