Метрика Хартла – Торна

Метрика Хартла-Торна является приближенным решением вакуумных уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности. описывающая внешность медленно и жестко вращающегося, неподвижного и осесимметричного тела.

Метрика была открыта Джеймсом Хартлом и Кипом Торном в 1960-х годах для изучения пространства-времени за пределами нейтронных звезд , белых карликов и сверхмассивных звезд . Можно показать, что это приближение к метрике Керра (которая описывает вращающуюся черную дыру), когда квадрупольный момент задан как $q=-a^{2}aM^{3}$, что является правильным значением для черной дыры, но не для других астрофизических объектов.

Метрика

До второго порядка по угловому моменту $J$, масса $M$ и квадрупольный момент $q$,метрика в сферических координатах определяется выражением

${\begin{aligned}g_{tt}&=-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {2q}{r^{3}}}P_{2}+{\frac {2Mq}{r^{4}}}P_{2}+{\frac {2q^{2}}{r^{6}}}P_{2}^{2}-{\frac {2}{3}}{\frac {J^{2}}{r^{4}}}(2P_{2}+1)\right),\\g_{t\phi }&=-{\frac {2J}{r}}\sin ^{2}\theta ,\\g_{rr}&=1+{\frac {2M}{r}}+{\frac {4M^{2}}{r^{2}}}-{\frac {2qP_{2}}{r^{3}}}-{\frac {10MqP_{2}}{r^{4}}}+{\frac {1}{12}}{\frac {q^{2}\left(8P_{2}^{2}-16P_{2}+77\right)}{r^{6}}}+{\frac {2J^{2}(8P_{2}-1)}{r^{4}}},\\g_{\theta \theta }&=r^{2}\left(1-{\frac {2qP_{2}}{r^{3}}}-{\frac {5MqP_{2}}{r^{4}}}+{\frac {1}{36}}{\frac {q^{2}\left(44P_{2}^{2}+8P_{2}-43\right)}{r^{6}}}+{\frac {J^{2}P_{2}}{r^{4}}}\right),\\g_{\phi \phi }&=r^{2}\sin ^{2}\theta \left(1-{\frac {2qP_{2}}{r^{3}}}-{\frac {5MqP_{2}}{r^{4}}}+{\frac {1}{36}}{\frac {q^{2}\left(44P_{2}^{2}+8P_{2}-43\right)}{r^{6}}}+{\frac {J^{2}P_{2}}{r^{4}}}\right),\end{aligned}}$

где $P_{2}={\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}.$

См. также

• Метрика Керра