Теорема Гольдберга – Сакса

Теорема Гольдберга -Сакса Эйнштейна — это результат общей теории относительности о вакуумных решениях уравнений поля Эйнштейна , связывающий существование определенного типа конгруэнтности с алгебраическими свойствами тензора Вейля .

Точнее, теорема утверждает, что вакуумное решение уравнений поля Эйнштейна будет допускать нулевую геодезическую конгруэнцию без сдвига тогда и только тогда, когда тензор Вейля является алгебраически специальным .

Теорема часто используется при поиске алгебраически специальных вакуумных решений.

Лучи без сдвига

Луч — это семейство геодезических светоподобных кривых. Это касательное векторное поле $l^{a}$ является нулевым и геодезическим: $l_{a}l^{a}=0$ и $l^{b}\nabla _{b}l^{a}=0$. В каждой точке существует (неуникальный) двумерный пространственный срез касательного пространства, ортогональный $l^{a}$. Он натянут на комплексный нулевой вектор $m^{a}$ и его комплексно-сопряженный ${\bar {m}}^{a}$. Если метрика положительна по времени, то метрика, проецируемая на срез, равна ${\tilde {g}}^{ab}=-m^{a}{\bar {m}}^{b}-{\bar {m}}^{a}m^{b}$. Гольдберг и Сакс рассмотрели проекцию градиента на этот срез.

$A^{ab}={\tilde {g}}^{ap}{\tilde {g}}^{bq}\nabla _{p}l_{q}=z{\bar {m}}^{a}m^{b}+{\bar {z}}m^{a}{\bar {m}}^{b}+{\bar {\sigma }}m^{a}m^{b}+\sigma {\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}.$

Луч не имеет сдвига, если $\sigma =0$. Интуитивно это означает, что небольшая тень, отбрасываемая лучом, сохранит свою форму. Тень может вращаться и увеличиваться/сжиматься, но она не будет искажаться.

Теорема

Вакуумная метрика, $R_{ab}=0$, является алгебраически специальным тогда и только тогда, когда он содержит нулевую геодезическую конгруэнцию без сдвига; касательный вектор подчиняется $k_{[a}C_{b]ijc}k^{i}k^{j}=0$.

Это теорема, первоначально сформулированная Гольдбергом и Саксом. Хотя они сформулировали это в терминах касательных векторов и тензора Вейля , доказательство гораздо проще в терминах спиноров. Уравнения поля Ньюмана -Пенроуза дать естественную основу для исследования классификаций Петрова, поскольку вместо доказательства $k_{[a}C_{b]ijc}k^{i}k^{j}=0$, можно просто доказать $\Psi _{0}=\Psi _{1}=0$. Для этих доказательств предположим, что у нас есть спиновая система координат с $o^{A}$ флагшток совмещен с лучом без сдвига $l^{a}$.

Доказательство того, что луч без сдвига подразумевает алгебраическую специальность : если луч геодезический и не имеет сдвига, то $\varepsilon +{\bar {\varepsilon }}=\kappa =\sigma =0$. Сложная ротация $o^{A}\rightarrow e^{i\theta }o^{A}$ не влияет $l^{a}$ и могу установить $\varepsilon =0$ для упрощения расчетов. Первое полезное уравнение NP: $D\sigma -\delta \kappa =0$, что сразу дает $\Psi _{0}=0$.

Чтобы показать это $\Psi _{1}=0$, применить коммутатор $\delta D-D\delta$ к этому. Тождество Бьянки дает необходимые формулы: $D\Psi _{1}=4\rho \Psi _{1}$ и $\delta \Psi _{1}=(2\beta +4\tau )\Psi _{1}$. Анализ алгебры этого коммутатора покажет $\Psi _{1}^{2}=0$, что завершает эту часть доказательства.

Доказательство того, что алгебраическая специальность подразумевает луч без сдвига : предположим $o_{A}$ является вырожденным фактором $\Psi _{ABCD}$. Хотя это вырождение может быть n-кратным (n=2,3,4) и доказательство будет функционально таким же, считаем его 2-кратным вырождением. Тогда проекция $o^{B}o^{C}o^{D}\Psi _{ABCD}=0$. Тождество Бьянки в вакуумном пространстве-времени есть $\nabla ^{AA'}\Psi _{ABCD}=0$, поэтому применение производной к проекции даст $o_{A}o_{B}\nabla ^{AA'}o^{B}=0$, что эквивалентно $\kappa =\sigma =0.$ Таким образом, конгруэнтность не имеет сдвигов и почти геодезична: $Dl_{a}=(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})l_{a}$. Подходящее масштабирование $o^{A}$ существует такое сравнение, которое сделает это сравнение геодезическим и, следовательно, лучом без сдвига. Сдвиг векторного поля инвариантен при изменении масштаба, поэтому он останется свободным от сдвига.

Важность и примеры

В пространстве-времени типа D Петрова имеются два алгебраических вырождения. Тогда по теореме Гольдберга-Сакса существуют два луча без сдвига, направленные вдоль этих вырожденных направлений. Поскольку уравнения Ньюмана-Пенроуза записаны в базисе с двумя вещественными нулевыми векторами, существует естественный базис, который упрощает уравнения поля. Примерами таких вакуумных пространств-временей являются метрика Шварцшильда и метрика Керра , которые описывают невращающуюся и вращающуюся черную дыру соответственно. Именно это алгебраическое упрощение делает возможным решение метрики Керра вручную.

В случае Шварцшильда с симметричными во времени координатами два луча без сдвига имеют вид
$l^{\mu }\partial _{\mu }=\pm \left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}\partial _{t}+\partial _{r}.$

При преобразовании координат $(t,r,\theta ,\varphi )\rightarrow (t\mp r^{*},r,\theta ,\varphi )$ где $r^{*}$ это координата черепахи , это упрощается до $l^{\mu }\partial _{\mu }=\partial _{r}$.

Линеаризованная гравитация

Это показали Дейн и Морески. что соответствующая теорема не будет выполняться в линеаризованной гравитации , то есть при наличии решения линеаризованных уравнений поля Эйнштейна, допускающего нулевое сравнение без сдвига, тогда это решение не обязательно должно быть алгебраически специальным.

См. также

• геодезический
• Оптические скаляры