Схема ФТКС

«FTCS» перенаправляется сюда. Информацию о научной конференции см. в разделе « Международная конференция по надежным системам и сетям» .

В численном анализе метод FTCS (прямое время-центрированное пространство) представляет собой метод конечных разностей, используемый для численного решения уравнения теплопроводности и аналогичных параболических уравнений в частных производных . Это метод первого порядка по времени, явный по времени и условно устойчивый при применении к уравнению теплопроводности. Когда он используется в качестве метода для уравнений адвекции или, в более общем плане, гиперболических уравнений в частных производных , он нестабилен, если не учитывать искусственную вязкость. Аббревиатуру FTCS впервые использовал Патрик Роуч.

Метод

Метод FTCS основан на прямом методе Эйлера во времени (отсюда «прямое время») и центральной разности в пространстве (отсюда и «центрированное пространство»), что обеспечивает сходимость первого порядка во времени и сходимость второго порядка в пространстве. Например, в одном измерении, если уравнение в частных производных имеет вид

${\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)$

затем, позволяя $u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,$прямой метод Эйлера определяется следующим образом:

${\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)$

Функция $F$ должны быть пространственно дискретизированы с помощью центральной разностной схемы. Это явный метод , который означает, что $u_{i}^{n+1}$ могут быть вычислены явно (нет необходимости решать систему алгебраических уравнений), если значения $u$ на предыдущем временном уровне $(n)$ известны. Метод FTCS не требует больших вычислительных затрат, поскольку метод является явным.

Иллюстрация: одномерное уравнение теплопроводности

Метод FTCS часто применяется для решения диффузионных задач. Например, для одномерного уравнения теплопроводности :

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

Схема FTCS определяется следующим образом:

${\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}$

или, позволяя $r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}$:

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)$

Стабильность

Как получено с помощью анализа устойчивости фон Неймана , метод FTCS для одномерного уравнения теплопроводности является численно устойчивым тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

$\Delta t\leq {\frac {\Delta x^{2}}{2\alpha }}.$

То есть выбор $\Delta x$ и $\Delta t$ должен удовлетворять вышеуказанному условию, чтобы схема FTCS была стабильной. В двумерном измерении условие становится

$\Delta t\leq {\frac {1}{2\alpha \left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{\Delta y^{2}}}\right)}}.$

Если мы выберем ${\textstyle h=\Delta x=\Delta y=\Delta z}$, то условия устойчивости становятся ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(2\alpha )}$, ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(4\alpha )}$, и ${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(6\alpha )}$ для одно-, двух- и трехмерных приложений соответственно.

Основным недостатком метода FTCS является то, что для задач с большим коэффициентом диффузии $\alpha$, удовлетворительные размеры шага могут быть слишком малы, чтобы быть практичными.

Для гиперболических уравнений в частных производных линейной тестовой задачей является постоянный коэффициент уравнение адвекции , в отличие от уравнения теплопроводности (или уравнения диффузии ), которое является правильным выбором для параболического дифференциального уравнения . Хорошо известно что для этих гиперболических задач , любой выбор $\Delta t$ приводит к нестабильной схеме.

См. также

• Уравнения в частных производных
• Метод Кранка – Николсона
• Метод конечных разностей во временной области