Аксиома набора мощности
Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( Май 2020 г. ) |
В математике установлена аксиома степени [1] — одна из аксиом Цермело–Френкеля аксиоматической теории множеств . Гарантия на каждый комплект существование набора , мощности набор , состоящий именно подмножеств из . По аксиоме экстенсиональности множество является уникальным.
Аксиома набора власти появляется в большинстве аксиоматизаций теории множеств. Обычно это считается бесспорным, хотя конструктивная теория множеств предпочитает более слабую версию, чтобы решить проблемы предикативности .
Официальное заявление [ править ]
Отношение подмножества не является примитивным понятием в формальной теории множеств и не используется в формальном языке аксиом Цермело – Френкеля. Скорее, отношение подмножества определяется в терминах членства в множестве , . Учитывая это, на формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома набора степеней гласит:
где y — набор степеней x , z — любой элемент y , w — любой член z .
По-английски это говорит:
- Для любого x существует набора такой набор y , что для любого набора z это множество z является членом y тогда и только тогда, когда каждый элемент z также является элементом x .
Последствия [ править ]
Аксиома набора степеней позволяет просто определить декартово произведение двух наборов. и :
Обратите внимание, что
и, например, рассматривая модель, использующую упорядоченную пару Куратовского ,
и, таким образом, декартово произведение является множеством, поскольку
можно определить Декартово произведение любого конечного набора множеств рекурсивно:
Существование декартова произведения можно доказать без использования аксиомы степенного множества, как в случае теории множеств Крипке–Платека .
Ограничения [ править ]
Аксиома набора мощности не определяет, какие подмножества набора существуют, а только то, что существует набор, содержащий все те, которые существуют. [2] Не все мыслимые подмножества гарантированно существуют. В частности, степенное множество бесконечного множества будет содержать только «конструируемые множества», если вселенная является конструируемой вселенной , но в других моделях теории множеств ZF может содержать множества, которые невозможно построить.
Ссылки [ править ]
- ^ «Аксиома властного множества | Теория множеств | Британника» . www.britanica.com . Проверено 6 августа 2023 г.
- ^ Девлин, Кейт (1984). Конструктивность . Берлин: Springer-Verlag. стр. 56–57. ISBN 3-540-13258-9 . Проверено 8 января 2023 г.
- Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
- Джех, Томас, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 .
- Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .
Эта статья включает в себя материал из «Аксиомы силы», установленной на PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .