Теорема Данфорда – Шварца

В математике , особенно в функциональном анализе , теорема Данфорда-Шварца , названная в честь Нельсона Данфорда и Джейкоба Т. Шварца , утверждает, что средние значения степеней некоторых операторов, ограниченных по норме, на L ¹ сходятся в подходящем смысле.

Заявление

${\text{Let }}T{\text{ be a linear operator from }}L^{1}{\text{ to }}L^{1}{\text{ with }}\|T\|_{1}\leq 1{\text{ and }}\|T\|_{\infty }\leq 1{\text{. Then}}$

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}T^{k}f$

${\text{exists almost everywhere for all }}f\in L^{1}{\text{.}}$

Утверждение перестает быть верным, если условие ограниченности ослабляется до даже $\|T\|_{\infty }\leq 1+\varepsilon$.