Аксиома союза
В аксиоматической теории множеств аксиома объединения является одной из аксиом теории множеств Цермело – Френкеля . Эту аксиому ввел Эрнст Цермело . [1]
Неформально аксиома утверждает, что для каждого набора x существует набор y , элементы которого являются в точности элементами элементов x .
Официальное заявление
[ редактировать ]На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:
или словами:
- любого набора A существует существует набор B такой, что для любого элемента c c B является членом Для тогда и только тогда, когда набор D такой, что c является членом D , а D членом A. является
или, проще говоря:
- Для любого набора , есть набор который состоит только из элементов элементов этого множества .
Отношение к сопряжению
[ редактировать ]Аксиома объединения позволяет распаковать набор множеств и, таким образом, создать более плоский набор. Вместе с аксиомой спаривания это означает, что для любых двух множеств существует набор (называемый их объединением ), который содержит ровно элементы двух множеств.
Отношение к замене
[ редактировать ]Аксиома замены позволяет образовывать множество объединений, например объединение двух множеств.
Однако в своей полной общности аксиома объединения независима от остальных ZFC-аксиом: [ нужна ссылка ] Замена не доказывает существования объединения множества множеств, если результат содержит неограниченное число мощностей.
Вместе со схемой аксиом замены аксиома объединения подразумевает, что можно образовать объединение семейства множеств, индексированных набором.
Отношение к разделению
[ редактировать ]В контексте теорий множеств, которые включают аксиому разделения, аксиома объединения иногда формулируется в более слабой форме, которая дает только надмножество объединения множеств. Например, Кунен [2] формулирует аксиому как
![{\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\ в А].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e141c03ab505e1b3a747497a2a883e7ad82e6175)
что эквивалентно
![{\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\forall x[[\exists Y (x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})]\Rightarrow x\in A ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f40df37cf409b543cf89ead1b85604903ee00b)
По сравнению с аксиомой, изложенной в начале этого раздела, этот вариант утверждает только одно направление импликации, а не оба направления.
Отношение к пересечению
[ редактировать ]не существует Соответствующей аксиомы пересечения . Если представляет собой непустое множество, содержащее , можно образовать пересечение используя схему аксиом спецификации как
- ,
поэтому отдельная аксиома пересечения не требуется. (Если A — пустое множество , то попытка сформировать пересечение A как
- { c : для всех D в A , c находится в D }
не допускается аксиомами. Более того, если бы такое множество существовало, то оно содержало бы все множества во «вселенной», но понятие универсального множества противоречит теории множеств Цермело – Френкеля.)
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Эрнст Цермело, 1908, «Исследования основ теории множеств I», Mathematical Annals 65 (2), стр. 261–281.
Английский перевод: Жан ван Хейеноорт , 1967, От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, стр. 199–215. ISBN 978-0-674-32449-7 - ^ Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
- Джех, Томас , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 .
