Модель Друде

Электроны модели Друде (показаны здесь синим цветом) постоянно подпрыгивают между более тяжелыми неподвижными кристаллическими ионами (показаны красным).

Модель Друде электропроводности . была предложена в 1900 году Пол Друде, чтобы объяснить транспортные свойства электронов в материалах (особенно в металлах). По сути, закон Ома был хорошо известен и гласил, что ток J и напряжение V , вызывающее ток, связаны с сопротивлением R материала. Обратная величина сопротивления известна как проводимость. Когда мы рассматриваем металл единичной длины и единичной площади поперечного сечения, проводимость называется проводимостью, которая является обратной величиной удельного сопротивления . Модель Друде пытается объяснить удельное сопротивление проводника с точки зрения рассеяния электронов (носителей электричества) относительно неподвижными ионами в металле, которые действуют как препятствия для потока электронов.

Модель, являющаяся применением кинетической теории , предполагает, что микроскопическое поведение электронов в твердом теле можно рассматривать классически и ведет себя во многом как автомат для игры в пинбол , где море постоянно колеблющихся электронов отскакивает и отскакивает от более тяжелых, относительно неподвижных. положительные ионы.

Говоря современным языком, это отражено в модели валентных электронов , в которой море электронов состоит только из валентных электронов. а не полный набор электронов, имеющихся в твердом теле, а центры рассеяния представляют собой внутренние оболочки прочно связанных с ядром электронов. Центры рассеяния имели положительный заряд, эквивалентный валентному числу атомов. Это сходство, добавленное к некоторым ошибкам вычислений в статье Друде, в конечном итоге привело к созданию разумной качественной теории твердых тел, способной делать хорошие предсказания в одних случаях и давать совершенно неверные результаты в других. Всякий раз, когда люди пытались более подробно и подробно объяснить природу центров рассеяния, механику рассеяния и значение длины рассеяния, все эти попытки заканчивались неудачами.

Длины рассеяния, вычисленные в модели Друде, составляют порядка 10–100 межатомных расстояний, и им также не может быть дано надлежащее микроскопическое объяснение.

Рассеяние Друде — это не электрон-электронное рассеяние, которое является лишь второстепенным явлением в современной теории, равно как и ядерное рассеяние, поскольку электроны не могут быть в лучшем случае поглощены ядрами. Модель немного умалчивает о микроскопических механизмах, говоря современным языком, это то, что сейчас называется «механизмом первичного рассеяния», где основное явление может быть разным в каждом конкретном случае.

Модель дает более точные прогнозы для металлов, особенно в отношении проводимости. и иногда называется теорией металлов Друде. Это связано с тем, что металлы имеют по существу лучшее приближение к модели свободных электронов , т.е. металлы не имеют сложной зонной структуры , электроны ведут себя по существу как свободные частицы и где, в случае металлов, эффективное число делокализованных электронов по существу равно то же, что и валентное число.

Двумя наиболее важными результатами модели Друде являются электронное уравнение движения: $${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\left(\mathbf {E} +{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{m}}\times \mathbf {B} \right)-{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},$$и линейная зависимость между плотностью тока J и электрическим полем E , $$\mathbf {J} ={\frac {nq^{2}\tau }{m}}\,\mathbf {E} .$$

Здесь t - время, ⟨ p ⟩ - средний импульс на электрон, а q, n, m и τ - соответственно заряд электрона, плотность числа, масса и среднее свободное время между ионными столкновениями. Последнее выражение особенно важно, поскольку оно объясняет в полуколичественных терминах, почему должен выполняться закон Ома , одно из наиболее распространенных соотношений во всей электромагнетизме.

Шаги на пути к более современной теории твердого тела были следующими:

• и Твердая модель Эйнштейна модель Дебая , предполагающие, что квантовое поведение обмена энергией в целых единицах или квантах было важным компонентом полной теории, особенно в отношении теплоемкости , где теория Друде потерпела неудачу.
• В некоторых случаях, а именно в случае эффекта Холла, теория давала правильные предсказания, если вместо отрицательного заряда электронов использовался положительный. Сейчас это интерпретируется как дырки (т.е. квазичастицы, которые ведут себя как носители положительного заряда), но во времена Друде было довольно неясно, почему это так.

Друде использовал статистику Максвелла – Больцмана для электронного газа и для вывода единственной доступной на тот момент модели. Заменив статистику правильной статистикой Ферми-Дирака , Зоммерфельд значительно улучшил предсказания модели, хотя по-прежнему располагал полуклассической теорией, которая не могла предсказать все результаты современной квантовой теории твердого тела.

История

Немецкий физик Пауль Друде предложил свою модель в 1900 году, когда было неясно, существуют ли атомы, и не было ясно, что такое атомы в микроскопическом масштабе. В своей оригинальной статье Друде допустил ошибку, оценив число Лоренца в законе Видемана-Франца в два раза больше, чем оно должно было быть в классическом понимании, таким образом создав впечатление, что оно соответствует экспериментальному значению теплоемкости. Это число примерно в 100 раз меньше, чем классическое предсказание, но этот фактор уравновешивается средней скоростью электрона, которая примерно в 100 раз превышает расчет Друде.

Первое прямое доказательство существования атомов посредством вычисления числа Авогадро на основе микроскопической модели принадлежит Альберту Эйнштейну , первая современная модель структуры атома датируется 1904 годом, а модель Резерфорда — 1909 годом. Друде начинает с открытия электронов в 1897 году Дж. Дж. Томсон и в качестве упрощенной модели твердых тел предполагает, что основная часть твердого тела состоит из положительно заряженных центров рассеяния, а море электронов погружает эти центры рассеяния, чтобы сделать все твердое тело нейтральным с точки зрения заряда. Модель была расширена в 1905 году Хендриком Антоном Лоренцем (поэтому она также известна как модель Друде-Лоренца ). чтобы дать связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов (см. число Лоренца ), и является классической моделью. Позже она была дополнена результатами квантовой теории в 1933 году Арнольдом Зоммерфельдом и Гансом Бете , что привело к модели Друде-Зоммерфельда .

В настоящее время модели Друде и Зоммерфельда по-прежнему важны для понимания качественного поведения твердых тел и получения первого качественного понимания конкретной экспериментальной установки. Это общий метод в физике твердого тела , где типично постепенно увеличивать сложность моделей, чтобы давать все более и более точные прогнозы. Реже используется полноценная квантовая теория поля , основанная на основных принципах, учитывая сложности, связанные с огромным количеством частиц и взаимодействий, а также небольшую добавленную стоимость дополнительных математических вычислений (учитывая возрастающий выигрыш в числовой точности предсказаний). ).

Предположения

Друде использовал кинетическую теорию газов применительно к газу электронов, движущихся на неподвижном фоне « ионов »; это контрастирует с обычным способом применения теории газов как нейтрального разбавленного газа без фона. Плотность равной электронного газа предполагалась $$n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{\text{m}}}{A}},$$где Z — эффективное число делокализованных электронов на ион, для которого Друде использовал валентное число, A — атомная масса на моль, $\rho _{\text{m}}$ - массовая плотность (масса на единицу объема) «ионов», а N _A — постоянная Авогадро .Учитывая средний объем, доступный на электрон в виде сферы: $${\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}={\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}.$$Количество $r_{\text{s}}$ — это параметр, который описывает электронную плотность и часто примерно в 2 или 3 раза превышает радиус Бора , для щелочных металлов он колеблется от 3 до 6, а для некоторых соединений металлов может достигать 10.Плотность примерно в 1000 раз превышает плотность типичного классического газа.

Основные предположения, сделанные в модели Друде, следующие:

• Друде применил кинетическую теорию разреженного газа, несмотря на высокие плотности, поэтому игнорируя электрон-электронные и электрон-ионные взаимодействия, помимо столкновений.
• Модель Друде считает, что металл состоит из совокупности положительно заряженных ионов, от которых отделилось несколько «свободных электронов». Можно думать, что это валентные электроны атомов, которые делокализованы под действием электрического поля других атомов.
• Модель Друде не учитывает дальнодействующее взаимодействие между электроном и ионами или между электронами; это называется приближением независимых электронов.
• Электроны движутся по прямым линиям между одним столкновением и другим; это называется приближением свободных электронов.
• Единственное взаимодействие свободного электрона с окружением рассматривалось как столкновение с непроницаемым ионным ядром.
• Среднее время между последующими столкновениями такого электрона равно τ с без памяти распределением Пуассона . Природа партнера по столкновению электрона не имеет значения для расчетов и выводов модели Друде.
• После столкновения распределение скорости и направления электрона определяется только локальной температурой и не зависит от скорости электрона до события столкновения. Считается, что электрон сразу после столкновения находится в равновесии с локальной температурой.

Удаление или улучшение каждого из этих предположений дает более совершенные модели, которые могут более точно описывать различные твердые тела:

• Улучшение гипотезы статистики Максвелла-Больцмана статистикой Ферми-Дирака приводит к модели Друде-Зоммерфельда .
• Улучшение гипотезы статистики Максвелла-Больцмана с помощью статистики Бозе-Эйнштейна приводит к размышлениям об удельной теплоемкости атомов с целым спином. и конденсату Бозе-Эйнштейна .
• Электрон валентной зоны в полупроводнике по-прежнему остается свободным электроном в ограниченном диапазоне энергий (т.е. только «редкое» столкновение с высокой энергией, которое подразумевает изменение зоны, будет вести себя по-другому); приближение независимого электрона по существу все еще справедливо (т.е. отсутствует электрон-электронное рассеяние), вместо этого гипотеза о локализации событий рассеяния отбрасывается (с точки зрения непрофессионала, электрон находится и рассеивается повсюду).

Математическая обработка

поле постоянного тока

Простейший анализ модели Друде предполагает, что электрическое поле E однородно и постоянно, а тепловая скорость электронов достаточно высока, так что они накапливают лишь бесконечно малое количество импульса d p между столкновениями, которые происходят в среднем каждые τ секунд. .

Тогда электрон, изолированный в момент времени t, в среднем будет путешествовать в течение времени τ с момента своего последнего столкновения и, следовательно, будет иметь накопленный импульс. $$\Delta \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$$

Во время своего последнего столкновения этот электрон с одинаковой вероятностью отскочил бы как вперед, так и назад, поэтому все предыдущие вклады в импульс электрона можно игнорировать, что приводит к выражению $$\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .$$

Подстановка отношений $${\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}$$приводит к формулировке закона Ома, упомянутой выше: $$\mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .$$

Анализ, изменяющийся во времени

Реакция Друде плотности тока на переменное электрическое поле.

Динамику также можно описать введением эффективной силы сопротивления. В момент времени t = t ₀ + dt импульс электрона будет: $$\mathbf {p} (t_{0}+dt)=\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left[\mathbf {p} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right]+{\frac {dt}{\tau }}\left(\mathbf {g} (t_{0})+\mathbf {f} (t)dt+O(dt^{2})\right)$$где $\mathbf {f} (t)$ можно интерпретировать как общую силу (например, силу Лоренца ) на носителе или, более конкретно, на электроне. $\mathbf {g} (t_{0})$ – импульс носителя со случайным направлением после столкновения (т.е. с импульсом $\langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0$) и с абсолютной кинетической энергией $${\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT.$$

В среднем доля $1-{\frac {dt}{\tau }}$ электронов не испытают еще одного столкновения, другая часть, которая в среднем столкнулась, выйдет в случайном направлении и внесет вклад в общий импульс лишь в несколько раз. ${\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt$ который имеет второй порядок.

Немного алгебры и отбросив термины порядка $dt^{2}$, это приводит к общему дифференциальному уравнению $${\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=\mathbf {f} (t)-{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}$$

Второй член на самом деле представляет собой дополнительную силу сопротивления или коэффициент демпфирования из-за эффектов Друде.

Постоянное электрическое поле

В момент времени t = t ₀ + dt средний импульс электрона будет равен $$\langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} \,dt\right),$$а потом $${\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},$$где ⟨ p ⟩ обозначает средний импульс, а q - заряд электронов. Это неоднородное дифференциальное уравнение можно решить, чтобы получить общее решение $$\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} (1-e^{-t/\tau })+\langle \mathbf {p} (0)\rangle e^{-t/\tau }$$для п ( т ) . Стационарное решение , ⁠ d ⟨ п ⟩ / dt ⁠ знак равно 0 , тогда $$\langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} .$$

Как указано выше, средний импульс может быть связан со средней скоростью, а она, в свою очередь, может быть связана с плотностью тока: $${\begin{aligned}\langle \mathbf {p} \rangle &=m\langle \mathbf {v} \rangle ,\\\mathbf {J} &=nq\langle \mathbf {v} \rangle ,\end{aligned}}$$и можно показать, что материал удовлетворяет закону Ома $\mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E}$ с по постоянному току проводимостью σ ₀ : $$\sigma _{0}={\frac {nq^{2}\tau }{m}}$$

поле переменного тока

Комплексная проводимость для разных частот в предположении, что τ = 10 ⁻⁵ и что σ ₀ = 1 .

Модель Друде также может предсказывать ток как реакцию на зависящее от времени электрическое поле с угловой частотой ω . Комплексная проводимость $$\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}+i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}.$$

Здесь предполагается, что: $${\begin{aligned}E(t)&=\Re {\left(E_{0}e^{-i\omega t}\right)};\\J(t)&=\Re \left(\sigma (\omega )E_{0}e^{-i\omega t}\right).\end{aligned}}$$В технике i обычно заменяется на -i (или -j ) во всех уравнениях, что отражает разность фаз относительно начала координат, а не задержку в точке наблюдения, перемещающуюся во времени.

Доказательство с использованием уравнения движения.

Данный $${\begin{aligned}\mathbf {p} (t)&=\Re {\left(\mathbf {p} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {E} (t)&=\Re {\left(\mathbf {E} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\end{aligned}}$$И уравнение движения выше $${\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}$$замена $$-i\omega \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {E} (\omega )-{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{\tau }}$$Данный $${\begin{aligned}\mathbf {j} &=-ne{\frac {\mathbf {p} }{m}}\\\mathbf {j} (t)&=\Re {\left(\mathbf {j} (\omega )e^{-i\omega t}\right)}\\\mathbf {j} (\omega )&=-ne{\frac {\mathbf {p} (\omega )}{m}}={\frac {(ne^{2}/m)\mathbf {E} (\omega )}{1/\tau -i\omega }}\end{aligned}}$$определение комплексной проводимости из: $$\mathbf {j} (\omega )=\sigma (\omega )\mathbf {E} (\omega )$$У нас есть: $$\sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1-i\omega \tau }};\sigma _{0}={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$$

Мнимая часть указывает на то, что ток отстает от электрического поля. Это происходит потому, что электронам требуется примерно время τ , чтобы ускориться в ответ на изменение электрического поля. Здесь модель Друде применяется к электронам; его можно применять как к электронам, так и к дыркам; т.е. положительные носители заряда в полупроводниках. Кривые для σ ( ω ) показаны на графике.

Если синусоидально изменяющееся электрическое поле с частотой $\omega$ При применении к твердому телу отрицательно заряженные электроны ведут себя как плазма, которая стремится переместиться на расстояние x от положительно заряженного фона. В результате образец поляризуется и на противоположных поверхностях образца образуется избыточный заряд.

Диэлектрическая проницаемость образца выражается как $$\varepsilon ={\frac {D}{\varepsilon _{0}E}}=1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}$$где $D$ электрическое смещение и $P$ – плотность поляризации .

Плотность поляризации записывается как $$P(t)=\Re {\left(P_{0}e^{i\omega t}\right)}$$а плотность поляризации с n плотностью электронов равна $$P=-nex$$После небольшой алгебры связь между плотностью поляризации и электрическим полем можно выразить как $$P=-{\frac {ne^{2}}{m\omega ^{2}}}E$$Диэлектрическая функция твердого тела, зависящая от частоты, равна $$\varepsilon (\omega )=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\omega ^{2}}}$$

Доказательство с использованием уравнений Максвелла.

Учитывая приближения для $\sigma (\omega )$ включено выше

• мы предполагали отсутствие электромагнитного поля: оно всегда меньше в v/c раз, учитывая дополнительный член Лоренца $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$ в уравнении движения
• мы предполагали пространственно однородное поле: это верно, если поле не сильно колеблется на протяжении нескольких длин свободного пробега электронов. Обычно это не так: средняя длина свободного пробега имеет порядок ангстрем, что соответствует длинам волн, типичным для рентгеновских лучей.

Ниже приведены уравнения Максвелла без источников (которые рассматриваются отдельно в рамках плазменных колебаний ) в гауссовских единицах : $${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0;&\nabla \cdot \mathbf {B} &=0;\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}};&\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}$$Затем $$\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {i\omega }{c}}\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {i\omega }{c}}\left({\frac {4\pi \sigma }{c}}\mathbf {E} -{\frac {i\omega }{c}}\mathbf {E} \right)$$или $$-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)\mathbf {E}$$которое представляет собой уравнение электромагнитной волны для сплошной однородной среды с диэлектрической проницаемостью $\epsilon (\omega )$ в форме Гельмольца $$-\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )\mathbf {E}$$где показатель преломления ${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\epsilon (\omega )}}}$ а фазовая скорость равна $v_{p}={\frac {c}{n(\omega )}}$ следовательно, комплексная диэлектрическая проницаемость равна $$\epsilon (\omega )=\left(1+{\frac {4\pi i\sigma }{\omega }}\right)$$что в случае $\omega \tau \gg 1$ можно аппроксимировать: $$\epsilon (\omega )=\left(1-{\frac {\omega _{\rm {p}}^{2}}{\omega ^{2}}}\right);\omega _{\rm {p}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}{\text{(Gaussian units)}}.$$ В СИ единицах $4\pi$ в числителе заменяется на $\varepsilon _{0}$ в знаменателе.

На резонансной частоте $\omega _{\rm {p}}$, называемая плазменной частотой , диэлектрическая функция меняет знак с отрицательного на положительный и действительная часть диэлектрической функции падает до нуля. $$\omega _{\rm {p}}={\sqrt {\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}$$Плазменная частота представляет собой резонанс плазменных колебаний или плазмон . Плазменную частоту можно использовать как прямую меру квадратного корня из плотности валентных электронов в твердом теле. Наблюдаемые значения находятся в разумном согласии с этим теоретическим предсказанием для большого числа материалов. Ниже плазменной частоты диэлектрическая функция отрицательна, и поле не может проникнуть в образец. Свет с угловой частотой ниже плазменной частоты будет полностью отражен. Световые волны выше плазменной частоты могут проникать в образец, типичным примером являются щелочные металлы, которые становятся прозрачными в диапазоне ультрафиолетового излучения.

Теплопроводность металлов

Одним из больших успехов модели Друде является объяснение закона Видемана-Франца . Это произошло из-за случайного исключения ошибок в первоначальных расчетах Друде. Друде предсказал значение числа Лоренца: $${\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$$Экспериментальные значения обычно находятся в диапазоне $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$ для металлов при температуре от 0 до 100 градусов Цельсия.

Вывод и ошибки Друде

Твердые тела могут проводить тепло посредством движения электронов, атомов и ионов. Проводники имеют большую плотность свободных электронов, тогда как изоляторы этого не делают; ионы могут присутствовать в любом из них. Учитывая хорошую электро- и теплопроводность металлов и плохую электро- и теплопроводность изоляторов, естественной отправной точкой для оценки теплопроводности является расчет вклада электронов проводимости.

Плотность теплового тока — это поток тепловой энергии в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной потоку. Он пропорционален градиенту температуры. $$\mathbf {j} _{q}=-\kappa \nabla T$$где $\kappa$ это теплопроводность.В одномерной проволоке энергия электронов зависит от локальной температуры $\epsilon [T(x)]$Если мы представим температурный градиент, при котором температура уменьшается в положительном направлении x, средняя скорость электронов будет равна нулю (но не средняя скорость). Электроны, прибывающие в точку x со стороны более высокой энергии, прибудут с энергиями $\varepsilon [T(x-v\tau )]$, а те, кто со стороны более низкой энергии, прибудут с энергиями $\varepsilon [T(x+v\tau )]$. Здесь, $v$ средняя скорость электронов и $\tau$ — среднее время с момента последнего столкновения.

Чистый поток тепловой энергии в точке x представляет собой разницу между тем, что проходит слева направо и справа налево: $$\mathbf {j} _{q}={\frac {1}{2}}nv{\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}$$Фактор ⁠ 1/2 ⁠ объясняет тот факт , . что электроны с одинаковой вероятностью будут двигаться в любом направлении Только половина вносит вклад в поток в точке x .

Когда средний свободный путь $\ell =v\tau$ небольшое, количество ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$можно аппроксимировать производной по x. Это дает $$\mathbf {j} _{q}=nv^{2}\tau {\frac {d\varepsilon }{dT}}\cdot \left(-{\frac {dT}{dx}}\right)$$Поскольку электрон движется в $x$, $y$, и $z$ направлениях, среднеквадратическая скорость в $x$ направление $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$. У нас также есть $n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}$, где $c_{v}$ – удельная теплоемкость материала.

Если сложить все это вместе, то плотность тока тепловой энергии равна $$\mathbf {j} _{q}=-{\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}\nabla T$$Это определяет теплопроводность: $$\kappa ={\frac {1}{3}}v^{2}\tau c_{v}$$(Этот вывод игнорирует зависимость скорости v от температуры и, следовательно, от положения. Это не приведет к значительной ошибке, если только температура не изменится быстро на расстоянии, сравнимом со средней длиной свободного пробега.)

Разделение теплопроводности $\kappa$ по электропроводности $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$ устраняет время рассеяния $\tau$ и дает $${\frac {\kappa }{\sigma }}={\frac {c_{v}mv^{2}}{3ne^{2}}}$$

На этом этапе расчетов Друде сделал два предположения, которые теперь считаются ошибочными. Сначала он использовал классический результат для удельной теплоемкости электронов проводимости: $c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$. Это переоценивает электронный вклад в удельную теплоемкость примерно в 100 раз. Во-вторых, Друде использовал классическую среднеквадратическую скорость для электронов: ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T$. Это занижает энергию электронов примерно в 100 раз. Устранение этих двух ошибок приводит к хорошему приближению к проводимости металлов. Помимо этих двух оценок, Друде также допустил статистическую ошибку и завысил среднее время между столкновениями в 2 раза. Это слияние ошибок дало значение числа Лоренца, которое было удивительно близко к экспериментальным значениям.

Правильное значение числа Лоренца, оцененное на основе модели Друде, равно $${\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}.$$

ТермоЭДС

Обычный температурный градиент при включении в тонкий стержень вызовет ток электронов в направлении стороны с более низкой температурой. Учитывая, что эксперименты проводятся в разомкнутой цепи, этот ток будет накапливаться на этой стороне, создавая электрическое поле, противодействующее электрическому току. Это поле называется термоэлектрическим полем: $$\mathbf {E} =Q\nabla T$$а Q называется термоЭДС. Оценки Друде в 100 раз занижены, учитывая прямую зависимость от теплоемкости. $$Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}$$где типичная термоэдс при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт.

Доказательство вместе с ошибками Друде.

Из простой одномерной модели $$v_{Q}={\frac {1}{2}}[v(x-v\tau )-v(x+v\tau )]=-v\tau {\frac {dv}{dx}}=-\tau {\frac {d}{dx}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)$$Расширение до 3 степеней свободы $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$$$\mathbf {v_{Q}} =-{\frac {\tau }{6}}{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)$$Средняя скорость, обусловленная электрическим полем (с учетом приведенного выше уравнения движения в состоянии равновесия) $$\mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \tau }{m}}$$Чтобы иметь общий текущий ноль $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$ у нас есть $$Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=-{\frac {c_{v}}{3ne}}$$И как обычно в случае с Друде $c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$$$Q=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}$$где типичная термоэдс при комнатной температуре в 100 раз меньше порядка микровольт.

Точность модели

Модель Друде очень хорошо объясняет проводимость постоянного и переменного тока в металлах, эффект Холла и магнитосопротивление. в металлах при температуре около комнатной. Модель также частично объясняет закон Видемана-Франца 1853 года.

Формула Друде выводится ограниченным способом, а именно в предположении, что носители заряда образуют классический идеальный газ . При рассмотрении квантовой теории модель Друде может быть расширена до модели свободных электронов , где носители подчиняются распределению Ферми – Дирака . Предсказанная проводимость такая же, как и в модели Друде, поскольку она не зависит от формы распределения скорости электронов. Однако модель Друде сильно переоценивает электронную теплоемкость металлов. На самом деле металлы и изоляторы имеют примерно одинаковую теплоемкость при комнатной температуре. Кроме того, модель Друде не объясняет разбросанную тенденцию электропроводности в зависимости от частоты выше примерно 2 ТГц.

Модель применима и к положительным (дырочным) носителям заряда.

Ответ Друде в реальных материалах

Характерное поведение металла Друде во временной или частотной области, т. е. экспоненциальная релаксация с постоянной времени τ или частотная зависимость σ ( ω ), указанная выше, называется откликом Друде. В обычном простом реальном металле (например, натрии, серебре или золоте при комнатной температуре) такое поведение экспериментально не обнаружено, поскольку характеристическая частота τ ⁻¹ другие особенности, не учтенные в модели Друде (например, зонная структура ). находится в инфракрасном диапазоне частот, где важную роль играют Но для некоторых других материалов с металлическими свойствами была обнаружена частотно-зависимая проводимость, которая близко соответствует простому предсказанию Друде для σ ( ω ) . Это материалы, в которых скорость релаксации τ ⁻¹ находится на гораздо более низких частотах. Это справедливо для некоторых легированных полупроводниковых монокристаллов. высокоподвижные двумерные электронные газы , и тяжелые фермионные металлы .

См. также

• Модель свободных электронов
• Арнольд Зоммерфельд
• Электропроводность

Ссылки

Общий

• Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  978-0-03-083993-1 .
• Киттель, Чарльз (2005). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). John Wiley & Sons Inc. ISBN  0-471-41526-Х .
• Зиман, Дж. М. (1972). Основы теории твердого тела (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-29733-8 .

Внешние ссылки

• Хини, Майкл Б. (2003). «Электрическая проводимость и удельное сопротивление» . В Вебстере, Джон Г. (ред.). Электрические измерения, обработка сигналов и отображение . ЦРК Пресс. ISBN  9780203009406 .