Jump to content

Аксиома набора мощности

(Перенаправлено из аксиомы Powerset )
Элементы степенного множества { x , y , z } упорядочены по включению .

В математике установлена ​​аксиома степени [1] — одна из аксиом Цермело–Френкеля аксиоматической теории множеств . Гарантия на каждый комплект существование набора , мощности набор , состоящий именно подмножеств из . По аксиоме экстенсиональности множество является уникальным.

Аксиома набора власти появляется в большинстве аксиоматизаций теории множеств. Обычно это считается бесспорным, хотя конструктивная теория множеств предпочитает более слабую версию, чтобы решить проблемы предикативности .

Официальное заявление [ править ]

Отношение подмножества не является примитивным понятием в формальной теории множеств и не используется в формальном языке аксиом Цермело – Френкеля. Скорее, отношение подмножества определяется в терминах членства в множестве , . Учитывая это, на формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома набора степеней гласит:

где y — набор степеней x , z — любой элемент y , w — любой член z .

По-английски это говорит:

Для любого x существует набора такой набор y , что для любого набора z это множество z ​​является членом y тогда и только тогда, когда каждый элемент z также является элементом x .

Последствия [ править ]

Аксиома набора степеней позволяет просто определить декартово произведение двух наборов. и :

Обратите внимание, что

и, например, рассматривая модель, использующую упорядоченную пару Куратовского ,

и, таким образом, декартово произведение является множеством, поскольку

можно определить Декартово произведение любого конечного набора множеств рекурсивно:

Существование декартова произведения можно доказать без использования аксиомы степенного множества, как в случае теории множеств Крипке–Платека .

Ограничения [ править ]

Аксиома набора мощности не определяет, какие подмножества набора существуют, а только то, что существует набор, содержащий все те, которые существуют. [2] Не все мыслимые подмножества гарантированно существуют. В частности, степенное множество бесконечного множества будет содержать только «конструируемые множества», если вселенная является конструируемой вселенной , но в других моделях теории множеств ZF может содержать множества, которые невозможно построить.

Ссылки [ править ]

  1. ^ «Аксиома властного множества | Теория множеств | Британника» . www.britanica.com . Проверено 6 августа 2023 г.
  2. ^ Девлин, Кейт (1984). Конструктивность . Берлин: Springer-Verlag. стр. 56–57. ISBN  3-540-13258-9 . Проверено 8 января 2023 г.
  • Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN   0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
  • Джех, Томас, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN   3-540-44085-2 .
  • Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN   0-444-86839-9 .

Эта статья включает в себя материал из «Аксиомы силы», установленной на PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 88406256936a7775e1cc87431ef499bb__1711132260
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/88/bb/88406256936a7775e1cc87431ef499bb.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Axiom of power set - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)